Алгебра

Урок 3: Вычисление производной

Вычисление производной

Для решения задач, связанных с производной, надо уметь быстро их вычислять. Есть несколько правил дифференцирования, знание которых упрощает расчеты.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

 

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

1ytu

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х0 и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х0 + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

2yuyui

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

3mjkh

Находим отношение ∆у/∆х:

4hgfhf

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х0. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

5gdfg

 

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

6hfgh

 

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

7jghj

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

8jhghj

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

9hgfgh

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

10hfgh

 

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

11hgyut

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х0 и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х0 и (х0 + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

12gfjghj

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х0 + ∆х будет стремится к х0, то есть

13gfhuty

 

Задание. Вычислите производные функции

14nghjg

 

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

15fghf

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хn, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

16hgfjh

Приведем примеры использования этой формулы:

17hfgh

Задание. Найдите производную функции у = х6 в точке х0 = 10.

18jghjg

 

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t3. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

19jhghj

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

20htyu

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

21fgh

 

Задание. Вычислите производную функции

22gdfg

23gfghgh

 

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

24gfgh

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х0, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

25hfgj

26hfgh

Ответ: х0 = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

27hhj

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

 

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х0 = π.

Решение. Мы знаем, что

28hfgh

 

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

29hgj

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

30hfgh

 

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х0 = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

31gfgh

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

32gdfh

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

33hfgh

Напомним, что справедлива формула

34gfgh

Стоит обратить внимание, что функции у = ех при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

 

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = ех в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

35hghj

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

36hfgh

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

37hfgh

Ответ: 45°.

 

Задание. Вычислите производную функции у = 2х при х0 = 3.

Решение. Используем формулу

38hfgh

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

39jghj

 

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

40jghyu

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

41gfhhk

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

42ggh

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

43hfgh

Покажем использование этого правила:

44hfgh

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

45hfgh

 

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х0 = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

46hfghf

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

47hfgh

Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

48hhj

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

49hfgh

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

 

Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

50hfgh

 

Задание. Продифференцируйте функцию

51gdfg

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

52hfgh

53gfhgfh

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

54dfg

Например, пусть надо найти производную функции

55gfdfh

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

56hfgh

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

57hfgh

 

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

58hfgh

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

59jghj

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

60jghj

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

61gdfg

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

62gghf

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

63hfgh

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

64gfgh

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

65fghf

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

66jghj

Она сконструирована из функции у = ex и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

67hfghf

 

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

68ghjghj

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

69jghj

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

70hfghj

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

 

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)1000.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

71hfgh

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Найдите (х50)′
149х51
251х50
349х50
450х49
Ответить
4
Вопрос: 2
Вычислите (x2 + sinx)′
12x•cosx
22x + cos x
32x•sin x
4sin (x2)
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите (х•sinx)′
1sinx + x•cos x
2sinx – x•cos x
3cos x + 1
4cos x
Ответить
1
Вопрос: 4
Вычислите (sin 3x)′
1cos 3x
23cos x
33cos 3x
49 tgx
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Найдите (х50)′
1) 49х51 2) 51х50 3) 49х50 4) 50х49
2 вопрос:

Вычислите (x2 + sinx)′
1) 2x•cosx 2) 2x + cos x 3) 2x•sin x 4) sin (x2)
3 вопрос:

Вычислите (х•sinx)′
1) sinx + x•cos x 2) sinx – x•cos x 3) cos x + 1 4) cos x
4 вопрос:

Вычислите (sin 3x)′
1) cos 3x 2) 3cos x 3) 3cos 3x 4) 9 tgx
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 50х49
2 вопрос: 2x + cos x
3 вопрос: sinx + x•cos x
4 вопрос: 3cos 3x
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти