Алгебра

Урок 3: Задачи тригонометрические

Тригонометрические преобразования

При решении ряда задач приходится составлять громоздкие выражения, содержащие тригонометрические функции. Для их упрощения необходимо уметь выполнять тригонометрические преобразования. Все они построены на использовании нескольких несложных формул.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Основное тригонометрическое тождество

Тригонометрические функции суммы и разности

Формулы двойного угла

Формулы понижения степени

Формулы приведения

Сумма тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

 

Основное тригонометрическое тождество

Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:

1dfgdfg

Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:

АВ2 + ОВ2 = ОА2

Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:

sin2α + соs2α = 1

Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.

2gfdg

 

Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:

sin2α + соs2α = 1

0,82 + соs2α = 1

0,64 + соs2α = 1

соs2α = 1 – 0,64

соs2α = 0,36

соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Ответ: 0,6.

 

Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:

3hghfgh

По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.

 

Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

Решение.

sin2α + соs2α = 1

0,282 + sin2α = 1

0,0784 + sin2α = 1

sin2α = 1 – 0,0784

sin2α = 0,9216

sin α = –0,96 или sin α = 0,96

Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.

Ответ: – 0,96.

 

Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 < α < π.

Решение. Здесь задача уже в два действия! Сначала определим соsα:

sin2α + соs2α = 1

соs2α = 1 – sin2α = 1 – (5/13)2 = 169/169 – 25/169 = 144/169

соsα = – 12/13 или соsα = 12/13

Условие π/2 < α < π указывает на то, что угол относится ко II четверти, в которой косинус отрицателен, поэтому соsα = – 12/13.

Далее находим тангенс, просто деля синус на косинус:

tgα = sinα:соsα = (5/13):(12/13) = (5/13)•(13/12) = 5/12

Ответ: 5/12

 

Рассмотренный пример показал нам, что, зная синус, можно рассчитать не только косинус, но и тангенс. А возможно ли совершить обратное действие, найти по тангенсу синус или косинус? Да, но для этого нужно получить новую тригонометрическую формулу.

Запишем тождество

sin2α + соs2α = 1

Далее поделим его на величину соs2α:

4gfdfg

Крайнее левое слагаемое – это величина tg2α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:

5hgjg

В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin2α:

6gfgh
7hgfgh

 

Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

Решение.

Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:

8hgh

Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то

соsα = – 0,8

Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:

sin2α + соs2α = 1

sin2α = 1 – соs2α = 1 – (– 0,8)2 = 1 – 0,64 = 0,36

sinα = – 0,6 или sinα = 0,6

С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6

Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.

 

Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin2α + соs2α = 1 несложно получить из выражения

sin2α = 1 – соs2α

и

соs2α = 1 – sin2α

которые помогают в работе с длинными ф-лами.

 

Задание. Упростите выражение

4sin2α + 9соs2α – 6

таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

Решение. Произведем замену sin2α = 1 – соs2α:

4sin2α+ 9соs2α – 6 = 4(1 – соs2α)+ 9соs2α – 6 =

= 4 – 4 соs2α + 9соs2α – 6 = 5соs2α – 2

Видим, что получилось значительно более простое выражение.

Ответ: 5соs2α – 2.

 

Задание. Избавьтесь от синуса в выражении

sin4α – соs4α

Решение. Воспользуемся ф-лой разности квадратов:

sin4α – соs4α = (sin2α – соs2α)(sin2α + соs2α) = (sin2α – соs2α)•1 =

= 1 – соs2α– соs2α = 1 – 2 соs2α

Ответ:1 – 2 соs2α.

 

Задание. Упростите дробь

9hgfjui

Решение.

10jhlkl

Ответ: ctg6α.

 

Тригонометрические функции суммы и разности

Легко проводить вычисления, когда все тригонометрические действия выполняются над одним углом α. Однако иногда в задачах добавляется ещё один угол, который обычно обозначают как β. Существуют ф-лы, с помощью которых можно вычислять тригон-кие ф-ции от суммы и разности углов α и β.

Вывод этих ф-л достаточно сложен, поэтому сначала мы просто без доказательства приведем две из них, позволяющие вычислять синус суммы и косинус суммы:

11gfhgh

Достаточно запомнить их, а далее следующие формулы можно выводить из них. Так, если вместо β подставить угол (–β), то получим формулы для разности. При этом мы используем тот факт, что синус – нечетная ф-ция, то естьsin (– β) = – sinβ, а косинус – четная ф-ция, то есть соs (– β) = соsβ:

12fghgh

Теперь поступим также с ф-лой для косинуса разности:

13ghghjh

Итак, нам удалось получить ф-лы для нахождения синуса и косинуса суммы и разности углов.

14ghgfj

С помощью этих формул возможно вычислить значение тригон-ких ф-ций для некоторых нестандартных углов. (Стандартными считаются углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, ведь для них значение тригон-ких ф-ций можно узнать из таблички.)

 

Задание. Вычислите соs 150°.

Решение. В табличке стандартных углов есть углы, равные 90° и 60°. Их сумма как раз равна 150°. Поэтому запишем:

15hgfh

 

Задание. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.

Решение. Угол в 15° можно представить как разность 45° – 30°. Тогда синус будет вычисляться так:

16hgfh

Далее вычислим косинус:

17jhk

Можно выполнить проверку. Полученные значения должны удовлетворять основному тригон-кому тождеству. И действительно:

18hgj

Проверка пройдена: сумма квадратов синуса и косинуса оказалась равной единице. Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:

19kjhk

 

Задание. Вычислите значение тригонометрического выражения

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7

Решение: Значение тригон-ких ф-ций для углов π/7 и π/42 мы не знаем, однако это не помешает вычислениям. Можно заметить, что исходное выражение представляет собой синус суммы π/7 и π/42:

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7 = sin (π/7 + π/42) = sinπ/6 = 1/2

Ответ: 1/2.

 

Задание. Упростите выражение

20jghj

Решение.

Вынесем за скобки множитель 2:

21fdfgf

Теперь произведем замену:

22hgf

C учетом этого можно переписать выражение и использовать ф-лу суммы косинусов:

23gfhj

Ответ: 2соs (π/6 + α).

 

Формулы двойного угла

Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:

24jhghj

Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:

25jhghj

Итак, справедливы следующие ф-лы:

26kjhjk

 

Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.

Решение.

27jhgk

 

Задание. Упростите выражение

соs2t– соs 2t

Решение.

соs2t – соs 2t = соs2t – (соs2 t – sin2t) = соs2t – соs2 t + sin2t = sin2t

Ответ: sin2t.

 

Задание. Докажите, что функция

28hfgyu

является периодической и имеет период, равный π.

Решение. Используем ф-лу квадрата суммы:

29kjhf

Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде

у = 1 + sin 2x

По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:

30gfhyu

Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.

 

Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.

Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:

31gfdg

Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:

32hgfj

 

Формулы понижения степени

Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:

соs 2α = соs2α – sin2α

А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:

33hgfhg

В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:

34ghhgj

и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.

Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:

35jhghj

36hghj

С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что

37hgfhg

При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:

38jhgjhd

Мы нашли соs2 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:

39khju

Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:

40gdfh

Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.

 

Задание. Вычислите sinπ/8.

Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:

41gfdfg

Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.

Формулы приведения

Возможно, вы уже заметили, что синусы и косинусы принимают одинаковые значения в углах, чья сумма равна 90°. Например, sin30° = соs60° = 1/2, и при этом 30° + 60° = 90°. Также мы знаем, чтоsin 45° = соs 45° (45° + 45° = 90°) и sin60° = соs30° (60° + 30°). В чем причина такой закономерности и справедлива ли она для нестандартных углов?

Используя ф-лу синуса разности, мы можем записать, что

42gfdfhg

Полученная ф-ла sin (90° – α) = соsα называется формулой приведения. При ее выводе мы использовали тот факт, что sin 90° = 1, а соs 90° = 0, поэтому формула получилась очень простой. Однако синусы и косинусы других углов, кратных 90° (или кратных π/2, если измерять углы в радианах), также равны 0, 1 или – 1, поэтому для них тоже можно получить подобные простые ф-лы, например:

43gjghjj

Похожих ф-л можно написать несколько десятков! Все их запоминать не надо, так как существует особое мнемоническое правило, позволяющее записать необходимую ф-лу.

Пусть есть некоторое тригон-кое выражение вида

f(k ± α)

где f – тригонометрическая ф-ция (sin; соs; tg; ctg)

k– угол, кратный π/2 (π/2, π, 3π/2, 2π)

Мы хотим заменить ее другой ф-цией, только от угла α. На первом шаге мы смотрим на слагаемое k. Если оно кратно π (– π, π, 2π), то ф-ция f остается неизменной. Если же слагаемое k – это число π/2 или 3π/2, то ф-цию f надо поменять на так называемую кофункцию (синус меняем на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Далее надо определить знак, стоящий перед новой ф-цией. Для этого мы предполагаем, что α – это острый угол, то есть он принадлежит I четверти. Далее с учетом этого предположения смотрим, в какую четверть попадает угол k ± α, и какое значение принимает там исходная тригонометрическая ф-ция. Если она отрицательна, то перед новой тригонометрической ф-цией надо поставить минус. В противном случае ничего ставить не надо.

Лучше всего изучить это алгоритм на примерах.

 

Задание. Упростите выражение соs (π/2 + α).

Решение. Первый шаг – смотрим на слагаемое под знаком косинуса. Это число π/2. Оно НЕ кратно π, а потому мы должны поменять косинус на синус:

sinα

Второй шаг – надо определить, надо ли ставить минус перед синусом. Если α – это острый угол, то угол (π/2 + α) попадет во II четверть:

44gfyj

Во второй четверти косинус отрицателен, а потому перед синусом следует поставить минус:

соs (π/2 + α) = – sinα

Ответ: – sinα.

 

Важное примечание. В этом примере для составления формулы приведения мы «предположили», что угол α является острым. В результате нам удалось получить формулу соs (π/2 + α) = – sinα. Однако отметим, что полученная нами формула выполняется для абсолютно любых значений угла α, а не только для 0° < α < 90°. Предположение об остроте угла – это лишь часть мнемонического правила для составления формул приведения, позволяющая быстро определить, надо ли в ней перед тригонометрической функцией ставить знак минус или не надо.

Это мнемоническое правило работает абсолютно точно, однако надо понимать, что всё-таки для строгого вывода формул приведения следует использовать формулу косинуса суммы

соs (π/2 + α) = cosπ/2 cos α – sin π/2 sin α = 0•cos α – 1•sin α = – sin α

Получили тот же результат, что и с помощью формулы приведения. При этом нам не потребовалось предположение об остроте угла α, то есть формула верна для любых α. Но практика показывает, что люди просто не могут запомнить формулу косинусов суммы. Поэтому для «упрощения жизни» школьникам рассказывают об относительно простом мнемоническом правиле.

 

Задание. Составьте ф-лу приведения для выражения tg (α – π).

Решение. Сначала смотрим на слагаемое под знаком тангенса. Это число (– π), кратное π. Поэтому сама ф-ция не меняется на кофункцию:

tgα

Примем, что угол α принадлежит I четверти, тогда угол α – π будет ему противоположен и окажется в III четверти:

45hgdh

Тангенс в III четверти положителен. Значит, минуса перед тангенсом ставить не надо:

tg (α– π) = tgα

 

Задание. Вычислите sin 7π/6.

Решение. Представим угол 7π/6 как сумму: 7π/6 = π + π/6. Получается, нам надо вычислить величину sin (π + π/6). Составим ф-лу приведения для выражения π + α Так как в скобках стоит слагаемое π, то ф-ция sin остается, а не меняется на косинус:

sinα

Угол (π + α) относится к III четверти, где синус отрицателен. Следовательно, надо добавить знак минус:

sin (π + α) = – sinα

Остается подставить вместо α величину π/6:

sin (π + π/6) = – sinπ/6 = – 1/2

Ответ: – 1/2.

 

Задание. Чему равен ctg7π/4?

Решение. Угол 7π/4 можно представить как 3π/2 + π/4. Найдем ф-лу приведения для ctg (3π/2 + α). Из-за слагаемого 3π/2, не кратного π, ф-ция должна измениться с котангенса на тангенс:

ctg (3π/2 + α) = tgα

Угол 3π/2 + α попадает в IV четверть, где котангенс отрицателен. Поэтому необходимо добавить знак минуса перед ф-цией:

ctg (3π/2 + α) = –tgα

Ф-ла приведения получена. Осталось подставить в неё значение α = π/4:

ctg (7π/4) = ctg (3π/2 + π/4) = – tgπ/4 = – 1

Ответ: – 1.

 

Откуда же возникло название «формула приведения»? Дело в том, что с их помощью вычисление тригонометрических ф-ций от углов из диапазона 0 ≤ π ≤ 2π можно привести к вычислению ф-ций от углов из I четверти, то есть из диапазона 0 ≤ α ≤ π/2. Это означает, что нет смысла заучивать большие таблицы, в которых указаны синусы и косинусы углов, больших 90°. Достаточно знать ф-ции от стандартных углов: 0, π/6; π/4, π/3 и π/2.

Если всё же использование ф-л приведения вызывает сложности, то вместо них всегда можно использовать обычные ф-лы косинуса и синуса суммы, которые дадут такой же результат.

В прошлом уроке, строя графики косинуса, мы заметили, что он представляет собой синусоиду, смещенную на π/2 единиц:

46hgfgh

Теперь становится ясна причина этого смещения. Дело в ф-ле приведения

соsx = sin (x + π/2)

Она показывает, что точки графика косинуса могут быть получены параллельным переносом точек синусоиды на π/2 единиц влево.

 

Сумма тригонометрических функций

Мы видим, что тригон-ких формул довольно много. Надо ли все их учить? Этого делать не надо. Достаточно иметь под рукой справочник при решении задач, связанных с преобразованием тригонометрических выражений, в котором все эти ф-лы можно посмотреть. В крайнем случае можно всегда самостоятельно вывести все ф-лы, используя только основное тригон-кое тождество и ф-лы синуса и косинуса суммы. Они, кстати, выдаются в качестве раздаточного материала учащимся при сдаче ЕГЭ. Ещё важно помнить определение тангенса, которое в раздаточном материале не записано.

Пусть есть два произвольных угла s и t. Найдем синусы их разности и суммы:

47jkjhjk

Сложим эти два уравнения:

48hfgh

Теперь произведем замену. Будем считать, что

x = s + t

у = s – t

Это значит, чтох + у = 2s, или

s = (x + y)/2

С другой стороны

х – у = s + t– (s– t) = 2t

то есть

t = (x – у)/2

Подставляем всё это в ф-лу (1):

49hgfhy

Получили формулу, с помощью которой можно найти сумму любых двух синусов! Теперь попытаемся составить аналогичную ф-лу и для их разности синусов. При этом мы учтем нечетность синуса (это значит, что sin (– у) = – sinу):

50hfgj

51gfjhj

 

Задание. Упростите выражения

52gfhj

Решение.

53hgfh2

53hgfh2

Теперь попробуем составить ф-лы для сложения и вычитания косинусов. Для этого запишем ф-лы для произвольных величин s и t:

54gfjhj

Сложив уравнения, мы получим тождество

55hghghj

Далее произведем замены, которые выполняли и ранее:

x = s + t

у = s – t

s = (x + y)/2

t = (x – у)/2

Подставляя всё это в (3), получим:

56jkgjk

Получили ф-лу, с помощью которой можно складывать косинусы. Чтобы их можно было вычитать, вычтем из (1) уравнение (2):

57jhkjk

Снова произведем замены переменных s и t:

58hgfhf

Получили ф-лу и для разности косинусов.

59jfghgh

 

Задание. Упростить тригонометрические выражения

60hgfgh

Решение.

61hfgjhj

в) Здесь мы сталкиваемся с более сложным случаем, так как из косинуса надо вычесть синус. У нас нет готовой ф-лы для такого действия. Однако вспомним, что с помощью формул приведения легко заменить синус на косинус:

sinx = соs (π/2 – х)

Тогда исходное выражение уже можно будет преобразовать:

62hgjhj

 

Произведение тригонометрических функций

В предыдущем разделе, когда мы выводили ф-лы для вычисления суммы синусов и косинусов, мы сначала получали уравнения:

63jhgk

Далее мы производили замену переменных sи t. Однако давайте вместо этого просто поделим первые два уравнения на двойку, а третье – на (– 2):

64hfgh

В случае с последней формулой мы воспользовались правилом, по которому знак минус перед дробью можно убрать, если в числителе поменять местами вычитаемое и уменьшаемое.

Получили ф-лы, которые позволяют заменять произведение тригонометрических ф-ций их суммой.

65hgkjk

 

Задание. Преобразуйте произведение в сумму:

66hjh

Решение.

67gdfgd

На этом наше знакомство с основными тригонометрическими формулами заканчивается. Ещё раз напомним, что в рамках школьного курса заучивать все ф-лы не нужно, можно при необходимости пользоваться смотреть в справочник. Тригон-кие преобразования помогут в будущем при решении сложных тригон-ких уравнений.

В самом конце приведем перечень всех формул, выведенными в этом уроке:

68hfhdfg

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Избавьтесь от синуса в выражении 5соs2x + 3sin2x?
12 + 3 соs2x
22 – 3 соs2x
33 – 2соs2x
43 + 2соs2x
Ответить
4
Вопрос: 2
Известно, что sint = 5/13, π/2
1119/169
2– 120/169
3– 119/169
4120/169
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите (соs 68° – соs 22°)/(sin 68° – sin 22°):
1– 1
21
32
4– 2
Ответить
1
Вопрос: 4
Чему равен sin 5π/6?
2– 1
30,5
41
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Избавьтесь от синуса в выражении 5соs2x + 3sin2x?
1) 2 + 3 соs2x 2) 2 – 3 соs2x 3) 3 – 2соs2x 4) 3 + 2соs2x
2 вопрос:

Известно, что sint = 5/13, π/2 1) 119/169 2) – 120/169 3) – 119/169 4) 120/169
3 вопрос:

Вычислите (соs 68° – соs 22°)/(sin 68° – sin 22°):
1) – 1 2) 1 3) 2 4) – 2
4 вопрос:

Чему равен sin 5π/6?
2) – 1 3) 0,5 4) 1
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 3 + 2соs2x
2 вопрос: – 120/169
3 вопрос: – 1
4 вопрос: 0,5
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти