Геометрия

Урок 4: Вектора в пространстве

Вектора в пространстве

В пространстве, как и на плоскости, можно использовать вектора. Правила работы с ними похожи на уже известные нам действия с плоскими векторами.

План урока:

Понятие векторов в пространстве

Операции над векторами

Компланарные векторы

Разложение вектора на некомпланарные вектора

 

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

1 vektora v prostranstve

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

2 vektora v prostranstve

Здесь показаны сразу три вектора:

У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора Сточка С – это начало, а – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

3 vektora v prostranstve

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:

4 vektora v prostranstve

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

5 vektora v prostranstve

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

6 vektora v prostranstve

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:

7 vektora v prostranstve

Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

8 vektora v prostranstve

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны три его измерения:

9 vektora v prostranstve

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВCD:

10 vektora v prostranstve

 

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВСD. Точки M, N, P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

11 vektora v prostranstve

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC. Тогда эти вектора по определению равны:

12 vektora v prostranstve

Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN, MQ, PQ и NP – это средние линии в ABD, АВС, BCD и ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN||BD, PQ||BD, MQ||АС и NP||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN||PQ и MQ||NP. Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:

13 vektora v prostranstve

 

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b. Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b, его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой и b:

14 vektora v prostranstve

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

15 vektora v prostranstve

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

16 vektora v prostranstve

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:

17 vektora v prostranstve

Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:

18 vektora v prostranstve

помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b, надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b:

19 vektora v prostranstve

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k. В результате получается новый вектор b, причем

1) b и будут коллинеарными векторами;

2) будет в раз длиннее, чем вектор a.

Если k – положительное число, то вектора и будут сонаправленными. Если же k< 0, то и будут направлены противоположно.

Уточним, что если |k| < 1, то фактически b будет не длиннее, а короче вектора a. Наконец, если k = 0, то и будет иметь нулевую длину, то есть окажется нулевым вектором.

20 vektora v prostranstve

 

Задание. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

21 vektora v prostranstve

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А1Dзаменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем АDна вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D1C1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.

В задании в) удобно DA заменить на C1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.

В задании г) производим замену DDна равный ему вектор BB1. Тогда сумма DB и BB1– это вектор DB1.

В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC:

22 vektora v prostranstve

 

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D. Выразите вектор АВ через вектора:

23 vektora v prostranstve

Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:

24 vektora v prostranstve

Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

 

 

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:

26 vektora v prostranstve

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:

27 vektora v prostranstve

Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

28 vektora v prostranstve

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

29 vektora v prostranstve

Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

30 vektora v prostranstve

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

 

Задание. Упростите выражения:

31 vektora v prostranstve

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

32 vektora v prostranstve

 

 

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

33 vektora v prostranstve

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

34 vektora v prostranstve

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и ААнекомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

35 vektora v prostranstve

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

36 vektora v prostranstve

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что

37 vektora v prostranstve

Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:

38 vektora v prostranstve

Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

39 vektora v prostranstve

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

40 vektora v prostranstve

 

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

41 vektora v prostranstve

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

42 vektora v prostranstve

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).

Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

43 vektora v prostranstve

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:

44 vektora v prostranstve

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

45 vektora v prostranstve

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

 

Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

46 vektora v prostranstve

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.

47 vektora v prostranstve

В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BBи CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.

 

Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1Dзапишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

48 vektora v prostranstve

Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:

49 vektora v prostranstve

Теперь заметим, что вектора С1Dи ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:

50 vektora v prostranstve

 

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

51 vektora v prostranstve

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:

52 vektora v prostranstve

 

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

53 vektora v prostranstve

Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что

54 vektora v prostranstve

Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

55 vektora v prostranstve

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

 

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВС1В1С1Dплос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.

56 vektora v prostranstve

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что

57 vektora v prostranstve

Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

58 vektora v prostranstve

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Коллинеарные вектора – это вектора…
1отложенные от одной точки
2лежащие на скрещивающихся прямых
3лежащие на перпендикулярных прямых
4лежащие на одной прямой или параллельных прямых
Ответить
4
Вопрос: 2
Если сложить два противоположных вектора, то в сумме получится…
1единичный вектор
2нулевой вектор
3вектор, который вдвое длиннее исходных векторов
4вектор, который вдвое короче исходных векторов
Ответить
2
Вопрос: 3
Как называются вектора, лежащие в одной плоскости?
1компланарные
2коллинеарные
3подобные
4транзитивные
Ответить
1
Вопрос: 4
На сколько заранее заданных некомпланарных векторов разложить произвольный вектор в пространстве?
11
22
33
44
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Коллинеарные вектора – это вектора…
1) отложенные от одной точки 2) лежащие на скрещивающихся прямых 3) лежащие на перпендикулярных прямых 4) лежащие на одной прямой или параллельных прямых
2 вопрос:

Если сложить два противоположных вектора, то в сумме получится…
1) единичный вектор 2) нулевой вектор 3) вектор, который вдвое длиннее исходных векторов 4) вектор, который вдвое короче исходных векторов
3 вопрос:

Как называются вектора, лежащие в одной плоскости?
1) компланарные 2) коллинеарные 3) подобные 4) транзитивные
4 вопрос:

На сколько заранее заданных некомпланарных векторов разложить произвольный вектор в пространстве?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: лежащие на одной прямой или параллельных прямых
2 вопрос: нулевой вектор
3 вопрос: компланарные
4 вопрос: 3