Геометрия

Урок 2: Задачи в координатах

Основные задачи в координатах

Можно составить множество геометрических задач, используя для построений координатную плоскость. Для их решения надо знать несколько основных формул.

План урока:

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

Определение координат середины отрезка

Вычисление длины вектора и отрезка

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Использование признака коллинеарности векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Введение прямоугольной системы координат

 

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (хАА) и В(хBB).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

1 zadachi v koordinatah

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

2 zadachi v koordinatah

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

3 zadachi v koordinatah

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

4 zadachi v koordinatah

 

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; 8) и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

5 zadachi v koordinatah

 

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (хк; ук). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (хк; ук), коор-ты можно вычислить так:

x = xk - 8

y = yk - 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = xk - 8

-6 = yk - 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = xk - 8

xk = 5 + 8 = 13

-6 = yk - 15

yk = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

 

Определение координат середины отрезка

Пусть построен вектор АВ, причем известны коор-ты его начала А (хА; уА) и его конца B (хB; уB). Обозначим буквой С середину отрезка АВ и попытаемся вычислить коор-ты С, которые мы обозначим как (хC; уC):

6 zadachi v koordinatah

Рассмотрим вектора АС и СВ. Они имеют одинаковую длину, потому что С разбивает АВ пополам. Также АС и СВ коллинеарны, так как они лежат на одной прямой АВ. При этом они и сонаправлены, а значит, эти вектора равны:

7 zadachi v koordinatah

Нам удалось выразить коор-ты С через координаты А и В. В итоге можно сформулировать правило:

8 zadachi v koordinatah

Например, пусть необходимо найти координаты середины отрезка HK, при этом известны коор-ты его концов: Н(5; – 2) и К(3; 4). Сначала найдем полусумму коор-т х и получим эту же коор-ту у середины:

9 zadachi v koordinatah

Итак, точка середины отрезка имеет коор-ты (4; 1). Для наглядности построим отрезок ОК и продемонстрируем, что его середина действительно находится в точке (4; 1):

10 zadachi v koordinatah

 

Вычисление длины вектора и отрезка

Пусть есть произвольный вектор с коор-тами {x; у}. Отложим его от точки начала координат, после чего из его конца опустим перпендикуляры ОВ и ОС на координатные оси:

11 zadachi v koordinatah

Для простоты рассмотрим случай, когда х и у – положительные числа, то есть точка А находится в первой четверти. Тогда длина ОВ будет равна х:

OB = x

Так как ОСАВ – прямоугольник, то стороны ОС и АВ одинаковы, причем ОС имеет длину, равную коор-те у:

AB = OC = y

Теперь изучим ∆ОВА. Он прямоугольный, и ОА в нем – гипотенуза, поэтому можно записать теорему Пифагора:

OA2 = OB2 + AB2

Теперь заменим отрезки ОВ и АВ на х и у:

OA2 = x2 + y2

Осталось извлечь квадратный корень:

12 zadachi v koordinatah

Мы вывели формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Можно рассмотреть и остальные случаи, когда точка А лежит в другой четверти координатной плоскости или на координатных осях, однако во всех случаях будет получаться одинаковая формула.

13 zadachi v koordinatah

 

Задание. Определите длину вектора с коор-тами:

14 zadachi v koordinatah

Решение. Во всех случаях просто возводим каждую коор-ту в квадрат, потом складываем полученные числа и извлекаем из полученной суммы квадратный корень:

15 zadachi v koordinatah

Теперь предположим, что имеется две точки с коор-тами (х1; у1) и (х2; у2). Требуется найти длину отрезка, их соединяющего, то есть расстояние между этими двумя точками. Если принять одну из этих точек, например первую, за начало вектора, а вторую за его конец, то задача сведется к вычислению длины этого вектора. Его коор-ты можно будет высчитать так:

x = x2 - x1

y = y2 - y1

Тогда расстояние между точками (обозначим его как d) будет вычисляться по формуле:

16 zadachi v koordinatah

 

Задание. Определите длину отрезка MP, если известны коор-ты его концов:

17 zadachi v koordinatah

 

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Выведенные нами формулы являются базовыми для расчетов, связанных с коор-тами. До этого мы решали лишь простейшие задачи на использование этих формул, однако в более сложных задачах надо использовать сразу несколько более сложных формул.

 

Задание. Известны коор-ты трех вершин параллелограмма АВСD: А(4; 1), В(1; 1), С(3; 5). Определите коор-ты четвертой вершины D.

Решение.

18 zadachi v koordinatah

Сначала найдем коор-ты вектора ВС. Мы можем это сделать, так как нам известны коор-ты его начальной и конечной точки:

xBC = xC - xB = 3 - 1 = 2

yBC = yC - yB = 5 - 1 = 4

Так как в параллелограмме противоположные стороны имеют одинаковую длину и при этом параллельны, то вектора ВС и АD равны, то есть имеют одинаковые коор-ты:

19 zadachi v koordinatah

Итак, D имеет коор-ты (6; 5).

Ответ (6; 5).

 

Задание. В – середина отрезка АС. Известны коор-ты точек: А(2; 4) и В(0; 18). Найдите коор-ты С.

Решение.

20 zadachi v koordinatah

Для начала будем работать только с коор-той х. Так как В – середина АС, то их абсциссы (напомним, так называют координату х точек) связаны соотношением:

21 zadachi v koordinatah

 

Задание. Отрезок MN имеет длину 13. Даны координаты концов отрезка: M(4; 6) и N (х; 1). Найдите величину переменной х.

22 zadachi v koordinatah

Нам по условию известно это расстояние для точек M и N, а также известны 3 и 4 коор-т точек. Поэтому надо просто подставить все известные данные в формулу, получить уравнение и решить его:

23 zadachi v koordinatah

Далее извлекаем корень из обеих частей, но при этом появляется два различных корня (так обычно и бывает при решении квадратных уравнений):

24 zadachi v koordinatah

Ответ: – 8 или 16.

 

Задание. Расстояние от точки S(2x; – 2) до точки T (6; 4х) составляет 14. Определите величину х.

Решение. Задача во многом аналогично предыдущей, надо подставить в формулу расстояния между точками данные из условия и решить получившееся уравнение:

25 zadachi v koordinatah

Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:

26 zadachi v koordinatah

Ответ: (– 2,6) или 3.

 

Задание. Найдите коор-ты точки M на рисунке, если точка А имеет коор-ты (4; 2).

27 zadachi v koordinatah

Решение. По рисунку видно, что середина отрезка находится в точке О(0; 0). Коор-ты середины отрезка (то есть точки О) и его граничных точек связаны формулами:

28 zadachi v koordinatah

 

Использование признака коллинеарности векторов

На прошлом уроке мы выяснили, что если вектора коллинеарны, то их коор-ты пропорциональны. Это позволяет определить, лежит ли та или иная точка на указанной прямой.

 

Задание. Даны точки А(1; 2), В(4; 7) и С (10; 17). Определите, лежит ли точка В на прямой АС.

Решение. Если А, В и С принадлежат одной прямой, то любые два вектора, проведенные через эти точки, окажутся коллинеарными друг другу. Если же они НЕ лежат на одной прямой, то наоборот, любые два таких вектора окажутся неколлинеарными. То есть надо составить два вектора, например, АВ и ВС, и проверить их коллинеарность.

Определим коор-ты АВ:

29 zadachi v koordinatah

Напомним, что для проверки векторов на коллинеарность надо поделить их коор-ты друг на друга. Если получится одно и то же число, то вектора коллинеарны:

30 zadachi v koordinatah

В обоих случаях получилось одинаковое число, значит, вектора коллинеарны.

Ответ: Да, точка B лежит на прямой AC.

 

Задание. Проверьте, лежат ли точки А(3; 7), В (8; 12) и С(6; 4) на одной прямой.

Решение. Снова вычисляем коор-ты векторов АВ и ВС:

31 zadachi v koordinatah

Получились разные числа, следовательно, вектора АВ и ВС не коллинеарны, а потому точки А, В и С никак не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, точки A,B,C не лежат на одной прямой.

 

Задание. Проверьте, параллельны ли друг другу отрезки АВ и CD, если известны коор-ты: А(1; 1), В(5; 5), С(4; 2), D(6; 4).

Решение. Если отрезки параллельны, то и вектора АВ и CD должны быть коллинеарными. Проверим это также, как мы это делали в двух предыдущих задачах:

32 zadachi v koordinatah

Итак, вектора коллинеарны. Означает ли это, что отрезки АВ и CD параллельны? Ещё нет. На самом деле возможно два случая:

1) АВ и CD действительно параллельны;

2) АВ и СD лежат на одной прямой, и тогда их параллельными считать нельзя.

33 zadachi v koordinatah

Как же проверить, какой из двух случаев относится к этой задаче? Надо рассмотреть ещё один ВС. Если реализуется второй случай, то он окажется коллинеарен вектору АВ. В первом же случае он будет ему не коллинеарен.

34 zadachi v koordinatah

Получили различные числа, значит, АВ и ВС не коллинеарны. Теперь мы можем точно утверждать, что АВ и СD параллельны.

Ответ: Да, отрезки AB и CD параллельны.

 

Деление отрезка в заданном отношении

Мы уже научились находить коор-ты середины отрезка. Можно сказать, что середина – это точка, которая разбивает отрезок в отношении 1:1, то есть на равные отрезки. А что делать в более сложном случае, если нужно найти точку, разбивающую отрезок в другом отношении, например, в отношении 2:1? Выведем для такого случая формулу.

Пусть точка С разбивает отрезок АВ в некотором отношении так, что отрезок АС в больше отрезка СВ:

35 zadachi v koordinatah

(Примечание. Если отрезок АС меньше СВ, то число k будет меньше единицы.)

Как и обычно, для обозначения коор-т точек используем индексы, совпадающие с обозначением точек: А(xА; уА), В(xВ; уВ) и С(xС; уС).

36 zadachi v koordinatah

Нам также потребуются вектора АС{xАС; уАС} и СВ{xСВ; уСВ}. Так как эти вектора сонаправлены, и АС в k раз длиннее, то

37 zadachi v koordinatah

Абсолютно аналогичные образования приведут к такому же выражению для коор-ты у:

38 zadachi v koordinatah

Рассмотрим на примерах использование этой формулы.

 

Задание. На отрезке РM отложена точка K так, что она разбивает РM на отрезки РK и KM в отношении РK:KM = 2:1. Даны коор-ты точек: Р(6; 3) и К (18; 12). Вычислите коор-ты K.

Решение.

39 zadachi v koordinatah

Отношение РК:КМ = 2:1 означает, что отрезок РК в 2 раза длиннее, чем КМ. Это означает, что в формуле

40 zadachi v koordinatah

 

Задание. Точки B (5; – 16) и H(29; 24) соединены отрезком. Точка M на отрезке ВН отмечена так, что ВМ:МН = 3:5. Определите коор-ты точки М.

Решение. Из отношения ВМ:МН = 3:5 вытекает, что ВМ длиннее МН в

3/5 = 0,6 раз

то есть фактически ВМ короче МН. То есть при использовании формулы

51 zadachi v koordinatah

Рассмотрим ещё несколько более усложненных задач с использованием коор-т.

 

Задание. Точка K лежит на оси Ох, при этом она равноудалена от точек Е(2; 2) и F(6; 10). Найдите коор-ты К.

Решение. У любой точки, лежащей на оси Ох, коор-та у будет равна нулю, в том числе и у точки К:

yk = 0

Будем обозначать неизвестную коор-ту К как х:

xk = x

Напомним расстояние между точками можно рассчитать, используя формулу:

42 zadachi v koordinatah

Получили иррациональное уравнение. В данном случае можно просто приравнять подкоренные выражения, однако после получения корней надо проверить, нет ли среди них посторонних:

43 zadachi v koordinatah

Проверяем, не является ли корень посторонним. Для этого просто подставляем его в уравнение:

44 zadachi v koordinatah

Корень действительно подошел, поэтому коор-та х точки К равна 16.

Ответ: (16; 0).

 

Введение прямоугольной системы координат

Даже если в формулировке задачи коор-ты и вектора прямо не упоминаются, может быть полезным самостоятельно добавить в нее прямоугольную систему координат. Это позволит использовать формулы, используемые в методе коор-т, для решения задачи.

 

Задание. Докажите, что если в параллелограмме сложить квадраты всех его сторон, то получится то же число, что и при сложении квадратов диагоналей этого параллелограмма.

Решение. Расположим систему коор-т таким образом, одна из сторон параллелограмма находилась на оси Ох, причем одна ее вершина совпадала с началом коор-т, а другая имела положительную коор-ту х:

45 zadachi v koordinatah

Пусть вершина А находится в начале коор-т, и тогда она имеет коор-ты (0; 0). Вершина D лежит на Ох, тогда ее ордината равна нулю, а абсциссу обозначим буквой а. Точка В имеет произвольные коор-ты (b; с), коор-ты же точки С можно рассчитать. Сначала заметим, что вектор коор-ты вектора АВ совпадают с коор-тами точки В, так как он является радиус-вектором:

46 zadachi v koordinatah

Вектора АВ и DC равны, потому что они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину:

47 zadachi v koordinatah

Итак, коор-ты С – это (а + b; с).

Теперь мы должны длину каждой стороны параллелограмма и возвести ее в квадрат. Обратите внимание, что если расстояние между точками рассчитывается по формуле

48 zadachi v koordinatah

Равенство доказано.

 

Задание. В равнобедренном треугольнике длина основания составляет 80 см, а опущенная на нее медиана имеет длину 160 см. Вычислите длины двух других медиан.

Решение. Пусть АВС – рассматриваемый в задаче треугольник, причем АВ – его основание. Расположим систему коор-т так, чтобы ее начало совпадало с точкой, в которой медиана пересекается с основанием:

49 zadachi v koordinatah

В этом случае вершина, из которой опущена медиана, будет иметь коор-ты (0; 160), а две другие вершины будут иметь коор-ты (– 40; 0) и (40; 0).

Нам надо найти длину двух других медиан АM и BN. Они одинаковы по длине, поэтому достаточно найти длину только одной из них, например, АМ. Для этого сначала найдем коор-ты М, которая является серединой ВС:

50 zadachi v koordinatah

Сегодня мы познакомились с важнейшими формулами, используемыми в методе коор-т, и научились решать некоторые простейшие задачи. В будущем мы узнаем о более сложных задачах, в которых будут фигурировать не только отрезки и многоугольники, но и окружности.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Вычислите длину вектора HT {5; 12}
117
27
38,5
413
Ответить
4
Вопрос: 2
Вектор начинается в точке А(9; 7) и заканчивается в точке В(15; 5). Каковы его координаты?
1{6; 2}
2{6; – 2}
3{– 6; 2}
4{– 6; – 2}
Ответить
2
Вопрос: 3
От точки M (12; 3) отложен вектор {5; – 2}. В какой точке будет находиться его конец?
1(17; 1)
2(7; 5)
3(7; – 1)
4(17; 5)
Ответить
1
Вопрос: 4
Найдите середину отрезка, чьи концы лежат в точках Р(8; 16) и K(20; 14)
1(28; 30)
2(12; 2)
3(14; 15)
4(12; – 2)
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Вычислите длину вектора HT {5; 12}
1) 17 2) 7 3) 8,5 4) 13
2 вопрос:

Вектор начинается в точке А(9; 7) и заканчивается в точке В(15; 5). Каковы его координаты?
1) {6; 2} 2) {6; – 2} 3) {– 6; 2} 4) {– 6; – 2}
3 вопрос:

От точки M (12; 3) отложен вектор {5; – 2}. В какой точке будет находиться его конец?
1) (17; 1) 2) (7; 5) 3) (7; – 1) 4) (17; 5)
4 вопрос:

Найдите середину отрезка, чьи концы лежат в точках Р(8; 16) и K(20; 14)
1) (28; 30) 2) (12; 2) 3) (14; 15) 4) (12; – 2)
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 13
2 вопрос: {6; – 2}
3 вопрос: (17; 1)
4 вопрос: (14; 15)