Геометрия

Урок 2: Трапеция

Трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат

Параллелограмм – не единственный особый вид четырехугольника. Помимо него выделяют также трапецию, прямоугольник, ромб и квадрат.

План урока:

Трапеция

Средняя линия трапеции

Прямоугольная и равнобедренная трапеция

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Симметрия

 

Трапеция

Рассмотрим четырехуг-к, у которого параллельны только две стороны, а две оставшиеся  не параллельны. Такая фигура именуется трапецией.

1 trapeciya

На рисунке трапеция выглядит следующим образом:

2 trapeciya

Параллельные стороны именуются основаниями трапеции, а другие две – это боковые стороны.

3 trapeciya

4 trapeciya

Обратите особое внимание на то, что одно из оснований всегда больше второго основания. Действительно, если бы основания имели одинаковую длину, то получился бы четырехуг-к, у которого две противоположные стороны и равны, и параллельны. Однако это уже один из признаков параллелограмма, а параллелограмм никак не может быть трапецией.

Иногда полезно представлять трапецию как усеченный треуг-к. Действительно, если в треугольнике провести линию, параллельную одной из сторон и пересекающую две остальные стороны, то она как бы «отсечет» верхушку этого треуг-ка, и получится трапеция. И наоборот, любую заданную трапецию можно достроить до треугольника:

5 trapeciya

Сумма всех 4 углов трапеции составляет, как и у любого четырехугольника, 360°.

 

Задание. Известно, что у трапеции АВСD АD||ВС, ∠А = 36°, ∠С = 117°. Найдите∠В и D.

6 trapeciya

Решение: АВ можно рассматривать как секущую параллельных прямых ВС и АD. Но тогда∠А и ∠В будут являться односторонними, а их сумма будет равна 180°. Отсюда можно найти ∠В:

7 trapeciya

Аналогично, рассматривая в качестве секущей СD, можно найти и ∠D, который вместе с∠С является односторонним:

8 trapeciya

 

Средняя линия трапеции

Если отметить середину каждой из боковых сторон трапеции, а потом соединить эти середины, то получится отрезок, именуемый средней линией трапеции.

9 trapeciya

Докажем важную теорему, связанную со средней линией:

10 trapeciya

Для этого изучим трапецию АВСD, у которой боковые стороны – это АВ и CD. Пусть М – середина АВ. Проведем через М прямую, параллельную основаниям, которая пересечет СD в точке N. По теореме Фалеса параллельные друг другу прямые АD, МN и ВС отсекут на прямой СD равные отрезки, то есть СN = ND. Но это означает, что N– середина CD, а тогда MN – средняя линия (согласно ее определению). Естественно, что в трапеции возможно построить только одну среднюю линию, а значит, средняя линия МN параллельна каждому из оснований.

 

Прямоугольная и равнобедренная трапеция

Существует два частных вида трапеции, обладающих особыми свойствами. Первый из них – это прямоугольная трапеция. Она отличается тем, что один из ее углов равен 90°.

11 trapeciya

Здесь∠А = 90°. Легко догадаться, что на самом деле если у трапеции хоть один угол составляет 90°, то найдется и ещё один угол, также равный 90°. В данном случае это ∠В. Сумма ∠A и ∠D должна составлять 180°, ведь они односторонние. Именно поэтому из условия

12 trapeciya

 

Задание. Основания прямоугольной трапеции имеют длину 10 и 15 см, а один из углов составляет 45°. Вычислите длину ее наименьшей боковой стороны?

13 trapeciya

Решение:

Пусть основания заданной трапеции – это отрезки АD и ВС, ∠А = 45°, ∠D = ∠C = 90°. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на АD:

14 trapeciya

Очевидно, что ВН||CD, ведь эти отрезки перпендикулярны одной прямой АD. Получается, что в четырехуг-ке НВСD противоположные стороны попарно параллельны, то есть он является параллелограммом. Отсюда вытекает равенство его сторон:

15 trapeciya

Нашли СD, но является ли этот отрезок именно меньшей боковой стороной трапеции? Для ответа на этот вопрос вернемся к ∆АВН. В нем АВ – это гипотенуза, а потому она заведомо больше катета ВН, то есть больше 5 см. Значит, именно CD – это меньшая боковая сторона.

Ответ: 5 см.

 

Ещё один особый вид трапеции – равнобедренная трапеция. Она отличается тем, что у неё длины боковых сторон одинаковы.

16 trapeciya

Равнобедренная трапеция обладает рядом интересных свойств. Начнем с того, что углы при каждом из ее оснований равны.

17 trapeciya

В итоге мы получили четырехуг-к АВСН, в котором АВ||CН, ВС||АН. Это значит, что он является параллелограммом, и тогда

18 trapeciya

Отсюда сразу же вытекает и второе свойство равнобедренной трапеции – у неё равные диагонали.

19 trapeciya

Доказывается этот факт с помощью первого признака равенства треуг-ков:

20 trapeciya

Действительно, треуг-ки ∆АВD и ∆АСD равны, ведь

21 trapeciya

Оказывается, есть признаки, которые позволяют определить, является ли трапеция равнобедренной. Сформулируем первый из них:

22 trapeciya

Для доказательства снова построим в трапеции АВСD такую прямую СН, что СН||АВ:

23 trapeciya

Тогда

24 trapeciya

Несколько сложнее доказать другую теорему:

25 trapeciya

Пусть в трапеции АВCD одинаковы диагонали ВD и АС. Для определенности будем считать, что большее основание – это АD. Опустим из точек В и С перпендикуляры ВЕ и СF на АD:

26 trapeciya

Ясно, что эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь они перпендикулярны третьей прямой. Тогда в ВСFЕ противоположные стороны параллельны, то есть эта фигура – параллелограмм. Отсюда вытекает, что

BE = CF

Далее рассмотрим ∆ВЕD и ∆АСF. Они оба являются прямоугольными, у них одинаковы гипотенузы (АС = ВD), а также и катеты ВЕ и СF. Значит, эти треуг-ки равны, следовательно,

27 trapeciya

 

Задание. Один из углов равнобедренной трапеции составляет 55°. Найдите все остальные углы этой трапеции.

28 trapeciya

Решение. Проще всего найти ∠D, ведь углы при основании равнобедренной трапеции одинаковы:

29 trapeciya

Заметим одно важное обстоятельство. Если достроить равнобедренную трапецию до треугольника, продолжив ее боковые стороны, то получится равнобедренный треуг-к:

30 trapeciya

Действительно, если АВСD – равнобедренная трапеция, то

∠А = ∠D

Пусть продолжения боковых сторон пересеклись в некоторой точке Е. Тогда в ∆АЕD два угла, ∠А и ∠D, окажутся равными, следовательно, ∆АЕD– равнобедренный.

 

Прямоугольник

Следующим особым четырехугольником является прямоугольник (иногда его сокращенно обозначают как прямоуг-к). Его отличительный признак заключается в том, что все его углы – прямые.

31 trapeciya

Продемонстрируем несколько прямоугольников:

32 trapeciya

Очевидно, что у прямоуг-ка противоположные стороны параллельны, ведь они перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, всякий прямоуг-к одновременно является параллелограммом и обладает всеми его свойствами. Стоит особо отметить, что обратное утверждение неверно – отнюдь не всякий параллелограмм является прямоугольником. Другими словами, прямоугольник – это частный случай параллелограмма, который отличается тем, что его углы составляют 90°.

33 trapeciya

Из этого вытекает два свойства прямоугольника:

  • его противоположные стороны равны;
  • точка пересечения его диагоналей является серединой этих самых диагоналей.

Однако есть ещё одно свойство, которое НЕ характерно для остальных параллелограммов.

Доказать это очень просто. Пусть есть прямоугольник АВCD:

34 trapeciya

Сравним ∆АВD и ∆АСD. Они являются прямоугольными, у них есть общий катет АD, а два других катете, АВ и СD, равны как противоположные стороны прямоугольника. Получается, что рассматриваемые треуг-ники равны, и поэтому равны и их гипотенузы, которые как раз и являются диагоналями прямоугольника.

Оказывается, верна и обратная теорема, которую называют признаком прямоугольника:

35 trapeciya

Действительно, пусть есть некоторый параллелограмм АВCD, у которого одинаковы диагонали АС и BD.

36 trapeciya

Противоположные стороны в одном параллелограмме одинаковы:

37 trapeciya

В итоге все углы АВСD оказываются прямыми, и эта фигура по определению оказывается прямоуг-ком.

 

Задание. В прямоуг-ке ABCD проведена биссектриса, которая делит сторону СD на отрезки СК и КD длиной 27 и 45 см соответственно. Найдите периметр АВCD.

38 trapeciya

Решение.Для нахождения периметра необходимо найти длины всех сторон.

Если АК – биссектриса, то

39 trapeciya

∆КАD является прямоугольным, и мы только что нашли один из его острых углов. Тогда можно найти и 2-ой угол:

40 trapeciya

Получается, что в ∆АКD два угла равны 45°, значит, он является равнобедренным, и

41 trapeciya

Мы нашли две смежные стороны прямоугольника, АD и СD. Две другие стороны будут им равны:

42 trapeciya

 

Ромб

Следующая особенная фигура – это ромб. Дадим определение ромба:

43 trapeciya

На рисунке видно, что ромб похож на параллелограмм, и это не случайно. Докажем, что любой ромб является частным случаем параллелограмма. Но прежде заметим, что обратное утверждение неверно – отнюдь не каждый параллелограмм является ромбом.

Для доказательства этого факта проведем диагональ ромба:

44 trapeciya

В результате получилось два треуг-ка: ∆АВС и ∆АСD. Можно заметить два факта. Во-первых, каждый из этих треуг-ков – равнобедренный, ведь стороны ромба равны. Тогда можно записать равенство углов:

45 trapeciya

Из равенства треуг-ков вытекает и равенство углов:

46 trapeciya

Тогда очевидно, что ∠А и ∠С также равны, ведь они состоят из двух равных углов:

47 trapeciya

В итоге получается, что в ромбе противоположные углы одинаковы. Зная, что все 4 угла в сумме дают 360°, легко найдем сумму каких-нибудь двух смежных углов:

48 trapeciya

Итак, сумма смежных углов в ромбе равна 180°. Но эти углы можно рассматривать как односторонние. Если их сумма равна 180°, то и соответствующие прямые (в частности, ВС и АD) параллельны. Аналогично доказывается и то, что АВ||CD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

49 trapeciya

Продолжим рассматривать построенный нами рисунок, но добавим в него ещё одну диагональ:

50 trapeciya

Во-первых, мы уже доказали следующее равенство

51 trapeciya

Из него вытекает, что диагональ АС является биссектрисой для∠А и ∠С. Аналогично и для диагонали ВD можно показать, что и она разбивает ∠В и ∠D пополам. Можно сформулировать следующее свойство ромба:

52 trapeciya

Далее рассмотрим ∆АВD. Он равнобедренный, а АО является биссектрисой, падающей на основание ВD. Но в равнобедренном треуг-ке такая биссектриса одновременно является высотой, то есть

53 trapeciya

Получается, что диагонали всякого ромба обязательно пересекаются под прямым углом.

54 trapeciya

 

Задание. Длина стороны ромба совпадает с длиной одной из его диагоналей. Определите углы этого ромба.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

55 trapeciya

Легко заметить, что∆АВС и ∆АСD будут равносторонними. Однако все углы равностороннего треуг-ка равны 60°:

56 trapeciya

Итак, два угла ромба будут равны 60°, а другие два 120°.

Ответ: 60°; 120°.

 

Квадрат

Последний особый случай четырехугольника – это квадрат. Эта фигура, которая сразу является и прямоугольником, и ромбом. Естественно, что любой квадрат одновременно является параллелограммом. Дадим определение квадрата:

57 trapeciya

Свойства квадрата – это совокупность свойств параллелограмма, ромба и прямоуг-ка.Это значит, что его диагонали:

  • равны;
  • пересекаются под углом 90°;
  • точка их пересечения – это середина диагоналей.

 

Задание. Середины сторон квадрата соединили отрезками. Докажите, что получившаяся фигура также является квадратом.

Решение. Требуется доказать, что фигура, показанная красным цветом, является квадратом:

58 trapeciya

Так как стороны квадрата одинаковы, то одинаковы и их половины:

59 trapeciya

Получается, что ∆АМН, ∆МВР, ∆РСК и ∆КНD – прямоугольные, причем у них равны все катеты. Это значит, что, с одной стороны, они являются равнобедренными треуг-ками, а с другой стороны, они равны друг другу. Мы уже знаем, что у равнобедренного прямоугольного треуг-ка углы при основании составляют по 45°, а из равенства треуг-ков вытекает, что

60 trapeciya

Получается, что у четырехуг-ка МРКН все стороны одинаковы, то есть он является ромбом. Осталось доказать, что все его углы прямые. Рассмотрим, например, ∠РМН. Он в сумме с ∠ВМР и ∠АМН дает 180°, что позволяет вычислить его:

61 trapeciya

Итак, все углы ромба МРКН прямые, значит, он является квадратом.

Мы видим, что есть множество видов четырехугольников, причем часто одна и та же фигура может относиться сразу к нескольким типам. Для наглядности покажем на одной картинке всю иерархию четырехугольников. Здесь на одном рисунке можно увидеть название всех видов четырехугольников, их форму, также главное свойство, по которым их и определяют:

62 trapeciya

 

Симметрия

В заключение рассмотрим также такое важное геометрическое понятие, как симметрия.

63 trapeciya

В случае, показанном на рисунке,А1 и А2 не лежат на b. Если же рассматривается точка, лежащая на b, то она считается симметричной самой себе. На рисунке пары точек А и B, C и D, M и N симметричны относительно b.Для точки же Р нельзя найти парную ей симметричную точку. Поэтому условно считается, что она симметрична сама себе.

64 trapeciya

Теперь перейдем к такому понятию, как симметричная фигура.

65 trapeciya

В качестве иллюстрации приведем равнобедренный треуг-к. У него роль оси симметрии играет медиана, проведенная к основанию. Выберем на треугольнике произвольные точки А1, В1, С1 и D1. Далее отметим симметричные им относительно b точки, которые обозначим как А2, В2, С2 и D2. Видно, что они также принадлежат треугольнику:

66 trapeciya

Рассмотрим для иллюстрации и какую-нибудь несимметричную фигуру, например, треугольник с 3 разными сторонами:

67 trapeciya

Видно, что например, для точка А1 симметричная ей А2 НЕ принадлежит треугольнику, поэтому красная линия НЕ является осью симметрии.

Осевая симметрия присуща и многим другим фигурам:

68 trapeciya

Обратите внимание, что осей симметрии фигуры может быть несколько. У ромба их две (это его диагонали), у квадрата уже четыре (помимо диагоналей добавляются ещё и линии, соединяющие середины его противоположных сторон), а у окружности их и вовсе бесконечно много, так как любой ее диаметр может играть эту роль.

Возможен ещё один случай симметрии:

69 trapeciya

На приведенном рисунке С – это середина АВ, поэтому А и В симметричны, а точка С для них является центром симметрии.

Снова перейдем от отдельных точек к фигурам.

70 trapeciya

В частности, центральная симметрия присуща параллелограмму (его центром симметрии будет точка, в которой пересекаются его диагонали), а также окружность. Есть центральная симметрия и у любой прямой, причем в качестве центра симметрии фигуры можно выбрать любую точку, принадлежащую этой прямой:

71 trapeciya

Симметрия – это не просто умозрительная геометрическая конструкция, она встречается и в реальной жизни. Например, листья многих деревьев обладают осевой симметрией, а зубчатое колесо – центральной симметрией. Интересно, что из 32 выделяемых в царстве животных типов у представителей 28 (это более 99% известных видов) можно выделить правую и левую половину, которые симметричны друг другу. Архитекторы и конструктора при проектировании зданий и машин стремятся придать им симметричную форму, так как в большинстве случаев именно такая форма оказывается оптимальной и экономичной.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
У какого из этих четырехугольников одна из пар противоположных сторон обязательно непараллельна?
1Ромб
2Квадрат
3Прямоугольник
4Трапеция
Ответить
4
Вопрос: 2
Какое свойство есть у равнобедренной трапеции?
1Диагонали делят ее углы пополам
2Углы при ее основании равны
3Ее средняя линия равна боковой стороне
4Ее диагонали перпендикулярны
Ответить
2
Вопрос: 3
Чему равен угол между диагоналями ромба?
190°
245°
360°
4100°
Ответить
1
Вопрос: 4
Найдите периметр прямоугольника, смежные стороны которого равны 5 и 6 см
111 см
230 см
322 см
420 см
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

У какого из этих четырехугольников одна из пар противоположных сторон обязательно непараллельна?
1) Ромб 2) Квадрат 3) Прямоугольник 4) Трапеция
2 вопрос:

Какое свойство есть у равнобедренной трапеции?
1) Диагонали делят ее углы пополам 2) Углы при ее основании равны 3) Ее средняя линия равна боковой стороне 4) Ее диагонали перпендикулярны
3 вопрос:

Чему равен угол между диагоналями ромба?
1) 90° 2) 45° 3) 60° 4) 100°
4 вопрос:

Найдите периметр прямоугольника, смежные стороны которого равны 5 и 6 см
1) 11 см 2) 30 см 3) 22 см 4) 20 см
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Трапеция
2 вопрос: Углы при ее основании равны
3 вопрос: 90°
4 вопрос: 22 см