Алгебра

Урок 2: Смысл производной

Смысл производной

На прошлом уроке мы узнали, что такое производная. Оказывается, это понятие имеет несколько смыслов, которые и определяют сферу ее использования.

Только актуальные модели очков 2021

Перейти slide11

Пляжные панамы! Каждому покупателю подарок!

Перейти slide11

Распродажа стильных сумок на 100trendov.com

Перейти slide11

План урока:

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

Производная как функция

Вторая производная функции и ее физический смысл

 

Физический смысл производной

Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t). Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t. Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.

Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t). Но если поменять букву на х, а на t, то окажется, что поиск мгновенной скорости в момент времени t0 – это тоже самое, что и поиск производной функции s(t) в точке t0. Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):

1hgjhj

Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле

2nhkg

где v – скорость.

Значит, закон движения тела будет выглядеть так:

3bfhj

Найдем производную в произвольный момент времени t0. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t0 производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке tзначение функции равно

4bghj

Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t0 + ∆t функция будет равна

5nhgj

Найдем приращение функции ∆s:

6hgfj

Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t0. Далее найдем отношение ∆s/∆t:

7hgjghj

Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:

8jhjg

Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.

Геометрический смысл производной

Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х0 (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х0 + ∆х, которую обозначим буквой В. Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей. Проведем также касательную к графику функции в точке А:

9hghjg

Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:

10hfgh

Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.

Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:

11bgf

12gfghgh

Мы видим что при уменьшении ∆х секущая АВ приближается к касательной. В конце концов, при «максимальном» уменьшении ∆х, Точка В почти сольется с точкой А, а секущая АВ почти сольется с касательной. Тогда и угол α, являющийся углом наклона секущей, будет почти не отличаться (или отличаться на бесконечно малую величину) от угла наклона касательной. Поэтому можно принять, что угол α – это и есть угол наклона касательной:

13bhgfjh

Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:

14gdfg

Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):

15bfgh

Отсюда следует, что значение производной в точке х0 совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.

16hfghf

Здесь следует уточнить понятие касательной. Из геометрии известно понятие касательной к окружности. Так называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку. Однако для касательной к графику функции такое определение не подходит. Действительно, любая строго вертикальная прямая пересечет график функции только в одной точке, однако назвать ее касательной нельзя, ведь она проходит «сквозь график»:

17hgfgh

С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:

18gfdgd

Поэтому касательную к графику в точке х0 определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.

 

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику

19ghjghj

в точке х0 = 2.

Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х0:

20bgfj

Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х0 + ∆х):

21bgfhj

Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х0:

22hbgf

Отношение ∆у/∆х можно определить так:

23nhghj

Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:

24bgfh

Значит, и производная в точке х0 = 2 будет равна 1:

25bgfh

Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть

26bgh

Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:

27nhghj

Ответ: 45°

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:

28nhgj

Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα> 0.

Однако это тангенс равен значению производной. Значит, она также положительна, если функция возрастает.

Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:

29nhgj

Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.

30khjk

 

Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х0 = 3π/4, не вычисляя её.

Решение. График у =sinx выглядит так:

31bgfgh

Точка х0 = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.

Ответ: Производная отрицательна.

Производная как функция

До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х0). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х0 соответствует какое-то число у′(х0). Но если есть соответствие между числами х0 или у′(х0), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.

Объясним, чем отличаются обозначения у′(х0) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х0) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = сosx или у = х3. Подставив в выражение у′(х) значение х0, можно узнать и у′(х0).

Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х0). Только вместо значения х0 не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.

Пусть есть функция у = х2. Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение х. В результате попадем в новую точку (х + х). Вычислим значения функции у = х2 в точках х и (х + х):

32gfdfg

Далее находим величину у:

33nhghj

Следующий шаг – вычисляем отношение у/х:

34hghj

Осталось найти предел отношения у/х при х0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?

35nhgj

Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:

36nghj

Здесь в левой части в скобках записана исходная функция. Над скобкой стоит штрих, который и означает дифференцирование. Справа записана производная. Когда надо вычислить производную, используют такие фразы, как «продифференцируем функцию» или «возьмем производную».

Итак, мы получили, что (х2)′ = 2x. Эту формулу производной для функции у =х2 стоит запомнить.

37bghj

Скажем сразу, что пока мы будем в основном рассматривать примеры, где необходимо продифференцировать функцию у = х2, так как ее производная имеет простой вид и уже найдена нами. В следующих уроках мы научимся дифференцировать другие, значительно более сложные функции.

Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках. Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение x, искали соответствующее ему значение у, вычисляли бы отношение у/х, а потом находили бы предел этого отношения. То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х0 и сразу находить производную.

Задание. Найдите производную функции у = х2 в точке х0 = 100.

Решение. Известно, что (х2)′ = 2x, то есть для функции у = х2 производная равна

38nghj

Подставим значение х0 = 100 в производную:

39khjk

Ответ: 100.

Задание. К графику у = х2 в точках х1 = 0,5 и х2 = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?

Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:

40jhghj

Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х2 в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то

41gfdfg

Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:

42gdfg

Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.

Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:

43fghf

Мы нашли, что ВСЕ = 45° и АDC = 135°. Тогда

44hfgh

Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас DOC. Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:

45hfgh

В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.

Ответ: 90°.

Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s(t) = t2. Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.

Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s(t) = t2 имеет вид s′(t) = 2t. Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:

46hbfgh

Так как s′(t) = 2t, а скорость равна производной, то есть v(t) = s′(t), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v(t) = 2t. Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):

47hfgh

Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.

 

Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s(t), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s′(t) совпадает с графиком скорости v(t)

48hfgh

Вторая производная функции и ее физический смысл

Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной. Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.

Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться. В связи с этим вводится и такая физическая величина, как ускорение. Она характеризует то, как быстро изменяется скорость тела. То есть ускорение – это скорость изменения скорости. Для обозначения ускорения обычно используют букву а. И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.

Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v(t), то есть а(t) = v′(t). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s(t), то есть v(t) = s′(t). Тогда получается, что

49hfgh

То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s′′(t) в момент t0 равна ускорению тела в этот самый момент.

Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s(t) = t2. Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v(t) = 2t. Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.

Для этого возьмем производную от функции v(t) = 2t. Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение t, в результате получим новый аргумент (t + t). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:

50gfdfg

Теперь мы можем найти приращение функции v, соответствующее приращению t

51gdfh

Далее находим отношение v/t:

52gfgh

Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:

53fghy

Итак, получили, что производная v′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с2.

Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:

54fggh

где F– это сила, действующая на тело;

m–масса тела;

а – ускорение.

Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде

55hfgh

И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Вычислите производную функции у = х2 в точке х0 = 1000
1500
24000
31000
42000
Ответить
4
Вопрос: 2
Автомобиль разгоняется, и его закон движения имеет вид s = t2. Какую скорость разовьет автомобиль через 15 секунд после начала движения?
115 м/с
230 м/с
345 м/с
460 м/с
Ответить
2
Вопрос: 3
Какой знак имеет производная функции у = сosx в точке х0 = π/4
1Минус
2Плюс
3Производная равна нулю
4Производную в этой точке нельзя определить
Ответить
1
Вопрос: 4
Найдите угол между осью Ох и касательной к графику у = х2 в точке х0 = 5
1-10
210
3arctg 10
4arctg (– 10)
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Вычислите производную функции у = х2 в точке х0 = 1000
1) 500 2) 4000 3) 1000 4) 2000
2 вопрос:

Автомобиль разгоняется, и его закон движения имеет вид s = t2. Какую скорость разовьет автомобиль через 15 секунд после начала движения?
1) 15 м/с 2) 30 м/с 3) 45 м/с 4) 60 м/с
3 вопрос:

Какой знак имеет производная функции у = сosx в точке х0 = π/4
1) Минус 2) Плюс 3) Производная равна нулю 4) Производную в этой точке нельзя определить
4 вопрос:

Найдите угол между осью Ох и касательной к графику у = х2 в точке х0 = 5
1) -10 2) 10 3) arctg 10 4) arctg (– 10)
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 2000
2 вопрос: 30 м/с
3 вопрос: Минус
4 вопрос: arctg 10

Стильные украшения          лето-осень 2021

Перейти slide11

Самые популярные модели на 100trendov

Перейти slide11

Заколки на волосы, цепи, ожерелья и многое другое

Перейти slide11