Алгебра

Урок 8: Логарифмы

Логарифмы

Для показательной функции, как и для многих других, существует обратная функция. Однако для ее изучения сперва необходимо познакомиться с понятием логарифма.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Понятие логарифма

Ограничения, связанные с логарифмом

Основные свойства логарифмов

Функция логарифма

Три основных вида логарифмов

Преобразования логарифмических выражений

Переход к новому основанию алгоритма

Использование логарифма для вычислений

Логарифмическая функция в природе и науке

 

Понятие логарифма

Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2х = 4. Так как 22 =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:

1tuyhj

Далее посмотрим на уравнение 2х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (23 = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:

2hghf

Однако если мы попытаемся решить уравнение 2х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:

3gfdfg

Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log2 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние

4hgfh

Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись logab. Покажем, как графически показать значение величины logab. Для этого надо построить показательную функцию у = ах и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна logab:

5ytuu

Дадим строгое определение логарифма:

6hgfgh

 

Задание. Какое число является решением показательного уравнения

7fgdfg

 

Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m0), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

m(t) = m0•2t/T

Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:

0,2 = 1•2t/10

0,3 = 2t/10

Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что

– t/10 = log2 0,3

Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:

t = – 10 log2 0,3

С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что

log2 0,3 ≈ – 1,737

Тогда искомое нами время примерно равно

t = – 10 log2 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды

Ответ: – 10 log2 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.

Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.

Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:

8hgfgh

Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:

9gfdfg

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма logab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = ах было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение ах = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой logab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить logab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

10gfdg

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

11gdfg

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

 

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а1 = а

Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: logаa = 1.

12gfdg

Продемонстрируем использование этого правила:

13gdffgd

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

14gdfg

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

15gfdfg

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

16hgyu

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

17gfdfg

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что logaac = c.

18hgfgh

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

19hgfgh

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

20gdfg

Логарифм logab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

21fdfg

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

22gdfg

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

23fdfg

 

Функция логарифма

Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:

24gfdffg

Теперь подумаем о функции у = logax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = logax должна быть обратной для показательной ф-ции у = ах.

25gfdfg

В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.

Напомним, что на вид показательной функции у = ах влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2х и у = log2x.

26gfdfg

27hgfgh

Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.

График у = log2x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:

28hgfgh

29hgfgh

Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =logax, если число а будет больше единицы.

Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = ах будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5х и график обратной ей функции у = log0,5x:

30hgfgh

Возможно, вы заметили, что графики у = log2x и у = log0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:

31fdfg

Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).

Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.

32gfdfg

Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:

33gfdfg

Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:

Область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно, выражение logаb имеет смысл только тогда, когда число b> 0.

Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).

Логарифмическая функция является строго монотонной. При этом при основании а > 1 она возрастает, а при основании 0 <a< 1 она убывает.

График каждой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что для любого основания справедливо равенство loga 1 = 0.

 

Три основных вида логарифмов

Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.

Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть

34fsdf

Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log2b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.

Наконец, самым важным является натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, примерно равное 2,71828… Для его обозначения используют символ ln, то есть

35hfgh

36hgjk

Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.

Преобразования логарифмических выражений

Для работы с логарифмическими выражениями надо знать несколько основных свойств логарифмов. Первое из них помогает вычислять логарифм произведения.

37hghj

Для доказательства этого правила введем обозначения. Пусть

38hgfgh

Тогда нам надо доказать, что z = x + у. По определению логарифма мы можем записать что

39hgfh

Теперь подставим (1) и (2) в (3):

40hghh

Получили, что az = ax+y. В этом равенстве в обеих частях стоят степени с совпадающим основанием а. Значит, должны совпадать и их степени, то есть

41fdsg

что и мы и пытались доказать.

Убедимся в справедливости этого правила на простейшем примере. Очевидно, что

log2 4 = 2, ведь 22 = 4

log2 8 = 3, ведь 23 = 8

log2 32 = 5, ведь 25 = 32

С одной стороны, так как

2 + 3 = 5

то и

log2 4 + log2 8 = log2 32

С другой стороны, число 32 можно представить как произведение 4•8, то есть

log2 32 = log2 (4•8)

С учетом этого получаем, что

log24 + log28 = log232 = log2(4•8)

Покажем несколько примеров использования только что доказанного правила:

42gfh

Отдельно отметить, что правило сложения логарифмов действует и в том случае, когда складываются не два, а большее количество логарифмов:

43gfdgd

Второе правило используют для определения логарифма от степени какого-либо числа.

44gfdfg

Грубо говоря, показатель степени можно перенести и записать перед знаком логарифма. Сначала для наглядности приведем доказательство только для случая, когда r– целая степень. Тогда число br можно представить как произведение r множителей, равных b. Однако логарифм такого произведения можно заменить на сумму r логарифмов:

45gjhjk

Однако более строгое доказательство должно рассматривать и случай, когда r – это отрицательное или даже дробное число. Поэтому, как и в ситуации с доказательством первого правила, введем переменные. Пусть

46gfdfg

Получается, что нам доказать, что у = r•x. Из определения логарифма следуют следующие формулы:

47hgfgh

Подставляя первую формулу во вторую, получаем:

48hfgh

И снова, если у двух равных степеней равны основания, то и показатели обязательно будут равными:

49hgfgh

Это равенство мы и пытались доказать.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

50gfdfg

Правило работает и в обратную сторону:

51gfdg

 

Задание. Чему равна дробь

52gfdhgj

 

Третье правило помогает вычислять логарифм от частного или дроби.

53gfdg

Для доказательства этого свойства логарифмов воспользуемся уже доказанными нами двумя правилами. Но предварительно напомним, что произвольное число с в степени (– 1) представляет собой дробь 1/с:

54gfh

Тогда доказательство будет записываться в две строчки:

55hgfh

С помощью полученной формулы возможно выполнить следующие преобразования:

56hkjk

Заметим, что все полученные формулы справедливы только в том случае, когда под знаком логарифма стоят исключительно положительные числа. Например, вполне допустимо преобразование

57hgfgh

но ошибочной будет такая запись:

59jghj

ведь в левой части стоит выражение, имеющее смысл, а в правой – выражение, смысла не имеющее.

Но что делать в случае, если необходимо упростить выражение с переменными, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения? Получается, что запись

59jghj

не является корректной. Действительно, если и х, и у являются отрицательными числами, то их произведение ху положительно. Но тогда получается, что при некоторых значениях переменных левая часть равенства имеет смысл, а правая – нет. Это значит, что оно не является тождеством.

Здесь может помочь использование модуля числа. Запись

60hghj

уже будет корректной при любых допустимых значениях х и у. Если же хоть одна из переменных будет равна нулю, то обе части равенства одновременно потеряют смысл. Таким образом, данное равенство можно считать тождеством.

Аналогично и формулу разности логарифмов можно представить в более общем случае, при котором допускаются отрицательные значения переменных:

61vgfh

Можно ли записать равенство logaх2 = 2logaх, если допускается, что х может быть и отрицательным? Нет, нельзя, ведь при отрицательных х выражение левая часть равенства будет иметь смысл, а правая нет. Однако использование модуля поможет и в этом случае. Можно написать, что

62gfgh

Аналогичным образом можно упростить и любые другие логарифмы, аргументы которых возведены в четную степень:

63hgfh

64gfgh

Ещё раз уточним, что эти правила используются при упрощении выражений с переменными, если те могут принимать отрицательные значения. Если же известно, что числа b и c положительны, то лучше использовать формулы, не содержащие модулей.

 

Переход к новому основанию алгоритма

До этого мы рассматривали преобразования, в ходе которых не менялось основание логарифма. Однако иногда возникает необходимость сложить или вычесть логарифмы с различными основаниями. Пусть надо вычислить значение выражения

65ghfgh

Так как основания двух логарифмов различны, то мы не можем использовать выведенную нами формулу разности логарифмов. Однако можно попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Для такой операции существует специальная формула.

66hgfh

Докажем это утверждение. Для этого введем новые переменные:

67hgfgh

Тогда по определению логарифма можно записать равенства

68hfgj

Отсюда следует, что ax = cy. Подставим в это равенство вместо а выражение cz и получим:

69hgfh

Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое тождество, которые необходимо доказать:

70hgfgh

Вернемся к примеру

71gdfg

Теперь мы можем произвести эти вычисления, но для этого сначала приведем log259 к основанию 5:

72gfgh

Теперь можно вычислить, чему равна искомая разность:

73ghfgh

Формула перехода к новому основанию позволяет иначе взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть дана функция у =log4x. Попытаемся привести ее к показателю 2:

74hgfh

Выходит, что график у = log4x можно получить из графика у = log2x его сжатием в 2 раза. Убедимся в этом, построив оба графика в одной плоскости:

75hfgh

Заметим, что и более общем случае графики функций у = logax и у = logbx могут быть получены друг из друга растяжением или сжатием в некоторое число раз. Действительно, формулу перехода к новому основанию можно переписать в таком виде:

76hfgh

Теперь подставим вместо числа b переменную х и получим соотношение, связывающее любые две логарифмические функции:

77ghgh

В данном случае logсx и logax – это логарифмические функции, а logca – некоторое число. В результате можно заключить, что график функции у = logсx может быть получен из графика logax его растяжением в logca раз.

78hfgh

Попытаемся привести логарифм logab к обратному основанию, то есть к основанию 1/а:

79hgfh

Итак, logab = – log1/аb. Именно из-за этого графики логарифмов с обратными основаниями (например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси Ох:

80hgfgh

81ghfgh

Покажем примеры использования этой формулы:

82gfdg

А что будет, если мы попробуем logab привести к основанию b? Сделаем это:

83gfdfg

Получили ещё одну замечательную логарифмическую формулу.

84gfdg

Её работу иллюстрируют следующие примеры:

85hgfhgh

Ещё одна логарифмическая формула позволяет возводить основание логарифма и его аргумент в одинаковую степень:

86ghfgh

Докажем это тождество в «обратном порядке», то есть из правой части выведем левую. Для этого просто перейдем к основанию а:

87hgfgh

Проиллюстрируем, как это свойство можно применять на практике:

88hfgh

 

Использование логарифма для вычислений

Исторически развитие теории логарифмов было связано с необходимостью выполнять громоздкие вычисления. Например, пусть надо возвести число 7 в пятисотую степень, то есть вычислить величину 7500. Сделать напрямую это довольно затруднительно. Однако в силу основного логарифмического тождества мы можем записать, что

89jhghj

Напомним, что десятичный логарифм обозначают символом lg, поэтому перепишем это равенство в более привычном виде:

90hjghj

Степень из-под знака логарифма можно вынести:

91gdfg

Значение числа lg 7 можно узнать с помощью калькулятора, в древности же использовали специальные таблицы, в которых были указаны десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так или иначе, можно узнать, что

92hgfgh

Получили число, записанное в стандартном виде. При этом наши расчеты были относительно простыми, если сравнить их с необходимостью умножить число 7 само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие сложные операции выполняются значительно быстрее, если используются логарифмы. Поэтому долгое время знание теории логарифмов было необходимо для выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня развитие компьютерной техники позволило избавиться от необходимости использования логарифмических линеек и таблиц.

 

Логарифмическая функция в природе и науке

Логарифм – это не просто инструмент для выполнения сложных операций. Например, в теории вероятностей существуют логарифмическое и логнормальное (от слов «логарифм» и «нормальное») распределение случайных величин, которые используются в генетике и физике. Так, размеры астероидов в Солнечной системе описываются логарифмическим распределением, а размеры градин во время града – логнормальным.

В компьютерной технике многие величин можно вычислить с использованием логарифмов. Например, ясно, что чем больше телефонных номеров находится в базе данных, тем дольше компьютер будет искать требуемый необходимый номер в ней. Зависимость времени поиска от количества номеров в базе данных описывается логарифмической функцией.

Огромное значение логарифмы имеют в астрономии. Так, яркость звезд на небе характеризуется таким параметром, как «видимая звездная величина». Однако в физике для оценки яркости света используют величину «освещенность», измеряемую в люксах. Зависимость между освещенностью звезд и их видимой величиной также является логарифмической.

Используются логарифмы и в термодинамике для вычисления такой характеристики систем, как энтропия. При расчете количества топлива, необходимого ракете для набора определенной скорости, используется формула Циолковского, содержащая натуральный логарифм:

93gfdfg

В биологии давно замечено, что зависимость человеческих ощущений от силы воздействующих на них факторов окружающей среды носит логарифмический характер. В связи с этим для измерения громкости звуков используется специальная шкала децибелов, которая является логарифмической.

В строении ряда организмов можно обнаружить логарифмические кривые. Классическим примером является форма некоторых ракушек.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чему равен log5625?
11
22
33
44
Ответить
4
Вопрос: 2
Вычислите log612 + log63
11
22
33
44
Ответить
2
Вопрос: 3
Логарифм с каким основанием называется натуральным?
1e
2π
310
Ответить
1
Вопрос: 4
Вычислите (log38)/( log32)
11
22
33
44
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чему равен log5625?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2 вопрос:

Вычислите log612 + log63
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
3 вопрос:

Логарифм с каким основанием называется натуральным?
1) e 2) π 3) 10
4 вопрос:

Вычислите (log38)/( log32)
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 4
2 вопрос: 2
3 вопрос: e
4 вопрос: 3
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти