Алгебра

Урок 4: Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Нередко в левой части уравнения стоит многочлен второй степени. В таком случае уравнение называют квадратным. Необходимость в их решении возникает при рассмотрении большого числа задач как в алгебре, так и в геометрии.

План урока:

Определение квадратного уравнения

Решение квадратного уравнения

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений

Теорема Виета

Разложение квадратного трехчлена на множители

Дробно-рациональные уравнения

 

Определение квадратного уравнения

Изучая понятие многочленов, мы познакомились с квадратными трехчленами. Так называют полином 2-ой степени, содержащий только одну переменную. Если его приравнять к нулю, то получится квадратное уравнение. Дадим определение квадратному уравнению:

8 4 1

Приведем несколько конкретных примеров:

  • 2 + 4х + 7 = 0
  • – 3х2 + х – 1,5 = 0
  • 0,05х2 + 99,568х – 47,21 = 0

Числа a, и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Отметим, что числа и могут равняться нулю, и в этом случае соответствующее слагаемое просто не записывается:

  • 2 + 5х = 0
  • 17х2 – 34 = 0

Эти уравнения именуют неполными.

8 4 2

Если же коэффициент а=0, то получается линейное уравнение, которое мы уже умеем решать:

  • 6х – 2 = 0
  • 67х + 89 = 0

Естественно, что для обозначения переменной может использоваться любая буква, а не только х:

  • у2 + 3,5х – 93 = 0
  • – 32z2 + 11z – 78 = 0

Для обозначения коэффициентов могут использоваться специальные термины:

  • а – старший коэффициент;
  • b– второй коэффициент;
  • с – свободный член.

Неполные квадратные уравнения можно очень легко решить. Сначала рассмотрим пример, в котором b = 0:

2 – 45 = 0

Перенесем вправо свободный коэффициент:

2 = 45

Далее поделим на старший коэффициент обе части равенства:

х2 = 9

Понятно, что х равен квадратному корню из 9. Напомним, что у каждого положительного числа есть два квадратных корня! Один из них является положительным числом и называется арифметическим, а другой противоположен ему по знаку. Поэтому можно записать, что

3gdfg

Иногда используют более короткую запись:

х = ± 3

Не любое квадратное уравнение, у которого нет второго коэффициента b, будет иметь решение. Рассмотрим уравнение

2 + 75 = 0

Будем решать его таким же путем, перенося свободный коэффициент c вправо и деля уравнение на старший коэффициент a:

2 + 75 = 0

2 = – 75

х2 = – 25

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, данное уравнение не будет иметь корней.

Сформулируем общий алгоритм решения неполных квадратных уравнений такого типа:

4hguy

Теперь изучим неполные уравнения, в которых нет свободного слагаемого с. Рассмотрим их на примере:

2 + 21х = 0

Слева вынесем переменную х за скобки:

х(7х + 21) = 0

Теперь слева находится произведение двух множителей, а справа – ноль. Очевидно, что произведение может равняться нулю лишь в том случае, когда один из составляющих его множителей (х или 7х + 21) является нулем.

5nhghj

Зная это, запишем:

х = 0 или 7х + 21 = 0

Получили корень х = 0 и ещё одно линейное уравнение, которое легко решить:

7х + 21 = 0

7х = – 21

х = – 3

В результате имеем два корня: 0 и – 3

Опишем общий алгоритм решения этих неполных уравнений:

6sdfs

 

Решение квадратного уравнения

Найти решение квадратного уравнения, если оно полное, достаточно тяжело. Нам поможет формула квадрата суммы:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2

Напомним, что с ее помощью можно разложить на множители некоторые квадратные полиномы:

х2 + 8х + 16 = х2 + 2•4•х + 42 = (х + 4)2

Конечно, здесь нам повезло с квадратным трехчленом – его коэффициенты позволяли воспользоваться формулой квадрата суммы. Однако похожие преобразования можно выполнить и тогда, когда коэффициенты не такие удобные:

х2 + 8х + 20 = х2 + 8х + 16 + 4 =(х2 + 8х + 16) + 4 = (х2 + 2•4•х + 42) + 4 =

= (х + 4)2 + 4

Здесь мы разложили число 20 на сумму 16 + 4, чтобы можно было часть выражения «свернуть» формулой квадрата суммы. Такой прием можно применить вообще к любому квадратному трехчлену:

2 + 10х + 4 = (2х)2 + 2•2х•2,5 + 2,52 – 2,52 + 4 = (2х + 2,5)2 – 2,52 + 4 =

= (2х + 2,5)2 – 6,25 + 4 = (2х + 2,5)2 – 2,25

Здесь мы добавили к трехчлену слагаемое 2,52 и тут же его отняли. Оно было необходимо для получения формулы квадрата суммы.

Отметим, что подобное свертывание можно использовать для решения квадратного уравнения. Действительно, пусть дано уравнение

2 + 10х + 4 = 0

Выше мы уже преобразовали трехчлен, стоящий слева. Произведем замену:

(2х + 2,5)2 – 2,25 = 0

Имеем уравнение, очень похожее на неполное, где отсутствует коэффициент b. Попробуем его решить аналогичным путем:

7jgdd

Из этой записи мы получили два линейных уравнения:

2х + 2,5 = – 1,5 или 2х + 2,5 = 1,5

Решая их, находим два корня:

2х = – 1,5 – 2,5 или 2х = 1,5 – 2,5

2х = – 4 или 2х = – 1

х = – 2 или х = – 0,5

 

Аналогично можно решить и любое другое полное квадратное уравнение. Однако проще пользоваться специальными формулами, в которые надо подставлять значения коэффициентов a, b, с и получать корни квадратного уравнения. Выведем эти формулы.

Пусть есть уравнение

ах2 + bх + с = 0

Поделим обе части уравнения на коэффициент а:

8nghjd

Далее надо выделить квадрат суммы, что бы потом свернуть его по формуле сокращенного умножения:

9dsf

Далее обозначим числитель в правой части (b2 – 4ac) буквой D. Эту величину называют дискриминантом квадратного уравнения.

10gdfg

Перепишем уравнение с учетом этой замены:

11fsdfs

Далее рассмотрим три случая:

  1. D< 0. Если D отрицателен, то и вся дробь справа меньше нуля (так как в знаменателе стоит 4а2 – заведомо положительное число). Слева стоит квадрат выражения, а он никак не может оказаться отрицательным. В итоге имеем, что при отрицательном дискриминанте у уравнения отсутствуют корни.
  2. D = 0. При таком варианте справа получается ноль:

12jgks

Квадрат только одного числа равен нулю – самого нуля, поэтому

13nhgj

Итак, при нулевом дискриминанте у уравнения есть только один корень.

  1. D> 0. В этом варианте дробь справа оказывается положительным числом, а потому у нее есть два квадратных корня. Решение будет выглядеть так:

14vfdfg

Полученное выражение называют основной формулой корней квадратного уравнения.

15bgfh

Если дискриминант – положительное число, то уравнение существует два корня. Для вычисления первого из них надо в формуле квадратного уравнения вместо знака ± поставить минус, а для вычисления второго – знак плюс. Часто 1-ый корень обозначают как х1, а 2-ой – как х2. Заметим, что если D = 0, то при подстановке в основную формулу будет получаться один и тот же корень независимо от выбора знака плюс или минус.

 

Пример. Решите уравнение

2 – 5х – 3 = 0

Решение. Выпишем коэффициенты уравнения

a = 2

b = – 5

c = – 3

Вычислим значение дискриминанта:

D = b2 – 4ас = (– 5)2 – 4•2•(– 3) = 25 + 24 = 49

Так как он больше нуля, то должно получиться два корня. Их можно найти по основной формуле квадратного уравнения:

16bgfjg

Ответ: – 0,5; 3

 

Пример. Найдите все корни уравнения

2 + 6х + 5 = 0

Решение. Найдем дискриминант:

D = b2 – 4ас = 62 – 4•3•5 = 36 – 60 = – 24

Дискриминант оказался отрицательным, значит, и корней у уравнения нет.

Ответ: нет корней.

 

Пример. Найдите значения х, при которых выполняется равенство

2 – 12х + 9 = 0

Решение. Вычислим дискриминант:

D = (– 12)2 – 4•4•9 = 144 – 144 = 0

Так как D = 0, существует лишь один корень:

17fsdgf

Ответ: 1,5

 

Пример. Найдите значения у, при которых справедливо равенство

2 + 4у + 9 = у2 + 11у + 3

Решение. На первый взгляд это уравнение не похоже на изучавшие до этого квадратные уравнения. Однако слагаемые, записанные справа, можно перенести влево, после чего можно будет привести подобные слагаемые:

2 + 4у + 9 = у2 + 11у + 3

2 + 4у+ 9–у2– 11у– 3 = 0

у2 – 7у + 6 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, для которого можно рассчитать дискриминант:
D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4•1•6 = 49 – 24 = 25

Найдем значения двух корней:

18hyt

Ответ: 1; 6

 

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Так как любое квадратное уравнение решается довольно легко, то другие, более сложные уравнения, часто пытаются свести к квадратным. Сначала рассмотрим так называемые биквадратные уравнения. Пусть надо решить уравнение

4–26х2 + 72 = 0

На первый взгляд в левой части стоит полином четвертой, а не второй степени, то есть это уравнение не является квадратным. Введем переменную t, равную х2:

t = х2

Если это выражение возвести в квадрат, то получим

t2 = (х2)2 = х4

Теперь заменим в исходном уравнении х4 на t2, а х2 на t:

2t2–26t + 72 = 0

Получили квадратное уравнение, из которого можно найти значение t. Посчитаем дискриминант:

D = (– 26)2– 4•2•72 = 676 – 576 = 100

Можно найти два значения t:

19mjhg

Однако нам надо найти значение х, а не t. Вспомним, что мы проводили замену

х2 = t

Подставляя вместо найденные корни 4 и 9, получим ещё два уравнения:

х2 = 4

х2 = 9

Первое имеет корни (– 2) и 2, а второе (– 3) и 3. Все эти 4 числа являются корнями исходного уравнения

4 – 26х2 + 72 = 0

Уравнения, которые можно свести к квадратному заменой переменных t = x2, называют биквадратными уравнениями.

8 4 38 4 4

Мы рассмотрели пример, в котором биквадратное уравнение имело 4 корня. Однако порою их может быть и меньше.

 

Пример. Укажите все корни уравнения

у4 + 4у2 – 5 = 0

Решение. Данное уравнение подходит под определение биквадратного, а потому произведем замену t = y2:

t2 + 4t – 5 = 0

Решаем его:

D = 42– 4•1•(– 5) = 16 – (– 20) = 36

22gfdhd

далее проводим обратную замену и получаем уравнения:

у2 = – 5

у2 = 1

Первое из них не имеет решения, ведь квадрат числа – это неотрицательное число. Поэтому решать придется только второе уравнение:

у2 = 1

у = –1 и у = 1

Ответ –1 и 1.

Подстановка t = xсамая простая и очевидная, однако, порою нужно выполнять более сложные подстановки.

Пример. Найдите все z, для которых выполняется условие

(z – 2)(z – 3)(z – 4)(z – 5) = 24

Решение.Замена неочевидна, и всё же попробуем такой вариант:

t = z– 3,5

Тогда содержимое каждой скобки примет вид:

z– 2 = z– 3,5 + 1,5 = t + 1,5

z– 3 = z– 3,5 + 0,5 = t + 0,5

z– 4 = z– 3,5 – 0,5 = t–0,5

z– 5 = z – 3,5 – 1,5 = t–1,5

Уравнение примет вид:

(t + 1,5)(t + 0,5)(t – 0,5)(t – 1,5) = 24

Поменяем местами скобки:

(t – 0,5)(t + 0,5)(t – 1,5)(t + 1,5) = 24

Можно заметить, что в соседние скобки можно переписать, используя формулу разности квадратов:

(t2– 0,52)(t2– 1,52) = 24

Для удобства произведем ещё одну замену s = t2:

(s– 0,52)(s– 1,52) = 24

(s– 0,25)(s– 2,25) = 24

Раскроем скобки в левой части:

s2– 2,25s– 0,25s + 0,5625 = 24

s2– 2,5s + 0,5625– 24 = 0

s2– 2,5s– 23,4375 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

D = (– 2,5)2 – 4•1•(– 23,4375) = 6,25 + 93,75 = 100

23gdfg

Произведем 1-ую обратную замену t2 = s:

t2 = – 3,75

t2 = 6,25

Первое уравнение решений не имеет, а у второго ровно 2 корня:

24nghj

Пришло время второй замены z– 3,5 = t, из которой получаем два уравнения:

z– 3,5 = – 2,5 или z– 3,5 = 2,5

z= – 2,5 + 3,5 или z= 2,5 + 3,5

z = – 1 или z = 6

Ответ: – 1 и 6.

 

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений

При рассмотрении задач, связанных с геометрией, свойствами чисел, движением тел, очень часто возникают квадратные уравнения.

 

Пример. Площадь прямоугольника составляет 126 см2, а одна из его сторон на 5 см длиннее другой. Каковы длины сторон этого прямоугольника?

Решение. Обозначим как длину той стороны прямоугольника, которая меньше. Тогда протяженность второй стороны будет равна k + 5 см. Площадь прямоугольника – это произведение его сторон, а потому можно записать:

k(k + 5) = 126

Решим это уравнение:

k(k + 5) – 126 = 0

k2 + 5k – 126 = 0

D = 52– 4•1•(– 126) = 25 + 504 = 529

25gfghd

Первый корень равен (– 14). Однако ясно, что длина стороны прямоугольника не может измеряться отрицательным числом, поэтому этот корень надо отбросить. Остается только k = 9. То есть длина первой стороны равна 9 см. Вторая сторона равна k + 5, то есть 9 + 5 = 14 см.

Ответ: 9 и 14 см.

 

Пример. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел составляет 290. Что это за числа?

Решение. Обозначим первое число как n. Нечетные числа чередуются с четными, поэтому следующим нечетным числом будет n + 2. Перепишем условие задачи в виде уравнения и найдем его корни:

n2 + (n + 2)2 = 290

n2 + n2 + 4n + 4 – 290 = 0

2n2 + 4n – 286 = 0

D = 42– 4•2•(– 286) = 16 + 2288 = 2304

26nhgd

Получили два решения. Если первое число равно – 13, то второе составит n + 2 = – 11. Если же n = 11, то второе число будет равно 13.

Ответ: – 13 и 11, либо 11 и 13.

Теорема Виета

Большое значения имеют уравнения, у которых старшим коэффициентом является единица. Математики называют их приведенными уравнениями.

8 4 5

Дадим несколько примеров приведенных квадратных уравнений:

  • х2 + 6х + 29 = 0
  • у2 – 7,54у + 87 = 0
  • z2 + 21z + 112 = 0

Название «приведенное» возникло из-за того, что каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, если поделить его части на коэффициент перед х2. Пусть есть уравнение

2 + 5х + 6 = 0

Поделим на 4 обе его части:

х2 + 1,25х + 1,5 = 0

Для приведенного уравнения сформулирована теорема Виета, которая указывает на взаимосвязь его корней и коэффициентов:

28grte

Доказать это очень легко. Если у уравнения

х2 + px + q = 0

существует два корня, то они вычисляются по формулам:

29nfduy

Найдем их сумму:

30werq

Аналогично можно посчитать и их произведение:

31vfds

Естественно, если у уравнения не существует корней (D< 0), то теорема к нему неприменима. Если же корень есть ровно один корень, тогда надо считать, что у уравнения два одинаковых корня.

Удостоверимся в верности этой теоремы на примерах.

  1. х2– 8х + 15 = 0; корни (х1 и х2) равны 3 и 5, в чем можно убедиться подстановкой:

32 – 8•3 + 15 = 0

52 – 8•5 + 15 = 0

Перемножим корни и получим 3•5 = 15 (свободный член), при сложении корней получается 3 + 5 = 8 (второй коэффициент без минуса);

  1. у2 + 13у + 42= 0, корни (– 6) и (– 7), произведение корней 42, сумма корней – 13;
  2. х2 + 2х – 8 = 0, корни (– 4) и 2, их сумма равна (– 2), а произведение (– 8).

Справедливо и утверждение, известное как обратная теорема Виета:

32nhdf

Возьмем числа 4 и 9. Их сумма равна 13, а произведение 36, поэтому они являются корнями уравнения:

х2 – 13х + 36 = 0

в чем можно убедиться, подставив их вместо х.

 

Пример. Учитель математики перед уроком составляет квадратные уравнения, причем стремится к тому, чтобы у них были целые корни (чтобы детям было просто считать). Подскажите ему пример уравнения, чьи корни равны 3 и 8.

Решение. Перемножим и сложим числа 3 и 8:

3•8 = 24

3 + 8 = 11

Соответственно, уравнением с корнями 3 и 8 будет

х2 – 11х + 24 = 0

Ответ: х2 – 11х + 24 = 0

 

Разложение квадратного трехчлена на множители

При решении уравнения

ах2 + bх + с = 0

мы находим его корни. Однако отдельно выделяют и такое понятие, как корень многочлена. Так называют значение переменной, которая обращает полином в ноль.

33bgfyu

Понятно, что для нахождения корней полинома второй степени следует решить квадратное уравнение.

34jkds

Сначала рассмотрим трехчлены, у которых коэффициент при х2а равен 1. Предположим, что нам удалось разложить его на произведение двух линейных полиномов:

х2 + bх + с = (х –s)(х –k)

где s и k– какие-то произвольные числа.

Выражение справа является произведением, а потому обращается в ноль только тогда, когда нулю равен один из множителей:

х – s = 0 или х – k = 0

х = s или х = k

Так как при х = s или х = k в ноль обращается правая часть тождества, то также должна обращаться и левая часть. Получается, что числа s и k – это корни трехчлена х2 + bх + с.

Убедимся в этом, раскрыв скобки в правой части тождества:

(х –s)(х –k) = х2–kx–sx + sk = х2– (k + s)х + sk

подставим это выражение в исходное равенство:

х2 + bх + с = (х – s)(х - k) = х2 – (k + s)х + sk

х2 + bх + с = х2 – (k + s)х + sk

Получается, произведение и дает свободный член, а их сумма в точности равна коэффициенту при х, взятому со знаком минус. Значит, по теореме Виета, они являются корнями уравнения!

Обозначим корни уравнения как х1 и х2. Если у трехчлена коэффициент а отличен от единицы, то эта формула (ее называют формулой разложения квадратного трехчлена на множители) примет несколько иной вид:

ах2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)

То есть справедливо утверждение:

35bghss

А теперь и докажем его.

Пусть есть уравнение ах2 + bx + c = 0 с корнями х1 и х2. Поделим его на а:

х2 + (b/a)х + с/а = 0

по теореме Виета можно записать:

х1+ х2 = – b/a

х1•х2 = с/а

Умножив первое тождество на (– а), а второе наа, получим

– а(х1 + х2) = b

ах1•х2 = с

Осталось подставить эти равенства в исходный многочлен:

ах2 + bx + c = ах2– а(х1 + х2)х + ах1•х2= а(х2– хх1–хх2 + х1•х2) =

= а(х(х – х1) – х2(х – х1)) = а(х – х1)(х – х2)

Для чего же мы доказывали эту теорему? С ее помощью можно выполнить разложение квадратного трехчлена на множители. Проиллюстрируем это на примерах.

 

Пример. Разложите полином

2 + 12х – 14

на множители.

Решение. Для начала следует решить уравнение 2х2 + 12х – 14 = 0:

D = 122– 4•2•(– 14) = 144 + 112 = 256

36mjkgs

Найдя х1 и х2, можем выполнить и разложение:

2 + 12х – 14 = 2(х – 1)(х – (– 7)) = 2(х – 1)(х + 7)

Ответ: 2(х – 1)(х + 7)

 

Пример. Упростите выражение

37mjksd

Решение. На первый взгляд кажется, что сокращать нечего. Однако и в числителе, и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Разложим их на множители, решив соответствующие уравнения:

h2+ 2h– 15 = 0

D = 22 – 4•1•(– 15) = 4 + 60 = 64

38nhgds

Получаем, что

h2– 2h– 15 = (h+ 5)(h– 3)

Теперь раскладываем второй полином:

h2– 9h +18 = 0

D = (– 9)2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

39mjlf

Соответственно, можно записать:

h2– 9h +18 = (h– 3)(h– 6)

А теперь подставим в исходную дробь полученные выражения:

40sdfh

Отметим, что если у полинома второй степени нет корней, то и разложить его на множители не получится.

Дробно-рациональные уравнения

Периодически приходится сталкиваться с уравнениями, где переменные присутствуют в знаменателе какой-нибудь дроби. Их называют дробно-рациональными уравнениями. Обычно их можно свести к более простому виду, но при этом следует учитывать ту особенность, что корень уравнения не должен обращать знаменатель в ноль.

 

Пример. Найдите решение дробно-рационального уравнения

41bgfh

Решение. Для начала перенесем дробь из правой части в левую, а потом приведем дроби к общему знаменателю:

42ghfgj

Умножим уравнение на величину (х – 2)(х + 3)

(х + 1)(х – 2) + 10х – 4(х + 3) = 0

х2 – 2х + х – 2 + 10х – 4х – 12 = 0

х2 + 5х – 14 = 0

D = 52– 4•1•(– 14) = 25 + 56 = 81

43gbdfgh

Казалось бы, мы нашли два корня: 2 и (– 7). Однако в исходном уравнении в знаменателе стоит выражение (х – 2)(х – 3). При х = 2 оно обращается в нуль, то есть дробь потеряет смысл. Поэтому корень 2 следует отбросить, и остается лишь корень (– 7)

Ответ: – 7

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Укажите значения у, при которых у2 – 100 = 0
110
2100 и -100
3-10 и 10
4-10
Ответить
3
Вопрос: 2
Каковы корни уравнения 2х2 – 4х – 30 = 0?
1-3
2-3 и 5
35
4-5 и 3
Ответить
2
Вопрос: 3
Найдите корни уравнения 16z2 + 40z + 26 = 0
1корней нет
2-1,25
330 и 2
4-7 и 8
Ответить
1
Вопрос: 4
найдите корни уравнения k2– 37k + 300 = 0
112 и (– 25)
2(– 12) и (– 25)
312 и 25
4(– 12) и 25
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Укажите значения у, при которых у2 – 100 = 0
1) 10 2) 100 и -100 3) -10 и 10 4) -10
2 вопрос:

Каковы корни уравнения 2х2 – 4х – 30 = 0?
1) -3 2) -3 и 5 3) 5 4) -5 и 3
3 вопрос:

Найдите корни уравнения 16z2 + 40z + 26 = 0
1) корней нет 2) -1,25 3) 30 и 2 4) -7 и 8
4 вопрос:

найдите корни уравнения k2– 37k + 300 = 0
1) 12 и (– 25) 2) (– 12) и (– 25) 3) 12 и 25 4) (– 12) и 25
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: -10 и 10
2 вопрос: -3 и 5
3 вопрос: корней нет
4 вопрос: 12 и 25