Геометрия

Урок 1: Многогранники

Многогранники

В стереометрии изучаются различные объемные фигуры. Простейшими из них являются многогранники.

План урока:

Понятие многогранника

Теорема Эйлера

Призма

Типичные задачи на призмы

 

Понятие многогранника

Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.

1 mnogogranniki

Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».

Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.

Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника. Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу.

2 mnogogranniki

Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:

3 mnogogranniki

На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.

 

Теорема Эйлера

У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?

Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:

4 + 4 - 6 = 2

Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:

6 + 8 - 12 = 2

Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

4 mnogogranniki

Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.

 

Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Запишем теорему Эйлера:

5 mnogogranniki

 

Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?

Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:

6 mnogogranniki

 

Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?

Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:

7 mnogogranniki

 

Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?

Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:

8 mnogogranniki

Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:

9 mnogogranniki

Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.

Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.

 

Призма

Пусть в некоторой плос-ти α есть n-угольник с вершинами А1, А2, А3,…, Аn. Пусть в другой плос-ти β, которая параллельна α, есть равный ему многоуг-к В1В2В3…Вn, причем отрезки А1В1, А2В2, А3В3…, АnВпараллельны друг другу:

10 mnogogranniki

В результате мы получили геометрическую фигуру, которую именуют призмой. Многоуг-ки А1А2А3…Аn и В1В2В3…Вименуются основаниями призмы, а все остальные грани – это боковые грани призмы. Можно доказать, что боковые грани – это параллелограммы. Действительно, в четырехуг-ке А1А2В2В1 стороны А1В1 и А2В2 параллельны по условию. Также они равны по теореме 12 из этого урока. Это и значит, что А1А2В2В1 – это параллелограмм (по одному из его признаков). Тоже самое можно доказать и для остальных боковых граней. Теперь мы можем сформулировать определение призмы:

11 mnogogranniki

Ребра призмы, не принадлежащие основанию, именуются боковыми ребрами призмы. Ясно, что любые два соседних ребра параллельны, ведь они являются сторонами параллелограммами. Но тогда по свойству транзитивности параллельности получается, что вообще любые два боковых ребра параллельны. Если из какой-нибудь точки основания построен перпендикуляр к противоположному основанию, то он именуется высотой призмы:

12 mnogogranniki

Естественно, что высота перпендикулярна обоим основаниям. Возможна ситуация, когда высота падает не на основание, а на какую-нибудь точку плос-ти основания, не находящуюся внутри него. Ясно, что все высоты призмы имеют одинаковую длину независимо от того, через какие точки они проведены, ведь высота по своей сути – это расстояние между плос-тями оснований.

Особый интерес вызывают призмы, где боковые ребра и основания перпендикулярны друг другу. Такие призмы именуются прямыми. Ясно, что у них боковые грани оказываются уже не просто параллелограммами, а уже прямоуг-ками. При этом любое боковое ребро одновременно является и высотой. Все остальные призмы именуют наклонными.

13 mnogogranniki

Если в основании призмы находится n-угольник, то призму называют n-угольной. В частности, в основании треугольной призмы лежит треуг-к, в основании десятиугольной призмы находится десятиугольник и т. д. Наконец, в особую группу выделяют прямые призмы, основаниями которых представляют собой правильные многоуг-ки. Их так и именуют – правильные призмы.

14 mnogogranniki

Если сложить площадь всех граней призмы, то получится сумма, которую именуют площадью полной поверхности призмы. Обычно ее обозначают как Sполн. Если же складываются только площади боковых граней, то в сумме получается площадь боковой поверхности призмы, обозначаемая как Sбок. Если площадь основания призмы обозначить как Sосн., то справедлива будет очевидная формула:

15 mnogogranniki

Действительно, пусть есть прямая призма с основаниями А1А2…Аn и B1B2…Bn:

16 mnogogranniki

Так как ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, то они должны быть перпендикулярны и тем ребрам, которые образуют основания. Это значит, каждая боковая грань – это прямоуг-к. При этом боковые ребра – это одновременно и высоты призмы. Тогда площадь боковых граней вычисляется так:

17 mnogogranniki

Отметим наконец, что параллелепипед можно считать частным случаем призмы, а прямоугольный параллелепипед – частным случаем прямой призмы.

 

Типичные задачи на призмы

Призмы нередко встречаются в заданиях ЕГЭ, поэтому важно уметь решать задачи, в которых используются эти фигуры.

 

Задание. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?

Решение. В любом многограннике диагональ соединяет точки, не лежащие на одной грани. Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований, причем в n-угольной призме каждому основанию принадлежат n вершин.

Возьмем произвольную вершину на одном из оснований и посчитаем, сколько диагоналей из нее можно провести. Если соединять ее отрезками с другими вершинами, принадлежащему тому же основанию, то получатся диагонали грани, но не диагонали призмы (зеленые линии на рисунке):

18 mnogogranniki

Значит, остается только провести прямые к тем вершинами, которые лежат в другом основании. Так как в другом основании находятся n вершин, то и отрезков будет ровно n. Однако три из них не будут диагоналями (показаны на рисунке синим цветом), так как будут либо являться одним из ребер призмы либо одной из диагоналей. Получается, что из вершины можно провести (n – 3) диагоналей. Так как в основании находятся n вершин, то всего можно построить n•(n– 3) диагоналей.

Ответ: n•(n – 3) диагоналей.

 

Задание. Длина стороны правильной треугольной призмы составляет 8 см, а ее боковое ребро имеет длину 6 см. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает другое основание в противолежащей вершине. Какова площадь этого сечения?

Решение. Выполним построение по условию задачи:

19 mnogogranniki

Здесь сечение проведено через ребро В1С1 и противолежащую ей вершину А. Призма правильная, поэтому ее основания ∆АВС и ∆А1В1С1 – это равносторонние треуг-ки, и все их стороны равны 8 см. По определению правильная призма обязательно ещё и прямая. Тогда боковые грани – прямоуг-ки.

∆АВВ1 – прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить его гипотенузу АВ1:

20 mnogogranniki

Аналогично можно вычислить, что и диагональ АС1 также равна 10 см. Вообще в правильных призмах все грани – это равные друг другу прямоуг-ки, поэтому и диагонали у них одинаковы.

Длина ребра В1С1 составляет 8 см. Получается, нам надо вычислить площадь равнобедренного ∆АВ1С1 с основанием 8 см и боковыми сторонами 10 см. Это можно сделать множеством способов. Самый простой из них заключается в использовании формулы Герона. Для ее применения сначала вычислим полупериметр ∆АВ1С1:

21 mnogogranniki

 

Задание. В основании призмы находится равносторонний ∆АВС. Ребро АА1 образует одинаковые углы с ребрами АС и АВ. Докажите, что ребра АА1 и ВС перпендикулярны и что СС1В1В – прямоуг-к.

Решение. Выполняем построение:

22 mnogogranniki

По условию ∠А1АВ и ∠А1АС одинаковы. Проведем диагонали А1В и А1С. В итоге мы получим ∆А1АВ и А1АС. У них есть АА1 – общая сторона, стороны АВ и АС одинаковы (ведь ∆АВС – равносторонний), а углы между ними одинаковы. Значит, ∆А1АВ и А1АС равны, и тогда диагонали А1В и А1С одинаковы.

Получается, что точка А1 равноудалена вершин В и С. Аналогично и точка А равноудалена от В и С, ведь АВ и АС одинаковы. Это значит, что и А1, и А лежат на серединных перпендикулярах, проведенных к отрезку ВС:

23 mnogogranniki

Обозначим середину ВС как Н, тогда НА1 и НА – серединные перпендикулярны. То есть ВС⊥АН и ВС⊥А1Н. Но это значит (по признаку перпендикулярности прямой и плос-ти), что ВС перпендикулярен всей плос-ти АНА1. Из этого вытекает, что ВС⊥АА1, ч. т. д.

Осталось показать, что грань СС1В1В – это прямоуг-к. Так как ВВ1||АА1, и ВС⊥АА1, то и ВС⊥ВВ1. Значит в параллелограмме СС1В1В (напомним, что в призме все боковые грани – параллелограммы) есть прямой угол. Это значит, что он является прямоуг-ком, ч. т. д.

 

Задание. Призма АВСА1В1С1 – наклонная. Известно, что АС = АВ = 13 и ВС = 10. Боковые ребра призмы образуют с основанием АВС угол 45°. Проекция точки А1 на плос-ть АВС совпадает с точкой пересечения медиан в ∆АВС. Какова площадь грани СС1В1В?

Решение. Снова выполняем построение:

24 mnogogranniki

Здесь О – это проекция точки А1 и одновременно точка пересечения медиан. H– середина отрезка ВС, то есть АН – как раз одна из медиан. Заметим, что так как ∆АВС равнобедренный, и ВС – это его основание, то АН одновременно является и высотой, то есть ∠ВНА = 90°. Раз Н – середина ВС, то ВН будет вдвое короче ВС:

25 mnogogranniki

Напомним, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, поэтому мы можем найти ОА:

26 mnogogranniki

Понятно, что ОА – это проекция прямой ОА на плос-ть АВС. Тогда угол между ребром АА1 и плос-тью АВС, по условию равный 45° – это ∠ОАА1.

Из прямоугольного ∆АОА1 с помощью тригонометрии мы найдем длину ребра АА1:

27 mnogogranniki

Теперь покажем, что грань СС1В1В – прямоуг-к. Ясно, что ОА1⊥ВН, ведь ОА1 – перпендикуляр ко всей плос-ти АВС. Но также ВН⊥АН. Значит, ВН перпендикулярен плос-ти АОА1, и, в частности, перпендикулярен ребру АА1. Но тогда и ВВ1⊥ВН, ведь ВВ1||АА1. Значит, грань СС1В1В – прямоуг-к, ведь в ней есть прямой угол. Для нахождения площади прямоуг-ка надо перемножить две его смежные стороны:

28 mnogogranniki

 

Задание. Ребро при основании правильной 6-угольной призмы имеет длину 23, а боковое ребро равно 50. Вычислите площадь поверхности призмы (и полную, и боковую).

Решение.

29 mnogogranniki

Сначала найдем площадь и периметр основания. Формулы для правильных многоуг-ков мы уже изучали:

30 mnogogranniki

Здесь а – сторона шестиугольника, R и r – радиусы описанной и вписанной окружности, n– число сторон шестиугольника. Во второй формуле мы использовали известный факт, что длина стороны правильного 6-угольника совпадает с радиусом описанной около него окружности.

Далее вычисляем площадь боковой поверхности:

31 mnogogranniki

Добавив к этому значению удвоенную площадь поверхности основания, найдем и полную площадь призмы:

32 mnogogranniki

 

Задание. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, у которой все ребра одинаковы и равны единице, вычислите угол между гранью АВС и сечением АСВ1:

33 mnogogranniki

Решение. Вспомним, что для нахождения угла между плос-тями необходимо построить в этих плос-тях перпендикуляры к линии их пересечения, причем эти перпендикуляры должны падать на одну и ту же точку.

Пересекаются плос-ти АВС и АСВ1 по грани АС. Заметим, что и ∆АВС, и ∆АСВ1 – равнобедренные, причем у них общее основание АС. Действительно, АВ = ВС, так как в основании правильной призмы лежит равносторонний треуг-к, а АВ1 = СВ1, так как это диагонали равных граней АВВ1А1 и ВСС1В1.

Если мы отметим середину отрезка АС (например, точкой Н) и соединим ее с В и В1, то мы получим две медианы НВ и НВ1, которые одновременно будут и высотой. Это значит, что именно ∠ВНВ1 и будет искомым углом между плос-тями:

34 mnogogranniki

Осталось найти ∠ВНВ1. Длину ВВ1 мы уже знаем, она составляет 1.

АН вдвое короче АС:

35 mnogogranniki

Теперь заметим, что ∆НВВ1 – прямоугольный, поэтому для него можно использовать тригонометрию:

36 mnogogranniki

 

Задание. Найдите угол между прямыми А1D и СD1 в правильной призме, показанной на рисунке:

37 mnogogranniki

Все ребра этой призмы равны единице.

Решение. Сначала внимательно рассмотрим верхнее основание призмы. Так как оно представляет собой правильный многоуг-к, то вокруг него можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности как О и проведем радиусы к вершинам:

38 mnogogranniki

Так как в правильном шестиуг-ке радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то получается, что ∆А1ОВ1, ∆В1ОС1 и ∆С1ОD1 – равносторонние. Тогда ∠А1ОВ1, ∠B1OC1 и ∠С1ОD1 составляют по 60°. Тогда ∠А1ОD1 равен 180°, то есть точки А1, О и D1 находятся на одной прямой А1D1. Также заметим, что эта прямая параллельна ребру В1С1, ведь ∠D1OC1и ∠ОС1B1 являются накрест лежащими для этих прямых (при секущей ОС1) и при том они одинаковы. Так как отрезки А1О и D1O как стороны равносторонних треуг-ков равны 1, то

39 mnogogranniki

Теперь вернемся к призме:

40 mnogogranniki

Так как А1D1||В1С1 и В1С1||ВС, то и А1D1||ВС. Это значит, что через А1D1 и ВС можно провести плос-ть, в которой будут лежать и интересующие нас прямые А1В и СD1. Для нахождения угла между ними надо рассмотреть четырехуг-к А1D1CB. Раз А1D1||ВС, то этот четырехуг-к является трапецией.

Далее найдем длину А1В. Для этого используем ∆АВА1:

41 mnogogranniki

Аналогично из ∆СDD1 можно определить, что СDимеет такую же длину. Это значит, что А1D1CB – равнобедренная трапеция.

Теперь рассмотрим отдельно эту трапецию, чтобы найти искомый угол:

42 mnogogranniki

Опустим из вершин трапеции В и С перпендикуляры на А1D1. В итоге получим прямоуг-к ВСРН, где

43 mnogogranniki

44 mnogogranniki

Сегодня мы более детально изучили понятие многогранника и познакомились с новой геометрической фигурой – призмой. Призма довольно часто встречается в задаче С2 на ЕГЭ. Также мы узнали о теореме Эйлера, из которой вытекают некоторые важные факты. Один из них заключается в том, что не бывает выпуклых многогранников, у которых ни одна грань не является треуг-ком, четырехуг-ком или пятиуг-ком.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Каждое ребро многогранника принадлежит…
1ровно 1 его грани
2ровно 3 его граням
3либо 2, либо 3 граням
4ровно 2 его граням
Ответить
4
Вопрос: 2
Если у выпуклого многогранника 20 вершин и 30 ребер, то граней у него ровно…
110
212
325
4количество граней может быть различным
Ответить
2
Вопрос: 3
Какая из этих фигур является правильной четырехугольной призмой?
1Куб
2Тетраэдр
3Октаэдр
4Икосаэдр
Ответить
1
Вопрос: 4
Правильная призма обязательно является ещё и…
1Тетраэдром
2Кубом
3Прямой призмой
4Наклонной призмой
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Каждое ребро многогранника принадлежит…
1) ровно 1 его грани 2) ровно 3 его граням 3) либо 2, либо 3 граням 4) ровно 2 его граням
2 вопрос:

Если у выпуклого многогранника 20 вершин и 30 ребер, то граней у него ровно…
1) 10 2) 12 3) 25 4) количество граней может быть различным
3 вопрос:

Какая из этих фигур является правильной четырехугольной призмой?
1) Куб 2) Тетраэдр 3) Октаэдр 4) Икосаэдр
4 вопрос:

Правильная призма обязательно является ещё и…
1) Тетраэдром 2) Кубом 3) Прямой призмой 4) Наклонной призмой
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: ровно 2 его граням
2 вопрос: 12
3 вопрос: Куб
4 вопрос: Прямой призмой