Геометрия

Урок 4: Тригонометрия

Тригонометрия и решение треугольников

В 8 классе мы использовали тригонометрические функции для исследования прямоугольных треугольников. Оказывается, что они могут быть полезны и при рассмотрении любых других треугольников.

План урока:

Тригонометрические функции тупых углов

Вычисление координат точки

Вычисление площади треугольника

Площадь параллелограмма

Теорема синусов

Теорема косинусов

 

Тригонометрические функции тупых углов

Впервые с тригонометрическими функциями мы познакомились в 8 классе. Определить их значение можно было с помощью прямоугольного треугольника, рассматривая отношения его сторон (катетов и гипотенуз). Но такой способ определения тригонометрических функций подходит только для острых углов, попадающих в интервал от 0 до 90°. Оказывается, есть способ для вычисления значений тригонометрических функций и от больших углов.

Построим на координатной плоскости полуокружность, центр которой располагается в начале координат, а радиус равен единице. Ее называют единичной полуокружностью. Проведем из точки (0; 0) луч под некоторым углом α, который пересечет полуокружность в некоторой точке М с координатами (х; у). Заметим, что каждому значению α соответствует своя точка М на единичной полуокружности:

1 trigonometriya

Опустим из М перпендикуляр на ось Ох в некоторую точку D. Тогда, если угол α острый,получается прямоугольный треугольник МOD, длины сторон которого можно определить так:

2 trigonometriya

Получается, что координаты точки M как раз и являются синусом и косинусом угла α. Логично считать, что если α – не острый угол, то всё равно координаты точки M будут определять синус и косинус угла α.

3 trigonometriya

Видно, что при тупом угле α точка М оказывается левее оси Оу, поэтому ее абсцисса становится отрицательной. Получается, что косинус может принимать отрицательные значения.

С помощью единичной полуокружности несложно выяснить значения синусов и косинусов для углов 0°, 90° и 180°. Они соответствуют координатам точек А, В и С на рисунке:

4 trigonometriya

Так как эти точки имеют координаты (1; 0), (0; 1) и (– 1; 0), то можно записать следующее:

5 trigonometriya

Используя это определение, найдем тангенс для углов 0° и 180°:

6 trigonometriya

Заметим, что для 90° использовать эту формулу не удастся, так как это приведет к делению на ноль. Поэтому считается, что для 90° значение тангенса не определено, то есть его нельзя вычислить.

Единичная полуокружность является дугой окружности, чей радиус равен единице, а центр находится в начале координат. То есть она может быть задана уравнением

7 trigonometriya

Тем самым мы доказали, что это тождество, которое показывает связь тригонометрических функций друг с другом, выполняется не только для острых углов, но и для всех углов из диапазона 0° ≤α ≤ 180°.

8 trigonometriya

Для вычисления значений тригонометрических углов тупых углов удобно пользоваться так называемыми формулами приведения. Их довольно много, и изучаются они в основном в 10 классе, нам же хватит всего двух формул:

9 trigonometriya

Например, пусть надо вычислить синус для угла 120°. Для этого мы представляем угол в виде разности, где в качестве уменьшаемого используется угол 180°:

10 trigonometriya

Убедиться в справедливости этих двух формул приведения можно с помощью такого построения:

11 trigonometriya

Точка М соответствует углу α, а точка K – углу (180° – α). Опустим из этих точек перпендикуляры МС и KD. Так как

12 trigonometriya

Получается, что ∆OKD и ∆ОМС – прямоугольные, у них есть одинаковый острый угол α, и их гипотенузы ОК и ОМ также одинаковы как радиусы одной окружности. Тогда эти треугольники равны, и поэтому

13 trigonometriya

Знак минус в первом из этих равенств показывает, что точки K отрицательная абсцисса. В итоге мы доказали две формулы приведения.

 

Задание. Вычислите sin 150°.

Решение. Представим угол 150° в виде разности:

14 trigonometriya

 

Вычисление координат точки

Пусть есть некоторая точка А(х;у) с неотрицательной ординатой. Соединим ее с началом координат прямой, которая образует угол α с осью Ох. Посмотрим, как связаны координаты А со значением α.

15 trigonometriya

Пусть луч ОА пересечет единичную окружность в точке М. Опустим из М и А перпендикуляры на Ох, в точки Н и С соответственно. Теперь сравним ∆ОМН и ∆ОАС. Они прямоугольные, и у них есть одинаковый угол α, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия можно найти, поделив ОА на ОМ, при этом учтем, что ОМ = 1, так как М лежит на единичной полуокружности:

16 trigonometriya

Примечание. Данное доказательство не рассматривает частные случаи, когда точка А лежит непосредственно на осях Ох и Оу, и тогда подобные треугольники ∆ОМН и ∆ОАС построить не удается. Эти случаи можно рассмотреть отдельно и показать, что для них выведенные формулы также справедливы.

 

Задание. Точка А находится на расстоянии 3 от начала координат (точки О), причем луч ОА образует с осью Ох угол 135°. Найдите координаты точки А.

17 trigonometriya

 

Решение. Используя выведенные формулы, мы можем записать:

18 trigonometriya

 

Вычисление площади треугольника

В 8 классе мы уже познакомились с одной из формул для определения площади треугольника. Однако на практике возникают ситуации, когда удобнее использовать другие формулы, одну из которых мы сейчас выведем.

Пусть в произвольном ∆АВС известны две стороны, например, ВС (обозначим ее буквой а) и АС (ее обозначим как b). Также известна величина угла между ними:

19 trigonometriya

Разместим этот треугольник в системе координат так, чтобы точка С совпала с началом координат, в находилась на оси Ох и имела положительную абсциссу, А располагалась в первой четверти:

20 trigonometriya

В этом случае координаты А будут определяться формулами:

21 trigonometriya

22 trigonometriya

 

Найдите площадь МКН.

Решение.

23 trigonometriya

 

Задание. Используя калькулятор, найдите площадь треугольника со сторонами 14 и 7 см, если угол между ними равен 48°. Ответ округлите до десятых долей см2.

Решение. Подставляя числа в формулу, получаем:

24 trigonometriya

 

Задание. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, причем они равны 10 см. Вычислите площадь этого прямоугольника.

Решение.

25 trigonometriya

Заметим, что диагонали прямоугольника при пересечении образуют не один, а два угла. Пусть в прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, и ∠АОВ = 30°. Тогда можно найти ∠ВОС, ведь он смежный с ∠АОВ:

26 trigonometriya

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем найти площади 4 треугольников, из которых он состоит, и потом сложить их. Для каждого из этих треугольников нам известны две стороны (они составляют по 5 см) и угол между ними:

27 trigonometriya

 

Площадь параллелограмма

Из выведенной нами формулы площади треугольника вытекает и новая формула для площади параллелограмма. Пусть в параллелограмме нам известны смежные и угол между ними:

28 trigonometriya

На рисунке смежные стороны АВ и AD обозначены буквами и b, а угол между ними обозначен как α. Проведем диагональ BD. Площадь ∆ABD можно вычислить:

29 trigonometriya

 

Задание. Стороны параллелограмма имеют длины 8 и 11 см, а один из углов параллелограмма равен 30°. Какова площадь этого параллелограмма?

Решение. Просто подставляем данные в формулу

30 trigonometriya

Ответ: 44 см2.

 

Задание. Известна площадь параллелограмма MNEF, одна из его сторон и угол:

31 trigonometriya

Так как противоположные стороны в параллелограмме одинаковы, то MF также имеет длину 5:

MF = NE = 5

Запишем формулу для площади и подставим в нее известные данные:

32 trigonometriya

 

Теорема синусов

Пусть есть некоторый ∆АВС, в котором стороны мы обозначим буквами:

33 trigonometriya

Посчитаем его площадь, используя стороны b и c:

34 trigonometriya

Также площадь треугольника можно выразить через а и с:

35 trigonometriya

Полученная формула показывает, что в каждом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла – это константа, не зависящая от выбора стороны. Другими словами,в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам углов, которые лежат против них. Это утверждение именуют теоремой синусов.

В большинстве задач достаточно выведенной формулы

36 trigonometriya

Однако можно дополнить теорему синусов, выяснив, чему же именно равны все эти три отношения. Для этого впишем треугольник в окружность, после чего построим диаметр BD:

37 trigonometriya

Пусть радиус этой окружности равен R, тогда диаметр BD будет вдвое больше:

38 trigonometriya

 

Теперь рассмотрим ∆ВСD. ∠С здесь – прямой, ведь это вписанный угол, опирающийся на полуокружность, то есть дугу в 180°. По определению синуса, которое мы давали ещё в 8 классе, можно записать:

39 trigonometriya

C учетом уже выведенного равенства (6) теорема синусов примет вид:

40 trigonometriya

С помощью теоремы синусов у любого треугольника можно найти две неизвестные стороны, если известны третья сторона и два угла. Процесс нахождение неизвестных элементов треугольника по уже известным элементам именуется решением треугольника. Всего у треугольника 6 элементов – три стороны и три угла. Для нахождения всех элементов в общем случае достаточно знать только 3 из них, а остальные можно найти, используя теорему синусов или иные геометрические соображения.

 

Задание. Решите треугольник, если одна из его сторон равна 14, а прилегающие к ней углы имеют величину 60° и 40°.

Решение.

41 trigonometriya

Обозначим описанный в условии треугольник как ∆МВК. Пусть МК = 14, ∠М = 60° и∠К = 40°. Тогда нам надо найти ∠В, МВ и ВК. Проще всего найти∠В, ведь в любом треугольнике все углы в сумме дают 180°:

42 trigonometriya

Обратите внимание, что так как углы 40° и 80° не являются табличными, то их значения надо вычислять на калькуляторе, а результат вычисления получается приближенным. В данном случае мы округлили его до сотых.

Осталось найти сторону ВК, это также делается с помощью теоремы синусов:

43 trigonometriya

 

Задание. В SRTS = 30°, R = 45°, а высота RM, опущенная на сторону TS, имеет длину 6. Решите SRT.

Решение.

44 trigonometriya

Теперь надо найти какую-нибудь сторону в ∆SRT. Для этого рассмотрим ∆RMS. Он прямоугольный, а потому для него можно записать:

45 trigonometriya

Для нахождения двух оставшихся сторон можно использовать теорему синусов:

46 trigonometriya

 

Задание. В параллелограмме MNEFMFE составляет 120°, а диагональ NF равна 24 и образует со стороной NE угол 40°. Найдите длину МN и MF.

Решение.

47 trigonometriya

Далее заметим, что ∠FNE и ∠MFN одинаковы, ведь они накрест лежащие при параллельных отрезках NE и MF и секущей NF:

48 trigonometriya

Теперь в ∆MNF известна сторона NF и все три угла. Это позволяет с помощью теоремы синусов найти и остальные две стороны:

49 trigonometriya

 

Задание. В окружности радиусом 5 построен вписанный угол величиной 30°. Определите длину хорды, на которую он опирается.

Решение.

50 trigonometriya

Решение. По теореме синусов мы можем записать, что

51 trigonometriya

 

Теорема косинусов

Теорема синусов помогает решать треугольники, в которых известны хотя бы два угла, а также одна из сторон. Но что делать в случае, если наоборот, даны две стороны, но только один угол? Здесь необходима другая теорема, которую именуют теоремой косинусов.

Возьмем произвольный треугольник со сторонами а, и c и поместим его на координатной плоскости так, как показано на рисунке:

52 trigonometriya

Обозначим угол между а и b как α. Тогда координаты А будут определяться так:

53 trigonometriya

Точка В в свою очередь будет иметь координаты (а; 0). Зная координаты А и В, мы можем найти квадрат расстояния между ними, то есть величину с2:

54 trigonometriya

Полученное соотношение как раз и является теоремой косинусов.

55 trigonometriya

Данная формула позволяет находить третью сторону треугольника, если известны две другие, а также угол между ними. Однако ее можно переписать так, чтобы с ее помощью можно было вычислять косинус угла, зная все три стороны треугольника:

56 trigonometriya

 

Это позволяет решать те треугольники, для которых теоремы синусов недостаточно.

Легко заметить, что теорема косинусов похожа на теорему Пифагора. Более того, если угол α = 90°, то формула теоремы косинусов превращается в теорему Пифагора, которая, таким образом, является ее частным случаем. По этой причине иногда теорему косинусов именуют обобщенной теоремой Пифагора.

 

Задание. Решите MNE, если

57 trigonometriya

Решение. По теореме косинусов находим сторону NE:

58 trigonometriya

Осталось найти ∠N и ∠Е. Для этого запишем теорему косинусов так, чтобы в ней фигурировал ∠N:

59 trigonometriya

Мы нашли cosN. Чтобы вычислить сам ∠N, следует использовать особую функцию на калькуляторе или компьютере, которая называется арккосинусом и является обратной для операции «извлечение косинуса». Более подробно она изучается уже в 10 классе. С ее помощью мы узнаем, что

60 trigonometriya

Обратите внимание, что обычно калькулятор выдает результат, показывая десятые и сотые доли градусы, не переводя их в минуты и секунды. Можно оставить ответ и в таком виде. При желании перевести сотые доли в минуты следует дробную часть умножить на 60:

61 trigonometriya

 

Задание. На различных сторонах угла∠А, равного 45°, отложены точки В и С так что

62 trigonometriya

 

Задание. Решите треугольник, если его стороны имеют длину 14, 18 и 20.

Решение.

63 trigonometriya

Решение. Здесь надо дважды применить теорему косинусов, чтобы найти какие-нибудь два угла в ∆АВС:

64 trigonometriya

∠C также можно найти через теорему косинусов, но проще просто вычесть из 180° два уже вычисленных угла:

65 trigonometriya

Во всех рассмотренных задачах на решение треугольника мы знали три элемента треугольника и по ним однозначно вычисляли три других элемента. Однако иногда это невозможно. Так, если в задаче помимо двух сторон указан угол, который НЕ лежит между ними, то в итоге задача может иметь два решения.

 

Задание. В MNE M составляет 60°, а стороны МЕ и NE имеют длины 10 и 9 соответственно. Какова длина MN?

66 trigonometriya

Решение. Теорему синусов здесь применить не удастся, так как для нее необходимо знать хотя бы два угла. Поэтому остается только записать теорему косинусов так, чтобы в ней использовался ∠M:

67 trigonometriya

Получили квадратное уравнение, решить его можно через дискриминант:

68 trigonometriya

В рамках данного урока мы узнали про теоремы синусов и косинусов и научились использовать их для решения треугольников. Также мы познакомились с новыми формулами для вычисления площадей треугольника и параллелограмма.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чему равен sin 150°?
1– 0,25
20,25
3– 0,5
40,5
Ответить
4
Вопрос: 2
Чему равен cos 120°?
10,5
2– 0,5
30,25
4–0,25
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите площадь треугольника, ели две его стороны длиной 20 и 200 см образуют угол 30°.
11000 см2
22000 см2
34000 см2
4500 см2
Ответить
1
Вопрос: 4
Чему равно отношение стороны к синусу противолежащего угла?
1диаметру вписанной окружности
2радиусу описанной окружности
3диаметру описанной окружности
4радиусу описанной окружности
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чему равен sin 150°?
1) – 0,25 2) 0,25 3) – 0,5 4) 0,5
2 вопрос:

Чему равен cos 120°?
1) 0,5 2) – 0,5 3) 0,25 4) –0,25
3 вопрос:

Вычислите площадь треугольника, ели две его стороны длиной 20 и 200 см образуют угол 30°.
1) 1000 см2 2) 2000 см2 3) 4000 см2 4) 500 см2
4 вопрос:

Чему равно отношение стороны к синусу противолежащего угла?
1) диаметру вписанной окружности 2) радиусу описанной окружности 3) диаметру описанной окружности 4) радиусу описанной окружности
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 0,5
2 вопрос: – 0,5
3 вопрос: 1000 см2
4 вопрос: диаметру описанной окружности