Геометрия

Урок 2: Пирамида

Пирамида

Пирамида – это один из видов многогранника, известный с глубокой древности.

План урока:

Понятие пирамиды

Правильная пирамида

Усеченная пирамида

Типичные задачи на пирамиды

 

Понятие пирамиды

Построим на некоторой плос-ти α произвольный многоугольник А1А2…Аn. Далее отметим в пространстве точку Р, не принадлежащую плос-ти α. Соединив точку Р с вершинами многоуг-ка получим многогранник, который именуется пирамидой (в различной литературе может использоваться сокращение пирам-а).

1 piramida

Та единственная точка Р, не находящаяся в одной плос-ти со всеми остальными вершинами, именуется вершиной пирам-ы. Многоугольник, образованный остальными вершинами – это основание пирамиды.

2 piramida

Основанием пирам-ы может быть многоугольник с любым количеством сторон. Если в основании лежит, например, пятиугольник, то и пирам-у называют пятиугольной. Если же в основании находится десятиугольник, то это будет уже десятиугольная пирам-а. В общем случае пирам-у, у которой в основании располагается n-угольник, именуется n-угольной. Ясно, что треугольная пирам-а и тетраэдр – это по сути одна и та же фигура.

Все грани пирам-ы, за исключением ее основания, именуются боковыми гранями. Понятно, что каждая боковая грань – это треугольник. Ребра пирамиды, выходящие из ее вершины, именуются боковыми ребрами пирамиды.

Посчитаем количество ребер, вершин и граней пирам-ы. Если она n-угольная, то у неё (n + 1) вершин (n точек в основании и ещё одна точка, не лежащая в основании). Также у нее (n + 1) граней, из них одна – это основание, а остальные n – боковые грани пирамиды (по одной на каждую сторону n-угольника). Наконец, у пирам-ы n ребер находятся в плос-ти основания, а ещё n ребер являются боковыми. Итого имеем 2n ребер. Теперь можно убедиться, что теорема Эйлера для пирам-ы выполняется:

3 piramida

Из вершины пирам-ы можно опустить перпендикуляр на плос-ть основания. Он будет именоваться высотой пирамиды.

4 piramida

Как и в случае с призмой, можно подсчитать площадь боковой поверхности призмы, которую обозначают как Sбок. Если же к ней ещё добавить и площадь основания (Sосн), то в сумме получится уже площадь полной поверхности призмы (Sполн). Эту связь между величинами можно представить в виде формулы:

5 piramida

 

Правильная пирамида

Особый интерес и в геометрии, и в реальной жизни представляют так называемые правильные пирамиды. Их отличают две особенности:

1) в их основании находится правильный многоугольник;

2) высота пирам-ы падает на основание в точке, являющейся центром этого правильного многоуг-ка.

Напомним, что центром правильного многоуг-ка считается центр описанной около него окружности, который одновременно является и центром вписанной окружности.

6 piramida

Действительно, опустим из вершины Р правильной пирам-ы высоту РО. Тогда О будет центром описанной окружности:

7 piramida

Примечание. На рисунках, показывающих объемные фигуры, окружности искажают свою форму и выглядят как эллипсы, то есть овалы.

Построим из О радиусы ОА1, ОА2, ОА3,… Они все будут одинаковы, ведь это радиусы одной и той же окружности. Также заметим, что высота правильной пирамиды РО будет перпендикулярна каждому из этих радиусов, ведь она перпендикулярна и всей плос-ти. Это значит, что ∆РОА1, ∆РОА2, ∆РОА3… – прямоугольные. При этом у них есть общий катет РО, а катеты ОА1, ОА2, ОА3… одинаковы. Значит, эти треугольники равны. Отсюда и вытекает, что их гипотенузы, то есть боковые ребра РА1, РА2, РА3…, также одинаковы, ч. т. д.

Заметим, что можно доказать и почти противоположное утверждение – если у пирам-ы боковые ребра одинаковы, а в основании находится правильный многоуг-к, то она является правильной. Для доказательства предположим, что ребра РА1, РА2, РА2… одинаковы. Опустим из Р высоту, которая упадет в некоторую точку О. Теперь соединим эту точку с вершинами А1, А2, А3… Получатся прямоугольные ∆РОА1, ∆РОА2, ∆РОА3… У них есть общий катет (высота РО) и одинаковые гипотенузы. Значит, эти треугольники равны, и потому одинаковы отрезки ОА1, ОА2, ОА3… Это значит, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка, и если из нее провести окружность радиусом ОА1, то она также пройдет через остальные вершины многоуг-ка. То есть эта окружность окажется описанной. Это и означает, что точка О – центр многоуг-ка, и тогда вся пирам-а оказывается по определению правильной.

8 piramida

Из равенства боковых ребер напрямую вытекает и тот факт, что все боковые грани правильной пирам-ы – одинаковые равнобедренные треугольники. Высоты, проведенные в этих равнобедренных треугольниках к основанию правильной пирамиды, именуются апофемами.

9 piramida

Ещё раз уточним, что понятие апофемы применимо только к правильной пирам-е. У других пирамид тоже можно на боковых гранях провести высоты к основанию, но они просто не будут называться апофемами пирамиды.

Ясно, что раз в правильной пирам-е все боковые грани – равные друг другу равнобедренные треуг-ки, то и их высоты, то есть апофемы, одинаковы. Также можно утверждать, что каждая апофема делит ребра, на которое она падает, пополам, ведь высоты в равнобедренном треуг-ке – это ещё и медианы.

Апофема используется для вычисления площади боковой поверхности пирам-ы, так как существует такая теорема:

10 piramida

Докажем ее. Пусть у правильной n-угольной пирам-ы в основании находится многоуг-к со стороной а. Тогда его периметр Р вычисляется так:

11 piramida

Каждая боковая грань пирам-ы – это треугольник. Проведем на них апофемы, которые одновременно окажутся и высотами для этих треугольников. Если мы обозначим длину апофемы как d, то площадь каждой грани можно рассчитать по простейшей формуле площади треугольника:

12 piramida

 

Усечённая пирамида

Возьмем произвольную пирам-у, а далее секущую плоскость, которая будет параллельна основанию, причем она будет пересекать ребра РА1, РА2, РА3… в точках В1, В2, В3… соответственно. В результате, отбросив «верхушку» пирам-ы, мы получим новую фигуру, которая именуется усеченной пирамидой.

13 piramida

У усеченной пирам-ы уже не одна, а две грани считаются основаниями, и они параллельны друг другу. Большее из них именуют нижним основанием, а меньшее – верхним основанием.

Докажем, что боковые грани любой усеченной пирам-ы – это трапеции. Действительно, обозначим плос-ть верхнего основания как α, нижнее основание как β, а произвольную грань как γ:

14 piramida

Нам надо доказать, что А1А2В2В1 – это трапеция. Действительно, прямые А1А2 и В1В2 не могут скрещиваться, ведь они располагаются в единой плос-ти γ. Не могут они и пересекаться, ведь тогда точка их пересечения была бы общей для плос-тей α и β, а эти плос-ти параллельны. Остается один вариант: А1А2||В1B2. Две другие стороны грани, А1В1 и А2В2, будут пересекаться в точке Р, вершине исходной пирам-ы. Тогда по определению две четырехугольник А1А2В2В1 будет трапецией, ведь у него две стороны параллельны, а две другие – нет.

Отдельно отметим, что усеченная пирам-а, полученная из правильной пирам-ы, также называется правильной, а высоты ее боковых граней также именуются апофемами. Докажем одну теорему:

15 piramida

Действительно, пусть из правильной пирам-ы с вершиной в Р получена правильная усеченная пирамида с основаниями А1А2А3…An и В1В2В3…Bn:

16 piramida

Так как исходная пирам-а – правильная, то ее грани – равные равнобедренные треугольники, у которых одинаковы углы при основаниях:

17 piramida

Мы уже знаем, что грани А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – трапеции. Раз у них одинаковы углы при основании, то можно утверждать, что эти трапеции – равнобедренные. Это значит, что любые два боковых ребра, находящиеся на одной грани, одинаковы. Значит, одинаковы вообще все боковые ребра. Получается, что все боковые грани – это равнобедренные трапеции с одинаковыми основаниями, боковыми сторонами и углами при основании. Этого достаточно для того, чтобы считать эти трапеции равными, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает тот факт, что стороны многоуг-ка, образующего верхнее основание, одинаковы. Более того, углы этого многоуг-ка равны таким же углам в нижнем основании. Например, ∠А1А2А3 = ∠В1В2В3. Действительно, мы знаем, что А1А2||В1В2 и А2А3||B2B3, и потому стороны углов ∠А1А2А3 = ∠В1В2В3 оказываются сонаправленными лучами.

Так как в нижнем многоуг-ке А1А2А3…An все углы одинаковы (ведь он правильный), то и в верхнем многоуг-ке В1В2В3…Bn также будут одинаковы углы. В итоге можно утверждать, что верхнее основание усеченной пирамиды является правильным многоуг-ком, также как и нижнее.

18 piramida

Отметим ещё один факт. При построении секущей плос-ти пирам-а делится на две части. Нижняя из них – это усеченная пирам-а, а верхняя – это обычная пирам-а, меньшая исходной. Докажем, что если исходная пирам-а РА1А2А3…Рn была правильной, то оставшаяся после отсечения «верхушка» также будет правильной пирам-ой. Мы уже выяснили, что ее основание В1В2В3…Вn– правильный многоуг-к. Отрезки РА1, РА2, РА3… одинаковы как боковые ребра исходной правильной пирам-ы. В свою очередь отрезки А1В1, А2В2, А3В3 одинаковы как боковые ребра правильной усеченной пирам-ы. Но отсюда получается, что одинаковы также и отрезки РВ1, РВ2, РВ3… Значит, в пирам-е РВ1В2В3…Вn в основании лежит правильный многоуг-к, а ее боковые ребра одинаковы. Из этого вытекает, что эта пирам-а – правильная.

Ещё одна теорема позволяет вычислять площадь боковой поверхности правильной усеченной пирам-ы:

19 piramida

Действительно, каждая грань такой пирам-ы – это трапеция. Обозначим длину ее верхнего основания буквой а, а нижнего – буквой b.Тогда, если основания пирам-ы – это многоуг-ки с n сторонами, периметр этих оснований будет вычисляться так:

20 piramida

Теперь проведем на каждой боковой грани апофему, чья длина будет обозначаться как d. Тогда, используя формулы площади трапеции, сможем вычислить площадь грани:

21 piramida

 

Типичные задачи на пирамиды

Рассмотрим несколько задач, в которых фигурируют пирам-ы. Перед просмотром решения попытайтесь решить их самостоятельно.

 

Задание. Существует ли пирамида, у которой ровно 999 ребер?

Решение. Если в основании пирам-ы находится n-угольник, то у нее 2n ребер. Так как n– целое число, то 2n будет уже четным числом. То есть количество ребер у любой пирам-ы всегда четно. Поэтому не существует пирам-ы с 999 ребрами, ведь 999 – нечетное число.

 

Задание. Верно ли, что всякий правильный тетраэдр одновременно является и правильной пирам-ой? И наоборот, является ли каждая правильная треугольная пирам-а правильным тетраэдром?

Решение. Напомним, что правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все ребра одинаковы. Если одну из вершин тетраэдра принять за вершину пирам-ы, то получится, что в ее основании равносторонний треугольник, который, как мы знаем, является правильным многоуг-ком. Также окажется, что все боковые ребра пирам-ы также одинаковы. Это значит, что она – правильная.

Теперь посмотрим на произвольную правильную треугольную пирам-у. Будет ли она обязательно правильным тетраэдром? Нет, ведь ее боковые ребра могут отличаться по длине от ребер, находящихся в основании. Например, в основании может находиться равносторонний треуг-к со стороной 5 см, а боковое ребро правильной пирамиды может иметь длину 10 см. Таким образом, можно считать правильный тетраэдр лишь частным случаем правильной пирам-ы.

22 piramida

 

Задание. В основании пирам-ы находится ромб со стороной 5 см.Одна из его диагоналей имеет длину 8 см. Высота пирам-ы имеет длину 7 см и проходит через точку, в которой пересекаются диагонали ромба. Вычислите длину боковых ребер.

Решение.

23 piramida

Обозначим ромб в основании как АВСD, а вершину пирам-ы буквой Р. Пусть диагонали пересекаются в точке О, тогда РО – высота. Также пусть диагональ АС равна 8 см. По свойству ромба О будет серединой диагоналей, поэтому

24 piramida

Отрезок OD будет иметь ту же длину 3 см, ведь О – середина BD.

Так как высота РО перпендикулярна всем прямым в плос-ти основания, то ∆АОР, ∆ВОР, ∆СОР, ∆DOP – прямоугольные, и боковые ребра пирам-ы будут гипотенузами этих треугольников. Вычислим АР по теореме Пифагора:

25 piramida

 

Задание. В основании пирам-ы лежит квадрат, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно основанию. Одна из боковых граней образует с плос-тью основания угол в 45°. Длина длиннейшего ребра пирам-ы составляет 12 см. Определите высоту пирам-ы и площадь ее боковой поверхности.

Решение.

26 piramida

Обозначим квадрат, находящийся в основании, как АВСD, а вершину пирам-ы как Р. Пусть ребро PD перпендикулярно основанию. Тогда PD⊥AD и PD⊥CD. Ясно, что PD как раз и является искомой нами высотой пирам-ы.

Теперь надо понять, какие углы в пирам-е составляют 45° и какое ребро равно 12 см. Грани ADP и СDP проходят через перпендикуляр PDк основанию, а потому они перпендикулярны основанию. Значит, угол в 45° с основанием образует либо грань АВР, либо грань СВР.

Заметим, что АВ⊥AD (это смежные стороны квадрата), а AD – это проекция ребра АР на основание. Тогда по теореме о трех перпендикулярах АВ⊥АР. Аналогично из того факта, что ВС⊥СD, вытекает, что ВС⊥СР. Также заметим, что ∆ADP и ∆СDP прямоугольные, имеют общий катет PD и одинаковые катеты AD и CD (это стороны квадрата). Значит, это равные треугольники, и

∠PAD = ∠PCD

Грань АВР пересекается c основанием по прямой АВ, причем AD⊥АВ и АР⊥АВ. Значит, ∠РАD – это угол между гранью АВР и основанием. Аналогично и ∠РСD является углом между гранью СВР и основанием. Но эти углы одинаковы. Значит, каждый из этих углов будет равен 45°, иначе в пирам-е не останется угла между плос-тями, который мог бы составлять 45°.

Ясно, что ребро АР длиннее ребра РD, ведь в прямоугольном ∆ADP АР – это гипотенуза, а РD катет (гипотенуза всегда длиннее катета). Теперь заметим, что ∆РАВ и ∆РСВ – также прямоугольные, ведь АВ⊥АР и ВС⊥СР. Но в них гипотенузой является уже РВ, то есть РВ длиннее АВ, ВС, АР и РС. Так как отрезки AD и AC равны АВ как стороны квадрата, получаем, что именно ребро РВ – длиннейшее в пирам-е, то есть его длина составляет 12 см.

В прямоугольном ∆ADP∠PAD = 45°. Это значит, что ∆ADP является прямоугольным и равнобедренным, то есть AD = PD. Обозначим искомую нами длину РD как x. Теперь проведем диагональ BD:

27 piramida

Её длину можно вычислить из ∆ADB:

28 piramida

Итак, высоту нашли, теперь нужно рассчитать боковую площадь. Но для этого предварительно найдем АР из ∆АРD:

29 piramida

Такую же длину имеет и РС, ведь ∆АРD и ∆СРD равны.

Мы уже выяснили, что каждая боковая грань – прямоугольный треугольник. Зная длины катетов, легко найдем площадь каждой грани:

30 piramida

 

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е ребро при основании равно 3 см. Высота этой пирам-ы составляет 4 см. Вычислите длину апофемы этой пирам-ы, а также угол, который ее боковые грани образуют с основанием.

Решение.

31 piramida

Основание пирам-ы обозначим как АВСDEF, а вершину как Р. Пусть РО – высота, тогда О – центр описанной окружности. Напомним, что у правильного шестиугольника радиус описанной окружности совпадает с длиной его стороны, то есть

32 piramida

Теперь надо найти угол между гранью АВР и основанием. Они пересекаются по прямой АВ. РН⊥АВ, ведь РН – апофема. ОН – это проекция РН на основание. Так как АВ⊥РН, то по обратной теореме о трех перпендикулярах и ОН⊥АВ. Значит, ∠ОНР и является искомым углом между гранью АВР и основанием. Для его вычисления применим тригонометрию к ∆ОНР:

33 piramida

 

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е все ребра имеют длину, равную единице. Найдите угол между прямыми АР и BD:

34 piramida

Решение. Для нахождения угла между АР и BD, у которых нет общей точки, можно вычислить угол между прямыми, которые будут им параллельны. Легко заметить, что АЕ||BD. Докажем это, рассмотрев основание пирам-ы:

35 piramida

Каждый угол правильного шестиугольника составляет 120°. В частности, это относится к ∠F и ∠С. ∆АFЕ – равнобедренный, ведь его стороны FE и AF одинаковы. Тогда и углы при основании будут одинаковыми. Найдем их:

36 piramida

Аналогично можно определить, что все углы четырехугольника АВDE прямые, то он представляет собой прямоугольник. Его противоположные стороны параллельны, в частности, АЕ||BD. Это означает, что искомый нами угол – это ∠РАЕ:

37 piramida

Для его вычисления необходимо вычислить длины сторон ∆РАЕ. Ребра РА и РЕ по условию равны единице. Длину ЕА найдем из ∆FAE, применив теорему косинусов:

38 piramida

 

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е боковые ребра имеют длину 2, а ребра в основании равны 1. Вычислите угол между плос-тями РFA и PDE:

39 piramida

Решение. Сначала надо найти прямую, по которой эти две грани пересекаются. Мы видим одну их общую точку – Р. Продолжим ребра FA и ED до тех пор, пока они не пересекутся в некоторой точке К. Эта точка K также будет общей для плос-тей, проходящих через грани PFA и РЕD. Значит, они пересекаются по прямой РК:

40 piramida

Найдем углы в ∆КЕF, помня при этом, что все в шестиугольнике АВСDEF составляют по 120°:

41 piramida

Получили, что все углы в ∆КЕF составляют по 60°, то есть он равносторонний, и поэтому стороны KE и KF одинаковы. Но также одинаковы и грани FA и DE. Отсюда получаем и равенство отрезков АК и DK:

42 piramida

Теперь сравним ∆АРК и ∆KPD. КР – их общая сторона, АР = РD как боковые ребра правильной пирам-ы, и АК = DK. Получается, что эти треугольники равны.

Далее в ∆АРК опустим высоту АН. Из равенства ∆АРК и ∆KPD вытекает, что и HD будет высотой в ∆PHD, ведь в равных треугольниках высоты должны делить равные стороны в одном и том же отношении. Тогда по определению двугранного угла ∠AHD и будет искомым углом между гранями, ведь KP – линия их пересечения, АН⊥KP и DH⊥KP.

43 piramida

∆AKP – равнобедренный, ведь отрезки АК и АР оказались одинаковыми. Значит, АН не только высота, но и медиана. Поэтому

44 piramida

Отрезок AD окажется диаметром окружности, описанной около шестиугольника. Мы знаем, что радиус такой окружности равен длине стороны шестиугольника, то есть единице. Тогда диаметр будет вдвое больше:

45 piramida

Сегодня мы познакомились с ещё одним видом многогранника –пирамидой. Они нередко встречаются в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии. Особо часто используются правильные пирамиды, поэтому важно помнить их основные свойства.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
У пирамиды 40 ребер. Какая фигура лежит в ее основании?
1восьмиугольник
2десятиугольник
3сорокаугольник
4двадцатиугольник
Ответить
4
Вопрос: 2
Основанием пирамиды является прямоугольник, а одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Сколько граней такой пирамиды являются прямоугольными треугольниками?
12
24
31
43
Ответить
2
Вопрос: 3
Что можно сказать о ребрах правильной пирамиды?
1они равны
2они параллельны
3они находятся в одной плоскости
4они лежат на сонаправленных лучах
Ответить
1
Вопрос: 4
Боковые грани усеченной пирамиды – это …
1ромбы
2прямоугольные трапеции
3равнобедренные трапеции
4равнобедренные треугольники
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

У пирамиды 40 ребер. Какая фигура лежит в ее основании?
1) восьмиугольник 2) десятиугольник 3) сорокаугольник 4) двадцатиугольник
2 вопрос:

Основанием пирамиды является прямоугольник, а одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Сколько граней такой пирамиды являются прямоугольными треугольниками?
1) 2 2) 4 3) 1 4) 3
3 вопрос:

Что можно сказать о ребрах правильной пирамиды?
1) они равны 2) они параллельны 3) они находятся в одной плоскости 4) они лежат на сонаправленных лучах
4 вопрос:

Боковые грани усеченной пирамиды – это …
1) ромбы 2) прямоугольные трапеции 3) равнобедренные трапеции 4) равнобедренные треугольники
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: двадцатиугольник
2 вопрос: 4
3 вопрос: они равны
4 вопрос: равнобедренные трапеции