Геометрия

Урок 6: Расстояния в стереометрии

Перпендикуляры и расстояния в стереометрии

Мы уже сталкивались с перпендикулярными прямыми в планиметрии. В стереометрии это понятие расширяется.

План урока:

Понятие перпендикуляра

Расстояния между плоскостями и прямыми

Теорема о трех перпендикулярах

Угол между прямой и плоскостью

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

 

Понятие перпендикуляра

Пусть есть некоторая плоскость α и точка М в пространстве, не лежащая на α. Проведем через М прямую, перпендикулярную α. Она пересечет α в какой-нибудь точке К. Отрезок МК именуют перпендикуляром к плоскости α.

1 rasstoyaniya v stereometrii

Если через М мы проведем ещё одну прямую, пересекающую α, то она пересечет α в какой-нибудь точке Н. В результате мы получим прямоугольный ∆МНК:

2 rasstoyaniya v stereometrii

Запомним некоторые геометрические термины. В таком построении:

  • отрезок МН – это наклонная;
  • отрезок НК – это проекция наклонной, или просто проекция;
  • К – основание перпендикуляра;
  • Н – основание наклонной.

Заметим, что в ∆МНК отрезок МН – это гипотенуза, а МК – это катет. Напомним, что катет всегда меньше гипотенузы. Отсюда вытекает вывод – длина перпендикуляра всегда меньше длины наклонной (конечно, если они проведены из одной точки).

Это значит, что из всех отрезков, которыми можно соединить точку и плоскость, именно перпендикуляр будет кратчайшим. Поэтому его называют расстоянием между точкой и плоскостью.

3 rasstoyaniya v stereometrii

 

Расстояния между плоскостями и прямыми

Докажем довольно очевидный факт:

4 rasstoyaniya v stereometrii

Действительно, пусть α и β – параллельные плоскости. Выберем на α произвольные точки М и Р, а далее опустим перпендикуляры из точек М и Р на β, которые пересекут β в точках Н и К соответственно:

5 rasstoyaniya v stereometrii

Так как МН и РК перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Но также и α||β. Тогда, по теореме 12 из этого урока, отрезки МН и РК одинаковы, ч. т. д.

Этот факт позволяет ввести понятия расстояния между параллельными плоскостями.

6 rasstoyaniya v stereometrii

Уточним, что если плоскости пересекаются, то расстояние между ними не может быть определено.

Далее рассмотрим случай с плоскостью α и параллельной ей прямой m. Оказывается, и в этом случае точки прямой равноудалены от плоскости.

7 rasstoyaniya v stereometrii

Действительно, отметим на m произвольную точку К. Далее через K проведем такую плоскость β, что α||β. Так как точки β равноудалены от α, то нам достаточно показать, что m будет полностью принадлежать β:

8 rasstoyaniya v stereometrii

Так как m и β уже имеют общую точку K, то они m либо пересекает β, либо лежит в ней. Будем рассуждать от противного и предположим, что m и β пересекаются. Так как m||α, то в α можно построить прямую n, параллельную m. Если m пересекает β, то и nтакже должна ее пересекать (по теореме 3 из этого урока). Но если n пересекает β, то точка их пересечения будет одновременно принадлежать и β, и α. То есть у этих плоскостей будет общая точка. Но α и β параллельны и потому не могут иметь общих точек. Значит, на самом деле m и β НЕ пересекаются. Остается один вариант – m принадлежит β, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает понятие расстояния между прямой и плоскостью.

9 rasstoyaniya v stereometrii

Уточним, что если плоскость и прямая не параллельны, то расстояние между ними определить нельзя.

Осталось понять, как определять расстояние между прямыми в пространстве. Для параллельных прямых определение расстояния известно ещё из курса планиметрии. Естественно, что для пересекающихся прямых расстояние определить невозможно. Остается только случай скрещивающихся прямых.

Пусть прямые m и n скрещиваются. Тогда через n можно построить плоскость α, параллельную m. И наоборот, через m возможно провести плоскость β, параллельную n:

10 rasstoyaniya v stereometrii

Далее опустим из какой-нибудь точки m перпендикуляр на α. Обозначим этот перпендикуляр как р. Тогда через пересекающиеся прямые m и р можно провести единственную плоскость γ:

11 rasstoyaniya v stereometrii

Заметим, что плоскости α и γ обязательно пересекутся по некоторой прямой m’, причем m’||m. Действительно, m’ и m не могут скрещиваться, ведь они находятся в одной плоскости γ. Не могут они и пересекаться, ведь в противном случае точка их пересечения была бы общей для m и α, а они параллельны и общих точек не имеют.

Также заметим, что прямые n и m’ пересекаются, ведь они располагаются в одной плоскости α. Параллельными они быть не могут, ведь тогда по свойству транзитивности параллельности получилось бы, что и n||m, а это не так. Обозначим точку пересечения n и m’ буквой K.

Далее через K в плоскости γ проведем прямую р’, параллельную р:

12 rasstoyaniya v stereometrii

Теперь начнем рассуждения. Если р⊥α, то также р⊥m’. Так как р’||р, то и р’⊥m’, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой. По этому же правилу из того факта, что m’||m и р’⊥m’ вытекает, что и m⊥р’. Наконец, если р⊥α, то р⊥n. Для ясности отметим все найденные нами прямые углы на рисунке:

13 rasstoyaniya v stereometrii

В итоге получилось, что отрезок HK перпендикулярен и n, и m. По этой причине его называют общим перпендикуляром к прямым n и m. Именно он и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми m и n.

Отдельно отметим, что HK – это ещё и общий перпендикуляр к α и β. Понятно, что так как р⊥α и р’||р, то и р’⊥α, то есть HK – перпендикуляр к α.

Теперь через точку H проведем прямую n’, параллельную n. Так как β||n, то n’ будет находиться в β (по теор. 6 в этом уроке).

14 rasstoyaniya v stereometrii

Раз n||n’ и р’⊥n, то и р’⊥n’. Тогда получается, что в β есть сразу две пересекающихся прямых (это m и n’), которые перпендикулярны р’. Поэтому можно утверждать, что р’⊥β, то есть HK– перпендикуляр к β.

Отсюда сразу вытекает ещё один важный вывод – плоскости α и β параллельны, так как имеют общий перпендикуляр.

Итак, мы показали, что общий перпендикуляр можно построить для любых двух скрещивающихся прямых. Но можно построить ещё один такой перпендикуляр? Нельзя, и это можно показать.

Сначала заметим, что второй перпендикуляр нельзя провести через точку К, ведь в таком случае получалось бы, что к m проведены два различных перпендикуляра из одной и той же точки, что невозможно. Аналогично перпендикуляр не может проходить и через Н.

Предположим тогда, что второй перпендикуляр проходит через точки С и D, причем С находится на m, а D находится на n. То есть CD⊥m и СD⊥n:

15 rasstoyaniya v stereometrii

Проведем через С прямую n’’, параллельную n. Раз СD⊥n и n||n’’, то и СD⊥n’’. При этом n’’ находится в β (это доказывается также, как и в случае с n’). Тогда получается, что в β есть две прямые, n’’ и m, каждая из которых перпендикулярна СD, и при этом n’’ и m пересекаются. Тогда CD⊥β. Из этого вытекает, что СD и HK параллельны, а потому через них можно провести плоскость δ. Этой плоскости будут принадлежать точки С, H, К и D. Но тогда в этой плоскости должны находиться прямые m и n, ведь они имеют с ней по две общих точки. Но m и n – скрещивающиеся прямые, то есть они никак не могут находиться в одной плоскости. Это противоречие означает, что второй общий перпендикуляр CD не существует.

Итак, из всех наших рассуждений мы можем сделать следующие выводы:

16 rasstoyaniya v stereometrii

 

Теорема о трех перпендикулярах

Сформулируем важное утверждение, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.

17 rasstoyaniya v stereometrii

Проиллюстрируем теорему с помощью картинки:

18 rasstoyaniya v stereometrii

Доказательство этой теоремы очень простое. Так как МК⊥α, то также МК⊥m. Теперь рассмотрим расположение плоскости МНК и прямой m. МК⊥m и HK⊥m. Тогда по признаку перпендикулярности можно утверждать, что m перпендикулярна всей плоскости HM, то есть каждой находящейся в ней прямой. В частности, m⊥HK, ч. т. д.

Оказывается, верно и обратное утверждение (так называемая обратная теорема о трех перпендикулярах):

19 rasstoyaniya v stereometrii

Доказательство аналогично предыдущему. Так как m⊥MH и m⊥MK, то m⊥HMK. Отсюда вытекает, что и m⊥HK.

 

Угол между прямой и плоскостью

Проекция наклонной позволяет ввести такое понятие, как угол между прямой и плоскостью.

20 rasstoyaniya v stereometrii

Пусть надо определить угол между прямой HM и плоскостью α:

21 rasstoyaniya v stereometrii

Здесь надо просто построить перпендикуляр МК. В результате появится отрезок HK– проекция HM на α. Тогда угол между HM и HK, то есть ∠MHK, как раз и будет углом между HM и α.

Однако не всегда таким образом можно построить проекцию прямой. Проблемы возникнут, если прямая либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости. В таких случаях используются такие правила:

22 rasstoyaniya v stereometrii

 

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Рассмотрим несколько задач, в каждой из которых рассматривается куб АВСDEFGH. При этом предполагается, что ребро такого куба имеет длину, равную единице.

 

Задание. В кубе АВСDEFGH найдите расстояние между точкой А и гранью CDHG:

23 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Ребро AD перпендикулярно грани DH (так как AD⊥DH и AD⊥CD). Поэтому как раз АD и является расстоянием между А и СDHG. Значит, оно равно единице.

Ответ: 1.

 

Примечание. Для решения следующих задач запомним, что ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Вообще в кубе все ребра, пересекающиеся с гранями, перпендикулярны таким граням.

 

Задание. Найдите в кубе расстояние между вершиной А и плоскостью BDH:

24 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Проведем на грани АВСD перпендикуляр АК из А к прямой BD:

25 rasstoyaniya v stereometrii

Докажем, что АК – перпендикуляр в BDH. Для этого надо найти две прямые в BDH, перпендикулярные АК. Первая такая прямая – это BD (мы специально провели АК⊥BD). Вторая такая прямая – это DH. Действительно, DH перпендикулярна всей грани АВСD, а значит, и прямой АК.

Теперь найдем длину АК. Ее можно вычислить из прямоугольного ∆АКD. В нём ∠ADB =45°, ведь это угол между стороной квадрата АВСD и его диагональю.

Найти АК можно с помощью тригонометрии в ∆АКD:

26 rasstoyaniya v stereometrii

 

Задание. Найдите расстояние от H до плоскости EDG:

27 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Обозначим середину отрезка ЕD буквой М.Далее в ∆МНG опустим высоту из НК на сторону MG:

28 rasstoyaniya v stereometrii

Попытаемся доказать, что HK – это перпендикуляр к EDG. Заметим, что ∆HDG и ∆EHG равны, ведь у них одинаковую длину имеют ребра DH, EH, ребро GH – общее, а ∠DHG и ∠EHG прямые. Тогда одинаковы отрезки EG и DG. Это означает, что ∆EGD – равнобедренный.

В ∆EGDMG– это медиана. Так как ∆EGD – равнобедренный, то MG одновременно ещё и высота, поэтому MD⊥MG.

Аналогично ∆EHD– равнобедренный (EH = HD), а потому MH в нем – и медиана, и высота. Поэтому MD⊥MH.

Получили, что MD перпендикулярен и MH, и MG, то есть двум прямым в плоскости MHG. Тогда MD перпендикулярен всей плоскости MHG, и, в частности, отрезку HK: HK⊥MD.

Но также MD⊥MG. Получается, KH перпендикулярен двум прямым в плоскости EDG, и потому он является перпендикуляром к плоскости EDG. Значит, именно его длину нам и надо найти.

Рассмотрим ∆MDH. Он прямоугольный, а ∠MDH = 45° (угол между стороной и диагональю квадрата). Тогда длину MH можно найти так:

29 rasstoyaniya v stereometrii

Так как ребро GH перпендикулярно грани АЕНD, то ∆MHG – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора можно найти MG:

30 rasstoyaniya v stereometrii

 

Далее можно найти HK разными способами, но проще воспользоваться подобием ∆MHG и ∆MKH. Они оба – прямоугольные, и у них есть общий угол ∠KMH, этого достаточно для подобия треугольников. Записываем пропорцию:

31 rasstoyaniya v stereometrii

Здесь слева записано отношение сторон, лежащих против ∠KMH, а справа – отношение сторон, лежащих против прямых углов (то есть отношение гипотенуз). Используем пропорцию дальше:

32 rasstoyaniya v stereometrii

 

Задание. Найдите расстояние между прямыми ВС и DH:

33 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. ВС и DH – скрещивающиеся. Надо найти общий перпендикуляр к ним. В данном случае он очевиден – это отрезок CD. Действительно, CD⊥ВС как стороны квадрата АВСD, но и DH⊥CD как стороны в другом квадрате, СDHG.. Длина же ребра CD равна единице, ведь у куба все ребра одинаковы.

Ответ: 1.

 

Задание. Каково расстояние между прямыми ВС и DG:

34 rasstoyaniya v stereometrii

Решение.На грани СDHG опустим из С перпендикуляр СК на диагональ GD:

35 rasstoyaniya v stereometrii

Будет ли СК являться расстоянием между ВС и DG? Ясно, что СК⊥DG. При этом ребро ВС перпендикулярно грани СGHD, так как ВС⊥СG и ВС⊥СD. Значит, также ВС⊥СК. То есть СК – общий перпендикуляр к ВС и DG, и по определению как раз и является искомым расстоянием.

Длину СК найдем из прямоугольного ∆СKG. ∠СGK составляет 45°, ведь это угол между диагональю DG и стороной квадрата СG. Тогда можно записать:

36 rasstoyaniya v stereometrii

 

Задание. Найдите расстояние между ребрами АВ и HG:

37 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Здесь ребра АВ и HG параллельны, так как каждая их них параллельна ребру CD. Проведем отрезок АН. Так как и АВ, и HG перпендикулярны грани АЕНD, то эти ребра одновременно перпендикулярны и АН. То есть АН – общий перпендикуляр к АВ и HG, и поэтому именно его длину и надо найти.

Сделать это можно из прямоугольного ∆АНD, в котором ∠НАD составляет 45°:

38 rasstoyaniya v stereometrii

 

Задание. Чему равно расстояние между ребром AB и диагональю FD:

39 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Пусть А1, D1, Hи Е1 – середины ребер АВ, DC, HG, и EF соответственно. Проведем через А1, D1, Hплоскость. Диагональ FD пересечет ее в какой-нибудь точке К:

40 rasstoyaniya v stereometrii

Сначала покажем, что плоскости α и ADH (то есть нижняя грань) параллельны.

Заметим, что в четырехугольнике АА1D1D стороны АА1 и DDпараллельны (ведь они лежат на сторонах квадрата АВСD) и одинаковы (ведь они составляют половину от длины ребер АВ и CD, то есть имеют длину 0,5). Тогда АА1D1D – параллелограмм. Более того, раз у него есть прямые углы ∠А1АDи ∠АDD1, то можно утверждать, что АА1D1D – прямоугольник. Тогда АD||A1D1. Аналогично можно показать, что DHH1D– прямоугольник, и DH||D1H1.

Далее можно действовать разными способами. Первый способ – это использование признака параллельности плоскостей (теорема 9 из этого урока). Так как в α есть пересекающиеся прямые А1D1и D1H1, а в плоскости ADH находятся прямые AD и DH, и АD||A1D1, и DH||D1H1, то по этому признаку α||ADH.

Однако, если этот признак вдруг оказался «забыт», то можно использовать отрезок DD1. Он перпендикулярен и грани ADHE, и плоскости α, ведь в каждой из них есть по две прямых, перпендикулярных ему. Это AD и DH на грани ADHE и A1D1и D1Hв α. Тогда α и ADH перпендикулярны одной и той же прямой, а потому они параллельны. Так или иначе, мы выяснили, что α||ADH.

Отсюда вытекает, что α должна проходить через середину Е1. Действительно, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точек измерения. В данном случае оно равно отрезку АА1, то есть 0,5. Но FE– это также общий перпендикуляр к α и ADH. Значит, α пересекает FE в точке, находящейся на расстоянии 0,5 от Е. А это как раз и есть середина FE, то есть точка Е1.

Далее докажем, что точка К, в которой прямая FD пересекает α – это середина отрезка Е1D1. Для этого удобно отдельно показать плоскость, проходящую через параллельные ребра FE и CD, то есть четырехугольник FEDC:

41 rasstoyaniya v stereometrii

Заметим, так как ребра FE и CD перпендикулярны верхней и нижней грани, то они перпендикулярны и отрезкам FC и ED, то есть FEDC прямоугольник. Тогда FC||ED, и ∠Е1FD = ∠D1DF (накрест лежащие углы при секущей FD). ∠FKEи ∠DKD1 одинаковы уже как вертикальные углы. Тогда ∆FKE1 и ∆DKDподобны по 2 углам. Но отрезки FEи DDодинаковы как половины равных ребер FE и CD. Получается, что ∆FKEи ∆DKDравны, и поэтому Е1К = KD1. Это и значит, что К – середина Е1D1.

Также отметим, что Е1D1 – диагональ в четырехугольнике А1Е1Н1D1. Докажем, что А1Е1Н1D – это квадрат. Ранее мы уже показали, что АА1D1D и DHH1D1 – прямоугольники. Аналогично можно продемонстрировать, что прямоугольниками являются также АА1Е1Е и ЕЕ1Н1Н. Из этого вытекает равенство сторон:

42 rasstoyaniya v stereometrii

То есть в А1Е1Н1Dвсе стороны одинаковы, и эта фигура – ромб. Теперь надо показать, что и углы в этом четырехугольнике составляют 90°. Продемонстрируем это на примере ∠А1D1H1. AD⊥CDHG и AD||A1D1, поэтому А1D1⊥CDHG. Значит, также А1D перпендикулярна любой прямой на грани CDHG, в том числе и D1H1. То есть ∠А1D1H1 = 90°. Но если в ромбе хотя бы один угол прямой, то он является квадратом.

Итак, мы выяснили, что А1Е1Н1D1 – квадрат, а К – середина его диагонали Е1D1. Получается, что К – точка пересечения диагоналей квадрата А1Е1Н1D1, ведь эта точка пересечения как раз делит диагонали пополам.

Теперь мы можем наконец доказать, что А1К – это и есть искомое расстояние. Действительно, так как АВ – перпендикуляр к α, та А1К принадлежит α, то А1К⊥АВ. Но как же доказать, что А1К⊥FD. Здесь поможет теорема о трех перпендикулярах. Е1К – это проекция FK на α, и Е1К⊥А1К, ведь диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Раз отрезок А1К перпендикулярен проекции, то он перпендикулярен и самой наклонной, то есть А1К⊥FK.

Осталось лишь вычислить длину А1К. Для этого по аналогии с предыдущими задачами используем прямоугольный∆А1Е1К, в котором ∠А1Е1К = 45°:

43 rasstoyaniya v stereometrii

 

Отвлечемся от куба и рассмотрим другую задачу.

 

Задание. В ∆АВС вписана окружность. Через центр этой окружности (точку О) проведена прямая ОН, причем она перпендикулярна плоскости АВС. Верно ли, что точка Н находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ, АС и ВС?

44 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Пусть N, K и M – точки касания окружности и сторон АВ, АС и ВС соответственно. Тогда ОN, OK и OM– радиусы, а они должны быть перпендикулярны касательным, то есть

45 rasstoyaniya v stereometrii

Заметим, что ОN, OK и OM – это также проекции прямых HN, HK и HM соответственно. Раз отрезки АВ, АС и ВС перпендикулярны этим проекциям, то они должны быть перпендикулярны и наклонным:

46 rasstoyaniya v stereometrii

Это значит, что HN, HK и HM– это расстояния от H до сторон ∆АВС. Осталось показать, что они одинаковы. Это можно сделать с помощью ∆HON, ∆HOK и ∆HOM. Они все прямоугольные, причем катет OH– общий, а катеты ON, OM и OK одинаковы как радиусы одной окружности. Отсюда вытекает вывод, что эти треугольники равны, то есть одинаковы и их гипотенузы HN, HKи HM, ч. т. д.

 

Теперь снова вернемся к кубу, чтобы на практике научиться определять угол между прямой и плоскостью.

 

Задание. Найдите угол между ребром куба BD и гранью СDHG:

47 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. ВС – это перпендикуляр к грани СDHG, поэтому CD– проекция BD на грань СDHG. Тогда нам надо найти ∠BDC. Он составляет 45°, так как это угол между стороной и диагональю квадрата АВСD:

48 rasstoyaniya v stereometrii

Ответ: 45°.

 

Задание. Вычислите угол между ребром CD и плоскостью BDHF:

49 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. Нам надо из С опустить перпендикуляр на BDHF. Несложно догадаться, что для этого надо на грани ABCD опустить перпендикуляр СК на диагональ BD:

50 rasstoyaniya v stereometrii

Действительно, СK⊥BD. Надо найти ещё одну прямую в BDHF, перпендикулярную СК. И такой прямой может быть BF. Так как BF перпендикулярна всей грани АВСD, то она обязательно перпендикулярна и СК. Получаем, что СК⊥BF и CK⊥BD, и тогда СK⊥BDHF.

Если СK– перпендикуляр, то KD – это проекция СD. Тогда искомый нами угол – это ∠СDK. Он равен 45°, ведь BD – диагональ квадрата АВСD, а CD – его сторона.

Ответ: 45°

 

Задание. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABGH:

51 rasstoyaniya v stereometrii

Решение. На нижней грани АЕНD опустим на АН перпендикуляр DK:

52 rasstoyaniya v stereometrii

Заметим, что ребро АВ перпендикулярно грани АЕНD, поэтому KD⊥АВ. Но также KD⊥AH (мы специально построили так KD). Тогда можно утверждать, что KD – это перпендикуляр ко всей плоскости АВGH.

В таком случае BK – это проекция BD на AB. Значит, нам необходимо вычислить ∠DBK. Его можно найти из прямоугольного ∆DBK, но сперва надо вычислить длины сторон KD и BD.

ВD найдем из прямоугольного ∆ABD:

53 rasstoyaniya v stereometrii

Теперь мы можем найти ∠DBK, а точнее его синус, из ∆DBK:

54 rasstoyaniya v stereometrii

По таблице синусов легко определить, что ∠DBK = 30°.

Ответ: 30°.

 

В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикуляре к плоскости. Перпендикуляры используются для определения расстояний в стереометрии, а также угла между прямой и плоскостью.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Как называется кратчайший отрезок, соединяющий точку с плоскостью?
1Медиана
2Проекция наклонной
3Наклонная
4Перпендикуляр
Ответить
4
Вопрос: 2
Если прямая и плоскость параллельны, то угол между ними составляет…
145°
2
360°
430°
Ответить
2
Вопрос: 3
Сколько общих перпендикуляров есть у скрещивающихся прямых?
1Один
2Два
3Ни одного
4Бесконечно много
Ответить
1
Вопрос: 4
Что принимается за расстояние между двумя пересекающимися плоскостями?
1Длина линии их пересечения
2Длина их общего перпендикуляра
3Это расстояние невозможно определить
4Длина их общей наклонной
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Как называется кратчайший отрезок, соединяющий точку с плоскостью?
1) Медиана 2) Проекция наклонной 3) Наклонная 4) Перпендикуляр
2 вопрос:

Если прямая и плоскость параллельны, то угол между ними составляет…
1) 45° 2) 3) 60° 4) 30°
3 вопрос:

Сколько общих перпендикуляров есть у скрещивающихся прямых?
1) Один 2) Два 3) Ни одного 4) Бесконечно много
4 вопрос:

Что принимается за расстояние между двумя пересекающимися плоскостями?
1) Длина линии их пересечения 2) Длина их общего перпендикуляра 3) Это расстояние невозможно определить 4) Длина их общей наклонной
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Перпендикуляр
2 вопрос:
3 вопрос: Один
4 вопрос: Это расстояние невозможно определить