Алгебра

Урок 8: Сокращённое умножение

Урок 8: Сокращённое умножение

Ранее мы уже научились перемножать многочлены. В старших классах придется особенно часто возводить некоторые полиномы во вторую и третью степень. Существуют специальные методы, которые позволяют выполнять эти операции очень быстро, не раскрывая каждый раз скобки. Они основаны на использовании специальных тождеств, которые называются формулами сокращенного умножения.

План урока:

Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности

Формулы для кубов

Треугольник Паскаля

 

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a - b) = a2 - ab + ba - b2

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a - b) = a2 - ab + ba - b= a2 - b2

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a2 - b = (a + b)(a - b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

1 opredelenie

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

72 - 52

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

72 - 5= 7*7 - 5*5 = 49 - 25 = 24

72 - 5= (7 - 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 25162 и 15162.

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

25162 - 15162 = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Ответ: 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

499 = 500 - 1

501 = 500 + 1

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 - 1)(500 + 1) = 5002 - 12 = 250000 - 1 = 249999

Ответ: 249999.

 

Пример. Докажите, что число 7658732 – 7658642 делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

7658732 – 765864= (765873 - 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u - 5v) = (8u)2 - (5v)2 = 64u2 - 25v2

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u - 5v) = (8u)- 8u*5v + 5v*8u - (5v)2 = 64u2 - 25v2

Пример. Перемножьте полиномы x2z +2yи x2z– 2y3.

Решение.

(x2z +2y3)(x2z +2y3) = (x2z)2 - (2y3)= x4z2 - 4y6

 

Пример. Упростите выражение

-3.5m2 - (1.5n - 2m)(1.5n + 2m)

Решение:

-3.5m2 - (1.5n - 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m2 - ((1.5n)2 - (2m)2) = -3.5m2 - 2.25n2 + 4m2 = 0.5m2 - 2.25n2

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x2– 25 можно представить как

x2 - 25 = x2 - 52 = (x - 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1)2 = n2

Раскроем скобки:

(n + 1)2 - n2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a2 + bаналогичной формулы разложения на множители не существует.

 

Квадрат суммы

Возведем во вторую степень сумму двух произвольных величин, которые обозначим буквами a и b:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

То есть верно тождество

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Это тождество называют формулой квадрата суммы.

2 opredelenie

Покажем ее верность на числовом примере. Вычислим значение выражения (5 + 3)2 двумя различными способами, с помощью формулы возведения суммы в квадрат и без нее:

(5 + 3) = 82 = 64

(5 + 3)= 52 + 2 * 5 * 3 + 32 = 25 + 30 + 9 = 64

Выражение для квадрата суммы используется также, как и формула разности квадратов. В нее можно подставлять числа, полиномы и мономы, произвольные выражения. Тождество можно перевернуть, и тогда получится равенство:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

которое является верным.

Тождество можно проиллюстрировать и геометрически. Построим квадрат со стороной a + b (отрезки длиной а выделены красным цветом, а длиной b– синим):

3 kvadrat i formuly

Площадь такой фигуры равна второй степени стороны:

S = (a + b)2

С другой стороны, этот квадрат составлен из двух прямоугольников площадью ab и квадратов со сторонами a и b:

S = a2 + 2ab + b2

Пример. Вычислите 10102.

Решение. Представим число 1010 как сумму 1000 и 10. Тогда можно записать:

(1010)2 = (1000 + 10)2 = 10002 + 2 * 1000 * 10 + 102 = 1000000 + 20000 + 100 = 1020100

 

Пример. Докажите, что число 9060100 является второй степенью натурального числа.

Решение. Представим 9060100 как сумму слагаемых 9000000, 60000 и 100. В свою очередь верны следующие равенства:

30002 = 9000000

102 = 100

2 * 10 * 3000 = 60000

 

Тогда можно воспользоваться сокращенным умножением:

9060100 = 9000000 + 60000 + 100 = 30002 + 2 * 10 * 3000 + 102 = (3000 + 10)2 = 30102

Получили, что 9060100 – это вторая степень числа 3010. При этом нам не пришлось извлекать квадратный корень.

В тождество квадрата суммы можно подставлять не только числа, но и многочлены. Представим в виде произведения мономов выражение

(5h + 8)2 - (4h + 10)2

 

Сначала по формуле квадрата суммы раскроем каждую из скобок:

(5h + 8)2 - (4h + 10)= (25h2 + 80h + 64) - (16h2 + 80h + 100) = 25h2 + 80h + 64 - 16h2 - 80h - 100

 

Далее приведем подобные слагаемые:

25h2 + 80h + 64 - 16h2 - 80h - 100 = (25h2 - 16h2) + (80h - 80h) + (64 - 100) = 9h2 - 36

 

оставшийся полином раскладывается на множители с помощью сокращенного умножения:

9h2 - 36 = (3h)2 - 62 = (3h - 6)(3h + 6)

 

Квадрат разности

Своя формула сокращенного умножения существует не только для квадрата суммы, но и для квадрата разности. Выведем её. Для этого возведем во вторую степень выражение a– b:

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

Итак, мы получили тождество, называемое формулой квадрата разности:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

4 opredelenie

Убедимся в верности тождества на примере. Для этого вычислим значение выражения (9 – 5)2 двумя разными способами, с использованием формулы возведения разности в квадрат и без неё:

(9 - 5)2 = 42 = 16

(9 - 5)2 = 92 - 2 * 9 * 5 + 52 = 81 - 90 + 25 = 16

Заметим, что если поменять местами переменные aи b, то значение квадрата их разности не изменится:

(b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Дело в том, что числа a– b и b – a являются противоположными. В предыдущем уроке «Разложение многочленов на множители» мы узнали, что

a - b = -(b - a)

Вторые же степени (как и вообще любые четные степени) противоположных чисел равны друг другу:

(-a)2 = (-a)(-a) = (-1)*(-1)a2 = a2

Можно заметить сходство между тождествами для вычисления квадрата разности и суммы. Действительно, они отличаются лишь одним знаком. Поэтому иногда эти два тождества записывают как единое целое:

gfjhj

Если в левой скобке стоит плюс, то и в правой должен быть именно он. Если в левой части тождества стоит минус, то справа также должен стоять минус.

 

Пример. Вычислите 9999992.

Решение. Перемножать два шестизначных числа весьма сложно. Однако заметим, что число 999999 можно представить как разницу миллиона и единицы:

999999 = 1000000 - 1

Используем сокращенное умножение:

9999992 = (1000000 - 1)2 = 10000002 - 2*1*1000000 + 1 = 1000000000000 - 2000000 + 1

Несложно выполнить оставшиеся вычисления в столбик

1000000000000 - 2000000 + 1 = 999998000001

Ответ: 999998000001.

 

Пример. Раскройте скобки в выражении (4m– 3)2

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(4m– 3)= (4m)2 - 2*4m*3 + 32 = 16m2 - 24m + 9

Важно понимать, что вместо букв a и b могут стоять не только одночлены, но и полиномы. Пусть нам надо возвести во вторую степень полином

u2 - 6u + 5

Если просто выполнить умножение методом «фонтанчика», то после раскрытия скобок получим 3•3 = 9 одночленов (так как исходный многочлен состоит из 3 мономов). Для упрощения представим исходный трехчлен как разность:

u2 - 6u + 5 = u2 - (6u - 5)

Тогда вторую степень можно найти так:

(u2 - 6u + 5)2 = (u2 - (6u - 5))2 = (u2)2 - 2*u2(6u - 5) + (6u - 5)2 = u4 - 12u3 + 10u2 + 36u2 - 60u + 25 = u4 - 12u3 + 36u2 - 60u + 25 = u4 - 12u3 + 46u2 - 60u + 25

 

Пример. Докажите, что квадратный трехчлен m2– 16m + 66 ни при каких значениях переменной m не принимает отрицательные значения.

Решение.

Известно, что вторая степень любого числа неотрицательна. Выделим в исходном трехчлене квадрат, содержащий переменную m. Для этого разложим число 66 как сумму 2 + 64:

m2 - 16m + 65 = m2 - 16m + 64 + 2 = m2 - 2 * 8 * m + 82 + 2 = (m - 8)2 + 2

При любом значении m выражение (m – 8)2 неотрицательно, а значит, неотрицательно и значение (m – 8)2 + 2. Более того, можно указать, что минимальное значение, которое может принимать исходный трехчлен, равно 2.

Заметим, что использованный в данном методе прием позволяет представить, по сути, любой квадратный трехчлен как разницу или сумму полного квадрата какого-то полинома и числа, что в свою очередь помогает оценить его максимальное или минимальное значение. Например, дан трехчлен 4v2 + 12v – 10.Первое его слагаемое можно представить как квадрат какого-то числа:

(4v2) = (2v)2

Подобное действие в отношении трехчлена можно предпринять всегда, правда, иногда придется использовать квадратные корни, которые мы ещё не изучали детально. Далее второе слагаемое можно разложить на три множителя, одним из которых будет двойка, а вторым – тот самый одночлен, дающий при возведении во вторую степень первое слагаемое. Третий же множитель окажется каким-то числом:

12v = 2*2v*3

Теперь чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности, добавим к многочлену квадрат этого третьего множителя, а чтобы значение полинома не изменилось, сразу же его и вычтем. В данном случае третьим множителем оказалась тройка, а потому надо добавить 32 и сразу же отнять 32. Один из этих квадратов войдет в формулу сокращенного умножения, а другой – нет:

4v2 + 12v - 10 = (2v)2 + 2*2v*3 - 10 + 32 - 32 = ((2v)2 + 2*2v*3 + 32) - 10 - 32 = (2v + 3)2 - 19

Так как выражение (2v + 3)2 не может быть меньше нуля, то и минимальное значение трехчлена 4v2 + 12v– 10 равно(– 19)

 

Пример. Оцените возможные значения трехчлена – 9с2 + 15с + 8

Решение.

Воспользуемся таким же методом, но сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы можно слагаемое 9c2 представить как квадрат какого-то монома:

-9c2 + 15c + 8 = -(9c2 - 15c - 8) = -((3c)2 - 2 * 3c * 2.5 - 8 + 2.52 - 2.52) = -((3c - 2.5)2 - 8 - 6.25) = -(3c - 2.5)2 + 14.25

Значение выражения – (3с – 2,5)2 может быть только меньше или равным нулю. Значит, исходный трехчлен не может принимать значения, большие, чем 14,25.

 

Формулы для кубов

До этого мы познакомились с тождествами, в которых величины возводились во вторую степень. Их будет достаточно почти для всех школьных заданий, в том числе и на ЕГЭ, поэтому необходимо сосредоточиться именно на их изучении.Однако в алгебре есть и более сложные формулы сокращенного умножения, в которых переменные возводятся в куб.Их использование может пригодиться в задачах повышенной сложности. Выведем их.

Найдем значение куба суммы двух слагаемых. Для этого возведем в куб выражение a + b:

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Получили тождество

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

которое называют формулой куба суммы.

 

Пример. Вычислите 1013

Решение.

1013 = (100 + 1)3 = 1003 + 3*1002*1 + 3*100*12 + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

Ответ: 1030301.

Пример. Представьте в виде многочлена выражение (4p + 3k)3.

Решение. Воспользуемся формулой куба суммы:

(4p + 3k)3 = (4p)3 + 3*(4p)2*3k + 3*4p*(3k)2 + (3k)3 = 64p3 + 144p2k + 108pk2 + 27k3

Выведем аналогичным образом и формулу куба разности чисел:

(a - b)3 = (a - b)2(a - b) = (a2 - 2ab + b2)(a - b) = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Итак, мы получили ещё одно тождество

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

 

Пример. Вычислите 4983.

Решение. Представим число 498 как разность 500 – 2. Тогда для вычисления можно воспользоваться выражением для вычисления куба разности:

4983 = (500 - 2)3 = 5003 - 3*5002*2 + 3 * 500 * 22 - 23 = 125000000 - 1500000 + 6000 - 8 = 123505992

Ответ: 123505992.

Сложнее получить тождества для суммы и разности кубов, ведь напрямую найти разложить на множители выражение a3 + bдовольно тяжело. К счастью, математикам удалось подобрать новые множители.

Сначала рассмотрим выражение

a2 + ab + b2

Оно отличается от квадрата суммы только одним слагаемым. Вместо 2ab стоит ab. Из-за этой схожести его называют неполным квадратом суммы.

5 opredelenie

Аналогично определяют и такое понятие, как неполный квадрат разности.

6 opredelenie

Теперь попробуем перемножить неполный квадрат суммы чисел a и b и их разность:

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3

В результате нам удалось получить формулу разности кубов:

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

7 opredelenie

Теперь попробуем умножить сумму двух величин на неполный квадрат разности:

(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3

Получили формулу суммы кубов:

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

8 opredelenie

Понятно, что запомнить все эти тождества нелегко, однако их всегда можно посмотреть в любом математическом справочнике.

 

Пример. Разложите на множители полином 8p3 + 0,001q3.

Решение. Здесь можно воспользоваться тождеством для куба суммы:

8p3 + 0.001q3 = (2p)3 + (0.1q)3 = (2p + 0.1q)((2p)2 - 2p*0.1q + (0.1q)2) = (2p + 0.1q)(4p2 - 0.2pq +0.01q2)

Применять формулы с кубами для вычислений значительно сложнее, чем со вторыми степенями, однако всё же иногда они могут помочь. Пусть надо вычислить значение выражения 553 + 453, не используя калькулятор или компьютер. Разложим его на множители:

533 + 453 = (55 + 45)(552 - 55*45 + 452) = 100(552 - 55*45 + 452)

Далее для упрощения расчетов добавим к значению в скобке произведение 55•45 и тут же отнимем его. Это позволит сделать «дополнить» неполный квадрат разности и воспользоваться соответствующей формулой сокращенного умножения:

100(552 - 55*45 + 452) = 100((552 - 55*45 - 55*45 + 452 + 55*45) = 100((552 - 2*55*45 + 452) + 55*45) = 100((55 - 45)2 55*45) = 100((10)2 + 55*45) = 100(100 + 55*45)

В свою очередь произведение 55•45 можно также упростить:

100(100 + 55*45) = 100(100 + (50 + 5)*(50 - 5)) = 100(100 + (502 - 52)) = 100(100 + 2500 - 25) = 100*2575 = 257500

Полученный результат можно проверить с помощью калькулятора:

553 + 453 = 257500

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

9 piramida chisel

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка. Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1).

10 odin pljus odin

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

11 odin pljus dva

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

  • на вершине стоит одна единица
  • на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
  • по бокам на каждом уровне стоят единицы;
  • на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

  • (a + b)1 = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
  • (a + b)2 = 1a2+ 2ab+ 1b2, биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
  • (a + b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + 1b3, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

12 formula

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b)n, где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Первым слагаемым идет a6, а далее слагаемое с буквенной частью a5b. У каждого следующего слагаемого числовой множитель берется из треугольника Паскаля, а в буквенной части у переменной a степень уменьшается, в то время как у b – увеличивается:

a6

6a5b

15a4b2

20a3b3

15a2b4

6ab5

b2

При этом степень каждого одночлена равна 6.

У треугольника Паскаля есть много других важных свойств, из-за которых он используется в иных разделах математики, в частности, в комбинаторике (она изучает количество способов, которыми можно расставить в определенном порядке предметы)и теории вероятностей. Например, можно заметить, что сумма всех чисел в строке n равна 2n:

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

Более подробно использование треугольника Паскаля будет рассмотрено в старших классах.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Вычислите значение разности 9952 – 52
11000025
2999925
3990000
4990
Ответить
3
Вопрос: 2
Вычислите 1022 без калькулятора
110204
210404
310304
410604
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите 9982 без калькулятора
1996004
2998004
3996000
4999004
Ответить
1
Вопрос: 4
На какое число НЕ делится выражение 5552 – 4452
12
25
37
411
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Вычислите значение разности 9952 – 52
1) 1000025 2) 999925 3) 990000 4) 990
2 вопрос:

Вычислите 1022 без калькулятора
1) 10204 2) 10404 3) 10304 4) 10604
3 вопрос:

Вычислите 9982 без калькулятора
1) 996004 2) 998004 3) 996000 4) 999004
4 вопрос:

На какое число НЕ делится выражение 5552 – 4452
1) 2 2) 5 3) 7 4) 11
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 990000
2 вопрос: 10404
3 вопрос: 996004
4 вопрос: 7