План урока:

Что такое функция

Способы задания функции

Построение графика функции

Линейная функция

Степенная функция с натуральным показателем

Что такое функция

Нередко в жизни можно наблюдать взаимосвязь между различными величинами. Предположим, что на входе в зоопарк указана информация о стоимости билетов. Для детей до 7 лет проход бесплатен, для детей от 8 до 18 лет билет стоит 100 рублей, а взрослым он обойдется в 200 рублей. Таким образом, стоимость билета определяется возрастом его покупателя. Математики в таком случае говорят, что цена билета является функцией от возраста посетителя.

Пусть есть выражение 2s + 5. Обозначим его значение переменной d. Для любого значения s мы можем вычислить значение d, которое будет ему соответствовать. При s = 5 получаем

d = 2*5 + 2 = 15

а при s = 10 имеем

d = 2*10 + 2 = 25

Получается, что значение переменной d однозначно определяется s, то есть d является функцией от s.

Попробуем дать строгое определение функции. Как и многие другие определения в математике, оно использует понятие множества.

Обозначим буквой D множество всех тех чисел, которые можно подставить в функцию вместо величины d. Очевидно, что это множество всех действительных чисел. Аналогично буквой S обозначим множество всех тех значений, которые может принимать величина s. Получается, что функция

d = 2s + 5

задает правило, по которому каждому элементу множества D ставится в соответствие один из элементов множества S. В связи с этим можно сформулировать определение:

Множество S называют областью определения функции, а множество D – областью значений функции. Величину s называют независимой величиной, независимой переменной, либо просто аргументом, ведь мы можем по своему усмотрению придавать ей любое значение. Для величины d используют термин зависимая величина, зависимая переменная, либо просто функция, ведь ее значение ЗАВИСИТ от того, какое значение будет выбрано для аргумента. Другими словами, аргумент и функция – это две величины, одна из которых (независимая) определяет другую (зависимую). Иногда встречается запись:

d(s) = 2s + 5

Буква s в скобках означает, что d зависит именно от переменной s. Другой пример: запись u(t)обозначает некую функцию, где t выступает в роли независимой величины, а u – в роли зависящей от аргумента функции.

Иногда необходимо указать значение функции при конкретном значении аргумента. В этом случае этот аргумент пишут в скобках:

d(3) = 2*3 + 5 = 11

d(8) = 2*8 + 5 = 21

d(-100) = 2*(-100) + 5 = -195

То есть, если нам надо указать значение какой-то функции y(х) при х равном, например, 7, то мы просто пишем у(7).

Сделаем несколько уточнений. Во-первых, множества, между которыми устанавливается соответствие, не обязательно должны быть числовыми. Например, если стоимость чехла для телефона зависит от его цвета (синий, желтый, красный), то эту стоимость можно считать функцией от цвета, который не описывается числом. Если для каждого кассира, работающего в магазине, можно указать кассу, где он трудится, то касса является функцией от имени кассира. Впрочем, в основном математика, а особенно алгебра,изучает именно числовые функции.

Во-вторых, принципиально важно, чтобы для каждого значения аргумента функция задавала ровно 1 значение зависимой величины.

Например, пусть числу n соответствует такое число m, чтобы выполнялось условие:

m²=n

Тогда числу 4 мы можем поставить в соответствие как 2, так и – 2:

(-2)²=4

2² = 4

Значит, это соответствие не является функцией.

Однако допускается обратная ситуация, когда при разных аргументах функция имеет одинаковое значение:

Здесь на рисунке разным аргументам, 2 и (– 2), соответствует одно и тоже число, 4.

В-третьих, данное определение подходит только для функций, зависящих от одной переменной. Существуют и более сложные функции, зависящие от двух и более переменных. Например, в медицине используется индекс массы тела, который рассчитывается как отношение массы тела к квадрату роста. Таким образом, этот индекс зависит от двух переменных – от роста человека и его веса. В рамках школьного курса математики функции нескольких переменных не изучаются, однако они используются при решении многих практических задач.

Наконец, надо понимать, что фраза «переменная d зависит от s» не всегда означает наличия причинно-следственной связи между этими параметрами. Классический пример – цены на нефть на мировых биржах. Для каждого прошедшего момента времени можно указать, сколько именно тогда стоила нефть. Тем самым, с математической точки зрения, задается функция, где цена товара зависит от времени. Однако любой экономист скажет, что на самом деле стоимость продукции зависит отнюдь не от времени, а от спроса и предложения на товар, а также себестоимости его производства. Другими словами, в математике словосочетание «a зависит от b» правильнее понимать как «a соответствует b».

Способы задания функции

Самый простой способ задания какой-либо зависимости – описательный, или словесный. Вот пример такого описания: «каждому нечетному числу x соответствует число y, равное его наименьшему делителю (не считая единицы)». Такая формулировка значит, что, например, числу 15 соответствует число 3, ведь 15 делится только на 3 и 5, а тройка меньше пятерки. Числу 91 соответствует 7, так как 91 делится на 7 и 13. А какое число соответствует, скажем, 12? Никакое, ведь в описании функции указано, что аргументом должно быть нечетное число, а 12 – четное.

Чаще всего в алгебре применяют аналитический способ задания функции. Он подразумевает, что записывается формула, позволяющая по значению независимой величины вычислить величину зависимую:

Этим записям аналогична другая, где аргумент прямо указывается в скобках после зависимой величины:

Иногда функция может быть представлена в виде алгоритма. Например: «для вычисления значения g(х) необходимо сложить все десятичные цифры, из которых состоит натуральное число x». Тогда для аргумента 135 функция будет равна 9:

g(135) = 1 + 3 + 5 = 9

Вот ещё несколько значений этой функции:

g(89) = 8 + 9 =17

g(5656) = 5 + 6 + 5 +6 = 22

Подобный подход нередко встречается в некоторых языках программирования.

Если область определения функции не содержит бесконечное число чисел, то ее можно задать таблицей.В ней указывают все возможные значения независимой величины, а также соответствующие её значения зависимой величины. Вот пример табличной функции, задающей соответствие между размерами европейскими и английскими размерами мужских пальто:

А вот ещё одна табличная функция, которая каждому натуральному числу n от 1 до 5 ставит в соответствие число, равное 2n + 3:

По приведенной таблице легко определить, что

y(1) = 5

y(2) = 7

y(3) = 9

y(4) = 11

y(5) = 13

Очень распространен графический способ задания функции. Он предполагает, что нарисован график (линия или набор линий на координатной плоскости), с помощью которого можно по аргументу определить зависимую величину. Этот график может выглядеть так:

На координатной плоскости показана горизонтальная ось, по которой откладывают значение независимой переменной (в этом примере это х), и вертикальная ось, где отмечают зависимую переменную (у). Сам график показан синей линией. Покажем, как с его помощью находить значение y. Пусть надо узнать y(2), то есть значение y при x = 2. Находим на горизонтальной оси x (ее ещё называют осью абсцисс) число 2 и проводим с нее вертикальную линию до пересечения графика:

После этого от полученной точки проводится уже горизонтальная линия до пересечения с вертикальной осью y (другое ее название – ось ординат):

Далее смотрим, где именно горизонтальная линия пересекла ось у. В рассматриваемом случае получили, что у(2) = – 2,5.

Можно сформулировать определение графика функции:

Надо понимать, что не любая линия задает какую-нибудь функцию. Дело в том, что ни одна вертикальная линия не должна пересекаться с графиком в 2 и более точках, ведь тогда одному значению аргумента будет соответствовать несколько значений функции.Такая ситуация показана на рисунке:

Здесь можно видеть, что для x = 3 можно указать два значения для y. Однако по определению значению независимой величины в соответствие ставится лишь одно значение зависимой переменной. Поэтому синяя линия здесь не является графиком функции (приведен как пример того, что не всякая линия может являться графиком функции). Нередко полностью построить график невозможно. Например, зависимость

y = x + 2

определена и при x = 1, и при x =1000000000000000000. Поэтому иногда график строят частично, чтобы наглядно были видны его особенности.

Примерами графических функций являются кардиограммы, фиксирующие работу сердца, а также показания сейсмографа – прибора, измеряющего силу землетрясений.

Построение графика функции

Одну и ту же зависимость возможно порою задать как аналитически, так и графически. Графики помогают при решении многих сложных задач, ведь они наглядно иллюстрируют поведение функций. Посмотрим, как построить график функции, если для нее известна формула, ее описывающая.

Пусть дана зависимость

y(x) = 0.5x(4 - x)

Будем строить для нее график при значениях x от – 2 до 6. Для этого запишем в таблице все возможные целые значения х и вычислим для них величину y.Покажем несколько примеров расчета:

y(-2) = 0.5*(-2)(4-(-2)) = -6

y(-1) = 0.5*(-1)(4-(-1)) = -2.5

y(0) = 0.5*0*(4-0) = 0

Таким образом заполняется вся таблица:

Получили координаты 9 точек, которые отметим на плоскости (для первых двух точек пунктирами показано, как нашли их местоположение):

Они уже «намечают» некоторую линию. Конечно, отметить все возможные точки невозможно. Однако при необходимости можно «уплотнить» точки на графике, вычислив у ещё при некоторых дробных значениях x, например:

y(-1.5) = 0.5*(-1.5)(4-(-1.5)) = 4.125

y(-0.5) = 0.5*(-0.5)(4-(-0.5)) = 1.125

Отложим эти и ещё несколько дополнительных точек на графике:

С помощью современной компьютерной техники можно почти мгновенно вычислить местоположение миллионов таких точек. Соединив их все плавной линией, получим график:

Линейная функция

Можно представить огромное количество разных функций, однако есть некоторые, которые имеют особое значение как в математике, так и в естественных науках. Знакомство с основными функциями мы начнем с простейшей и одновременно важнейшей из них –линейной функции. Сначала познакомимся с ее частным случаем – прямой пропорциональностью.

Пусть автомобиль едет со скоростью 15 м/с. Обозначим за t время поездки в секундах, а за s – пройденное расстояние в метрах. Так как путь равен произведению скорости и времени, то можно записать:

s = 15t

Увеличение времени поездки, например, вдвое ведет также к удвоению пройденного расстояния. Сокращение времени в три раза приведет и к уменьшению пути втрое. В таком случае математики говорят, что величина s прямо пропорциональна величине t.

Периметр квадрата p зависит от длины его стороны a и вычисляется по формуле:

p = 4a

Величины p и a также прямо пропорциональны друг другу.

Зависимость, связывающая такие величины, называется прямой пропорциональностью. Она имеет вид

y = kx

где x – независимая величина, y – зависимая величина, а k – произвольное число (константа), которое не равно нулю.

Число k называют коэффициентом пропорциональности. Он показывает, во сколько раз зависимая переменная больше аргумента.

Легко заметить, что при x = 0 и y = 0, причем это правило будет выполняться независимо от значения коэффициента пропорциональности. Это значит, что график у = kх обязательно проходит через начало координат точку O (0;0).

Построим график прямой пропорциональности на примере

y = 0.5x

Выше мы уже строили график функции, находя несколько ее значений и занося их в таблицу. Здесь поступим также:

Теперь можно отметить найденные точки, соединить их и получить график:

Оказывается, что все точки лежат строго на одной прямой! И это будет верно для любой зависимости, которая является прямой пропорциональностью. Для наглядности покажем на графике функции:

• y = x (синий цвет);
• y = 2x (зеленый цвет);
• y = 3x (красный цвет).

Из курса геометрии известно, что для построения прямой достаточно двух ее точек. Поэтому, чтобы получить график заданной прямой пропорциональности, достаточно найти одну точку, относящуюся к этому графику, и соединить ее прямой с началом координат.

На координатной плоскости принято выделять координатные четверти, которые ещё называют квадрантами. Их использование упрощает анализ графиков:

По четверти, в которой располагается точка, можно сразу определить знак ее координат:

• в I четверти координаты х и у положительны;
• во II четверти х отрицателен, а у положителен;
• в III четверти обе координаты отрицательны;
• в IV четверти х положителен, а у отрицателен.

Все примеры графиков прямой пропорциональности, которые мы рассматривали до этого, проходили через I и III четверть. Это было связано с тем, что коэффициент пропорциональности в них был положительным числом. Теперь попробуем построить графики функций

y = -0.5x

y = -x

y = -2x

На графике они показаны соответственно синим, зеленым и красным цветом:

Видно, что при отрицательных значениях коэффициента пропорциональности прямая проходит через II и IV четверти.

Также можно заметить, что наклон графика зависит от k. Чем больше этот коэффициент (по модулю, то есть без учета знака), тем ближе прямая к вертикальной линии. Чем меньше k, тем ближе прямая к горизонтальной линии. Убедимся в этом, построив графики y = 10x и y = 0,1x:

Теперь рассмотрим собственно линейную функцию. Она отличается от прямой пропорциональности добавлением свободного коэффициента в правой части. Примерами линейной функции являются:

s = 8t + 2

d = 0.27b - 7.5

y = 19x + 0.001

Приведем пример из реальной жизни. Пусть есть бидон для молока, который весит 5 кг. Масса 1 литра молока равна 0,9 кг. Тогда масса бидона (обозначим ее как m), в который залили молоко, зависит от объема молока в нем (обозначим этот объем как p). Эту зависимость можно описать так:

m = 5 + 0.9p

Говорят, что масса бидона линейно зависит от объема молока в нем.

По сути, линейная функция – это такая же прямая пропорциональность. Отличие только в том, что при аргументе, равном нулю, сама зависимая переменная нулю может и не равняться. В данном примере при отсутствии молока в емкости у нее всё равно остается собственная масса.

Отдельно отметим два момента. Во-первых, прямая пропорциональность тоже является линейной функцией, если принять b = 0, а k≠ 0, то будет: у = kx. Во-вторых, в отличие от прямой пропорциональности, у линейной функции коэффициент k может быть и равным нулю.

Каковы особенности линейной функции и ее графика? До этого мы строили график

y = 0.5x

Теперь построим график линейной зависимости

y = 0.5x + 3

Будем сравнивать в таблице значения этих двух выражений:

Видно, что при любом значении x функция y = 0,5x + 3 имеет значение, которое на 3 больше значения y = 0,5x. Поэтому все точки графика можно получить, «подняв» на 3 единицы точки графика без коэффициента b (а это прямая пропорциональность):

Получается, что график линейной зависимости – это также прямая, которая, однако, может и не проходить через точку О (0; 0).

Если в зависимость

y = kx + b

подставить значение аргумента, равное нулю, то получим

y = k*0 + b

y = b

Это значит, что график линейной функции проходит через точку с координатами (0, b), в которой он и пересекает вертикальную ось у. С другой стороны, график линейной зависимости у = kх + b параллелен графику y = kx:

Так как коэффициент k определяет наклон прямой, его именуют угловым коэффициентом.

Через любые две точки проходит только одна прямая, а потому для построения графика линейной зависимости достаточно вычислить ее значение в двух точках, отметить их и соединить прямой линией.

Пусть необходимо построить график зависимости

y = 2x/3 + 2

Вычислим значение функции в двух точках. Удобнее всего взять значения х, равные 0 и 3:

y(0) = 2/3*0 + 2 = 2

y(3) = 2/3*3 + 2 = 2 + 2 = 4

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем прямую:

Рассмотрим отдельно ситуацию, когда число k = 0. В этом случае одночлен с переменной x можно опустить:

y = 0*x + b = b

Примерами подобных функций являются

y = 1

y = 5

y = 8.37

y = -3.23

Хотя в записи этих выражений аргумент не указан (нет переменной x), их всё равно можно считать функциями, ведь определить значение зависимой величины можно. Просто при любом значении независимой величины значение y остается одним и тем же.

Графиками подобных зависимостей являются горизонтальные прямые, пересекающие ось ординат в точке с координатами (0;b):

Если на плоскости построены два разных графика с одинаковым угловым коэффициентом, то они будут параллельны друг другу. В противном случае они пересекутся. Любые две прямые пересекаются только в одной точке. Покажем, как ее найти.

Пусть надо найти точку пересечения графиков

y = -3x + 1

и

y = x - 3

Ясно, что их общая точка должна иметь такие координаты, которые при подставлении в каждую из функций дают верное равенство. Обозначим ее координаты как x₀ и y₀. Тогда можно записать два равенства:

y₀ = -3x₀ + 1

y₀ = x₀ - 3

У этих двух уравнений равны левые части, значит, должны равняться и правые:

-3x₀ + 1 = x₀ - 3

Решим его:

-4x₀ = -4

x₀ = 1

Найдя значение x₀, можно подставить его в любую из функций, чтобы вычислить и значение y₀:

y₀ = x₀ - 3 = 1 - 3 = -2

Получили точку (1; – 2). Данный способ нахождения точки пересечения графиков функции называют аналитическим. Проверим себя, используя графический способ, то есть просто построим эти графики:

Степенная функция с натуральным показателем

Если обозначить сторону квадрата как a, то его площадь будет являться функцией:

S = a²

Для вычисления объема куба с ребром a необходимо возводить число уже в третью степень:

V = a³

Эти выражения являются примерами степенных функций с натуральным показателем. Таковой будет являться любое уравнение y = x^s, где s – это какое-то натуральное число.

При s = 1 степенная функция обращается в зависимость у = х, то есть в прямую пропорциональность. Независимая величина х может принимать любые значения, а вот область значений зависит от четности или нечетности показателя s (этот вопрос будет рассмотрен подробнее чуть позже).

Рассмотрим функцию y = x². Ясно, что при х, равном нулю, зависимая переменная также обращается в нуль:

y(0) = 0² = 0

Следовательно, ее график проходит через точку О (0;0). Это характерное свойство степенных функций с любым натуральным показателем.

Квадрат любого числа не может быть отрицательным числом, а потому график лежит в I и II четвертях. Следовательно, областью значений будет являться всё множество неотрицательных действительных чисел.

Заметим, что противоположным значениям х соответствуют одинаковые значения y:

y(-x) = (-x)² = x² = y(x)

Из-за этого график обладает симметрией относительно оси у.

Найдем несколько точек, по которым можно построить график степенной функции:

Полученную фигуру называют параболой, а точку О (0;0) – вершиной параболы. Видно, что точки параболы располагаются симметрично относительно оси ординат.

Заметим, что у степенных функций с четным показателем графики похожи. Они все симметричны относительно оси у, а также у них есть три общие точки:

• (0;0);
• (1;1);
• (– 1;1).

Они определены на множестве всех неотрицательных чисел. Чем выше показатель степени, тем более плотно график «прижимается» к горизонтальной оси при малых х и тем более резко он поднимается вверх при больших х:

Далее изучим те степенные функции, показатель которых – нечетное число. Одной из них является

y = x³

Её график также пересекает начало координат. При положительном значении аргумента куб числа также положителен, а при отрицательном значении аргумента он будет отрицательным числом. Следовательно, график должен проходить через I и III четверти. Построим график по точкам:

Полученный график называют кубической параболой. Графики других степенных функций (x⁵, x⁷, x⁹ и т.д.) похожи на этот:

Они проходят через точки (0;0), (1;1) и (– 1; –1), лежат в I и III четвертях. У всех этих функций и в область значений, и область определений попадают все действительные числа.