План урока:

Определение степени с целым числом

Свойства степени с целым показателем

Преобразование выражений с целыми степенями

Стандартный вид числа

Действия с числами в стандартном виде

 

Определение степени с целым показателем

В 7 классе мы уже изучили степень с натуральным показателем. Напомним, что запись aⁿ означает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:

Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:

а¹ = а

Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:

а⁰ = 1

Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).

Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени. При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми.

При делении степеней их показатели вычитаются, например:

8¹⁵:8¹³ = 8^{15 – 13} = 8² = 64

Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:

8¹⁵:8¹⁷ = 8^{15 – 17} = 8^{– 2}

Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 8¹⁷ = 8¹⁵•8²:

Итак, мы получили, что

То есть 8^{– 2} – это число, обратное 8². Подобные рассуждения помогают сформулировать определение степени с отрицательным показателем:

Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:

• 5 и 1/5
• 2 и 1/2
• (– 15) и – 1/15

Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:

Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:

Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы

Докажем ее справедливость:

Покажем применение этой формулы:

Заметим, что возвести ноль в отрицательную степень не получится. Действительно, если мы попробуем, например, вычислить 0^{– 2}, то получим деление на ноль:

Вообще, при возведении нуля в любую отрицательную степень получается деление на ноль, а потому выражение 0ⁿ, где n–отрицательное число, не имеет смысла.

Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:

Пример: Запишите в виде произведения дробь

Решение.

Ответ: а²b^{– 4}

Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень

можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение аⁿ – это делитель, а a^{– n} – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись

Это значит, что справедливо не только равенство

но и

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, имеющими целый показатель, не отличаются от тех, которые мы изучали ранее. Напомним их.

Убедимся в этом на нескольких примерах:

Однако эти примеры ещё не являются полноценными доказательствами этого свойства степеней. Приведем общее доказательство для того случая, когда число в натуральной степени умножается на число в отрицательной степени:

Также докажем справедливость этого правила и в том случае, когда перемножаются два числа в отрицательной степени:

Проиллюстрируем это:

Для строгого доказательства заменим операцию деления на умножение. Так как

Здесь мы сначала заменяем степень aⁿ на дробь 1/а^{– n} (по определению отрицательной степени), а потом пользуемся тем, что деление на дробь равносильно умножению на «перевернутую дробь».

Продемонстрируем применение этого правила:

Следующие правила позволяют работать со степенями, у которых различаются основания, но совпадают показатели:

Покажем, как это работает:

Для общего случая доказательство будет выглядеть так:

Это правило можно проиллюстрировать так:

Приведем доказательство этого свойства для отрицательных степеней с целым показателем:

Как видим, свойства степеней с целыми показателями (в частности, с отрицательными), не отличаются от уже изученных нами свойств степеней с натуральными показателями. Единственное исключение – добавляется дополнительное ограничение, согласно которому основанием степени с отрицательным целым показателем не может быть ноль. То есть запись 0^{– 3} не имеет смысла, хотя выражение 0³ имеет смысл:

0³ = 0•0•0 = 0

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо использовать правила работы со степенями

Пример. Представьте в виде степени выражение

у^{– 8}•у¹⁰

Решение. При перемножении степеней их показатели следует сложить:

у^{– 8}•у¹⁰ = у^{– 8 + 10} = у²

Ответ: у²

 

Пример. Вычислите значение выражения

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3}

Решение.

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3} = 10^{(– 1)•(– 6)}: (10^{– 1})^{– 3} = 10⁶: 10³ = 10^{6 – 3} = 10³ = 1000

Ответ: 1000

 

Пример. Представьте число 3^{– 36} в виде степени с основанием 9.

Решение.

3^{– 36} = 3^{2•(– 18)} = 9^{– 18}

Ответ: 9^{– 18}

 

Пример. Представьте произведение 64v^{– 3} как степень.

Решение.

64v^{– 3} = 4³v^{– 3} = (1/4)^{– 3}v^{– 3} = (v/4)^{– 3}

Ответ: (v/4)^{– 3}

Преобразование выражений с целыми степенями

Ранее мы рассматривали понятие рационального выражения. Так называлось выражение, в котором используются 4 основные арифметические операции (в том числе деление), а также возведение в степень. Однако использование отрицательной степени помогает избавиться от операции деления как ненужной. Например, возможны такие преобразования:

Во всех случаях мы заменили деление на возведение в отрицательную степень.

Рассмотрим несколько примеров по преобразованию выражений со степенями.

 

Пример. Упростите выражение

Решение. Возведение в степень (– 1) означает, по сути, переворачивание дроби:

Ответ: ab

 

Пример. Упростите дробь

Решение. Вынесем в числителе множитель а^{– 3} за скобки

 

Пример. Представьте в виде дроби выражение

Решение.

В данном случае мы воспользовались формулой суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Пример. Упростите выражение

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

Решение.

Вынесем из первой скобки множитель h²t². При вынесении множителя каждое слагаемое делится на этот самый множитель:

C учетом этого получаем:

(h² + ht + t²) = h²t²(t^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + h^{– 2}) = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})

Зная это, можно записать

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

В двух скобках стоят одинаковые выражения, но одно из них в степени (– 1). Такие выражения можно сократить, ведь они являются обратными числами:

а•a^{– 1} = 1

Поэтому

h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²

Ответ: h²t²

 

Пример. Докажите тождество

Решение. Преобразуем левую часть:

Стандартный вид числа

В физике и других естественных науках изучаются объекты, чьи характеристики (масса, длина, скорость и т.д.) могут измеряться очень большими или очень малыми величинами. Например, масса атома железа равна 0,0000000000000000000000000927 килограмм, а масса Солнца оценивается в 1988500000000000000000000000000 килограмм. Работать с такими числами достаточно неудобно. Сложно даже сравнивать их между собой, ведь для этого надо подсчитывать количество нулей в каждом числе. Поэтому в науке часто используется особая форма чисел, которую называют стандартным видом числа. Он основан на том, что любое число можно записать как произведение числа a, находящегося в пределах от 1 до 10, и какой-нибудь целой (в том числе отрицательной) степени десятки.

Приведем примеры представления чисел в стандартном виде

90 = 9•10 = 9•10¹

91 = 9,1•10 = 9,1•10¹

900 = 9•100 = 9•10²

912 = 9,12•100 = 9,12•10²

Покажем случаи, когда порядок равен нулю или меньше него

7 = 7•1 = 7•10⁰

7,63 = 7,63•1 = 7,63•10⁰

0,8 = 8•0,1 = 8•10^{– 1}

0,0875 = 8,75•100 = 8,75•10^{– 2}

Посмотрите, насколько короче выглядит запись физических величин с использованием стандартного вида:

• масса Солнца: 1988500000000000000000000000000 кг = 1,9885•10³⁰ кг;
• масса Земли: 5970000000000000000000000 кг = 5,97•10²⁴ кг;
• масса атома железа: 0,0000000000000000000000000927 = 9,27•10^-26 кг.

 

Пример. Укажите стандартный вид числа 76000000.

Решение. Первой ненулевой цифрой в записи является семерка, поэтому стандартный вид будет выглядеть так:

7,6•10ⁿ

где n– какое-то целое число, которое нам надо найти. Поставим в исходном числе запятую после семерки:

7,6000000

Видно, что мы отделили запятой 7 разрядов, то есть перенесли запятую на 7 разрядов вправо. Поэтому n равно 7:

76000000 = 7,6•10⁷

Действительно, умножение дробного числа на 10 приводит к смещению запятой на одну позицию влево, поэтому при умножении 7,6 на 10⁷ получим 76000000. Наши действия можно проиллюстрировать рисунком:

В случае с числами, меньшими единицы, также надо смотреть на количество разрядов между запятой и первой ненулевой цифрой. Пусть надо представить в стандартном виде десятичную дробь 0,000005605. Значащей частью числа будет 5,605. Для того чтобы получить ее, надо в исходной дроби перенести запятую на 6 разрядов вправо. Поэтому порядок будет равен (– 6):

Теперь попробуем выполнить обратное преобразование – по стандартному виду числа записать его в привычной нам десятичной форме. Пусть есть запись 2,56•10⁵. Для начала искусственно припишем несколько ноликов к значащей части:

2,56 = 2,5600000

Теоретически мы можем дописать любое количество нулей, величина дроби от этого не изменится. Порядок числа равен 5, а потому запятую надо перенести на 5 знаков вправо:

2,5600000•10⁵ = 256000,00

Теперь лишние нули после запятой и саму запятую можно и убрать:

256000,00 = 256000

Обратите внимание, что порядок числа был равен 5, а в итоге мы получили шестизначное число. Можно сформулировать правило: у числа, имеющего в стандартной виде порядок n, в десятичной представлении перед запятой будет стоять (n + 1)знак. Например:

1,23456789•10⁶ = 1234567,89

Здесь порядок числа равен 6, а потому перед запятой стоит 7 знаков.

Напомним, что если число целое и, соответственно, в его записи нет запятой, то ее можно искусственно добавить:

568 = 568,0

Теперь рассмотрим похожий пример с отрицательным порядком числа. Пусть надо записать в десятичном виде число 9,8765•10^{– 4}. Для этого сначала можно условно «подрисовать» нолики перед значащей частью:

0000009,8765

Порядок равен (– 4), а потому надо передвинуть запятую на 4 знака влево

0000009,8765 =000,00098765

Получается, что мы подрисовали слишком много ноликов. Уберем два из нихи получим число в обычной форме:

0,00098765

Вообще, если у числа отрицательный порядок (– n), то первая ненулевая цифра должна оказаться на n-ой позиции после запятой:

Действия с числами в стандартном виде

Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.

Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.

 

Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•10⁸ м, а радиус Юпитера составляет 6,99•10⁷ м. Какая из этих величин больше?

Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.

 

Пример. Масса протона составляет 1,673•10^{– 27} кг, а масса нейтрона равна 1,675•10^{– 27} кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?

Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:

1,675 > 1,673

Следовательно, нейтрон тяжелее.

Ответ: Нейтрон тяжелее.

 

Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:

(a•10ⁿ)•(b•10^m) = a•b•10ⁿ•10^m = (ab)•10^n+m

В итоге можно сформулировать правило:

 

Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•10⁴ м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?

Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид

31536000 = 3,1536 •10⁷

Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:

S = 3•10⁴ м/с • 3,1536•10⁷c = 3•3,1536•10^{4 + 7} = 9,4608•10¹¹м.

Ответ: 9,4608•10¹¹м.

Пример. Представьте в стандартном виде произведение чисел 9,5•10⁸ и 1,38•10^{– 2}.

Решение.

(9,5•10⁸)•(1,38•10^{– 2}) = (9,5•1,38)•10^{8 + (– 2)} = 13,11•10⁶

Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:

13,11•10⁶ = 1,311•10•10⁶ = 1,311•10⁷

Ответ: 1,311•10⁷

Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:

Видно, что справедливо следующее правило:

 

Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?

Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•10³⁰ кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•10²⁴ кг. Поделим массу звезды на массу планеты:

(1,9885•10³⁰):(5,97•10²⁴) = (1,9885:5,97)•10^{30 – 24}≈0,333•10⁶ = 333000

Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.

Ответ: В 333000 раз.