Геометрия

Урок 5: Координаты в стереометрии

Координаты в стереометрии

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у. В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

План урока:

Прямоугольная система координат

Координаты вектора

Координаты середины отрезка

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Коллинеарность векторов

Определение компланарности векторов

Скалярное произведение векторов

 

Прямоугольная система координат

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.

В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

1 koordinaty v stereometrii

Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.

Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:

2 koordinaty v stereometrii

Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.

На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.

 

Координаты вектора

Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.

3 koordinaty v stereometrii

Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:

4 koordinaty v stereometrii

где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а{3; – 2; – 4}.

5 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Разложите на орты вектор

6 koordinaty v stereometrii

Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.

7 koordinaty v stereometrii

Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.

 

Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.

Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:

8 koordinaty v stereometrii

Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:

9 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а{3; 7; 5} и b{2; 4; 6}.

Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это ха, уа и zа. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:

10 koordinaty v stereometrii

Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:

11 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:

12 koordinaty v stereometrii

Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:

13 koordinaty v stereometrii

Получается, что вектор p имеет координаты {0; – 2; 3}.

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:

14 koordinaty v stereometrii

Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:

15 koordinaty v stereometrii

Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:

16 koordinaty v stereometrii

ч. т. д.

 

Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).

Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:

17 koordinaty v stereometrii

 

Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m{3; 2; 5}, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.

Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:

18 koordinaty v stereometrii

 

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

19 koordinaty v stereometrii

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

20 koordinaty v stereometrii

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

21 koordinaty v stereometrii

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

 

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

22 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

23 koordinaty v stereometrii

 

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами {x; у; z}. Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:

24 koordinaty v stereometrii

Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:

25 koordinaty v stereometrii

Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами {x; y; z} будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.

26 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Найдите длину вектора m{– 2; 9; 6}.

Решение. Просто используем формулу:

27 koordinaty v stereometrii

Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:

28 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).

Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:

29 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Найдите длину медианы KM в KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).

Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:

30 koordinaty v stereometrii

 

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

31 koordinaty v stereometrii

32 koordinaty v stereometrii

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

33 koordinaty v stereometrii

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть

34 koordinaty v stereometrii

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами {0; 0; 0}. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

 

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

35 koordinaty v stereometrii

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

36 koordinaty v stereometrii

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

37 koordinaty v stereometrii

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

38 koordinaty v stereometrii

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

 

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

39 koordinaty v stereometrii

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

40 koordinaty v stereometrii

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

 

Определение компланарности векторов

Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:

41 koordinaty v stereometrii

Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:

42 koordinaty v stereometrii

где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:

43 koordinaty v stereometrii

Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.

 

Задание. Определите, компланарны ли вектора

44 koordinaty v stereometrii

45 koordinaty v stereometrii

Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:

46 koordinaty v stereometrii

Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.

 

Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:

47 koordinaty v stereometrii

Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:

48 koordinaty v stereometrii

Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.

 

Скалярное произведение векторов

В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.

49 koordinaty v stereometrii

Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.

 

Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.

Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:

50 koordinaty v stereometrii

Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:

51 koordinaty v stereometrii

52 koordinaty v stereometrii

Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов а{xа; уа} и b{хb; yb} можно было рассчитать так:

53 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:

54 koordinaty v stereometrii

На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.

 

Задание. Вычислите угол между векторами:

55 koordinaty v stereometrii

Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:

56 koordinaty v stereometrii

 

Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).

Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:

57 koordinaty v stereometrii

Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:

58 koordinaty v stereometrii

Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:

59 koordinaty v stereometrii

60 koordinaty v stereometrii

 

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 ребра имеют длину:

AB = 1

BC = 2

BB1 = 2

Рассчитайте угол между векторами DB1 и BC1.

Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:

61 koordinaty v stereometrii

При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:

62 koordinaty v stereometrii

Находим коорд-ты векторов, а также их длины:

63 koordinaty v stereometrii

Рассчитываем скалярное произведение DB1 и BC1:

64 koordinaty v stereometrii

Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.

Ответ: 90°

 

Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Начало вектора находится в точке (2; 6; 5), а конец – в точке (3; 5; 10). Каковы координаты этого вектора?
1{5; 11; 15}
2{– 5; – 11; – 15}
3{– 1; 1; – 5}
4{1; – 1; 5}
Ответить
4
Вопрос: 2
Найдите сумму векторов {9; 3; 5} и {5; 4; 1}:
1{4; – 1; 4}
2{14; 7; 6}
3{– 4; 1; –4}
4{0; 6; 8}
Ответить
2
Вопрос: 3
Какова длина вектора {1; – 6; 18}?
119
218
313
4-108
Ответить
1
Вопрос: 4
Чему равно скалярное произведение векторов {5; 8; 3} и {2; 1; 4}:
128
229
330
431
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Начало вектора находится в точке (2; 6; 5), а конец – в точке (3; 5; 10). Каковы координаты этого вектора?
1) {5; 11; 15} 2) {– 5; – 11; – 15} 3) {– 1; 1; – 5} 4) {1; – 1; 5}
2 вопрос:

Найдите сумму векторов {9; 3; 5} и {5; 4; 1}:
1) {4; – 1; 4} 2) {14; 7; 6} 3) {– 4; 1; –4} 4) {0; 6; 8}
3 вопрос:

Какова длина вектора {1; – 6; 18}?
1) 19 2) 18 3) 13 4) -108
4 вопрос:

Чему равно скалярное произведение векторов {5; 8; 3} и {2; 1; 4}:
1) 28 2) 29 3) 30 4) 31
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: {1; – 1; 5}
2 вопрос: {14; 7; 6}
3 вопрос: 19
4 вопрос: 30