Геометрия

Урок 3: Линии на плоскости

Уравнения линий на плоскости

Линии, построенные на координатной плоскости, можно описывать с помощью уравнений. Важнейшими из таких линий являются окружность и прямая

План урока:

Уравнение линии в координатах

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Задачи на пересечение двух фигур

 

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

1 linii na ploskosti

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х2.

2 linii na ploskosti

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

 

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

3 linii na ploskosti

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

4 linii na ploskosti

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

5 linii na ploskosti

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

6 linii na ploskosti

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

7 linii na ploskosti

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Ответ: А и D.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

 

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х0; у0). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

8 linii na ploskosti

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

9 linii na ploskosti

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

10 linii na ploskosti

 

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

11 linii na ploskosti

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

12 linii na ploskosti

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

 

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

13 linii na ploskosti

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х0; у0), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

14 linii na ploskosti

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры xи yокруж-ти равны нулю, и уравнение

15 linii na ploskosti

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

16 linii na ploskosti

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

17 linii na ploskosti

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х0; у0). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

 

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

x2 + y2 = 25

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

18 linii na ploskosti

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

32 > 25

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

19 linii na ploskosti

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

 

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

20 linii na ploskosti

 

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

21 linii na ploskosti

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

22 linii na ploskosti

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

23 linii na ploskosti

 

Задание. Дано уравнение окружности

(x - 2)2 + (y - 4)2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

24 linii na ploskosti

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

 

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х0; у0). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

25 linii na ploskosti

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

26 linii na ploskosti

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х0 и у0.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

27 linii na ploskosti

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

28 linii na ploskosti

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у0. С помощью (5) легко найдем и х0:

x0 = 7y0 - 18 = 7*3 - 18 = 21 - 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

29 linii na ploskosti

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

30 linii na ploskosti

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

31 linii na ploskosti

Ответ: (х – 3)2 + (у – 3)2 = 25

 

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х1; у1) и В(х2; у2) так, чтобы прямая оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

32 linii na ploskosti

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

33 linii na ploskosti

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

34 linii na ploskosti

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х2 – 2х1) и (2у2 – 2у1) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

35 linii na ploskosti

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

36 linii na ploskosti

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

37 linii na ploskosti

получим линейную функцию:

y = kx + d (3)

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

38 linii na ploskosti

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

39 linii na ploskosti

40 linii na ploskosti

 

Задание. Прямая задана уравнением

4x + 2y + 6 = 0

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

41 linii na ploskosti

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

42 linii na ploskosti

 

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

ax + by + c = 0

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

43 linii na ploskosti

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

44 linii na ploskosti

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

45 linii na ploskosti

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Способ 2

Уравнение прямой может иметь либо вид

y = kx + d

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

x = C

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

y = kx + d

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

46 linii na ploskosti

Итак, уравнение можно записать так:

47 linii na ploskosti

 

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

48 linii na ploskosti

Подставим сюда уже известное нам значение d:

49 linii na ploskosti

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

50 linii na ploskosti

То, что коэффициент оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

51 linii na ploskosti

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

y = kx + b

Значит, оно имеет другой вид:

x = C

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

x = 2

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

 

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

52 linii na ploskosti

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

yM = 0

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

53 linii na ploskosti

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

54 linii na ploskosti

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

55 linii na ploskosti

 

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

 

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

56 linii na ploskosti

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

57 linii na ploskosti

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Ответ: (3; – 2).

 

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

58 linii na ploskosti

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

59 linii na ploskosti

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

60 linii na ploskosti

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

 

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

61 linii na ploskosti

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

62 linii na ploskosti

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

63 linii na ploskosti

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

64 linii na ploskosti

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

Ответ:(5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

 

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

65 linii na ploskosti

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

66 linii na ploskosti

Нам надо найти коэффициенты и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

67 linii na ploskosti

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

68 linii na ploskosti

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

69 linii na ploskosti

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Если окружность описывается уравнением (х – 8)2 + (у – 2)2 = 49, то ее центр находится в точке:
1(– 8; – 2)
2(– 2; – 8)
3(2; 8)
4(8; 2)
Ответить
4
Вопрос: 2
Радиус окружности (х – 14)2 + (у – 12)2 = 36 составляет…
114
26
312
428
Ответить
2
Вопрос: 3
Какое из этих уравнений описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу?
1х = 2
2у = 2
3у = х + 2
4у = 2 – х
Ответить
1
Вопрос: 4
В каких точках прямая 3х – 4у + 12 = 0 пересекает оси Ох и Оу?
1(3; 0) и (0; – 4)
2(– 3; 0) и (0; 4)
3(– 4; 0) и (0; 3)
4(4; 0) и (0; – 3)
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Если окружность описывается уравнением (х – 8)2 + (у – 2)2 = 49, то ее центр находится в точке:
1) (– 8; – 2) 2) (– 2; – 8) 3) (2; 8) 4) (8; 2)
2 вопрос:

Радиус окружности (х – 14)2 + (у – 12)2 = 36 составляет…
1) 14 2) 6 3) 12 4) 28
3 вопрос:

Какое из этих уравнений описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу?
1) х = 2 2) у = 2 3) у = х + 2 4) у = 2 – х
4 вопрос:

В каких точках прямая 3х – 4у + 12 = 0 пересекает оси Ох и Оу?
1) (3; 0) и (0; – 4) 2) (– 3; 0) и (0; 4) 3) (– 4; 0) и (0; 3) 4) (4; 0) и (0; – 3)
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: (8; 2)
2 вопрос: 6
3 вопрос: х = 2
4 вопрос: (– 4; 0) и (0; 3)