Геометрия

Урок 5: Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов

В физике и других естественных науках вектора часто перемножают друг с другом. Делать это можно разными способами, но чаще всего используется скалярное произведение.

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

 

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

1 skalyarnoe proizvedenie

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между и b, надо отложить их от одной и той же точки:

2 skalyarnoe proizvedenie

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

3 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

4 skalyarnoe proizvedenie

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

5 skalyarnoe proizvedenie

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

6 skalyarnoe proizvedenie

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

7 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

 

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

8 skalyarnoe proizvedenie

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

9 skalyarnoe proizvedenie

Угол между и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

10 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

11 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

12 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: 8.

 

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

13 skalyarnoe proizvedenie

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

14 skalyarnoe proizvedenie

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

 

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

15 skalyarnoe proizvedenie

 

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

16 skalyarnoe proizvedenie

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

17 skalyarnoe proizvedenie

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

18 skalyarnoe proizvedenie

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

19 skalyarnoe proizvedenie

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

20 skalyarnoe proizvedenie

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

21 skalyarnoe proizvedenie

Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х21 – у2}. С учетом этого (2) примет вид

22 skalyarnoe proizvedenie

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

23 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

24 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

 

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

 

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

25 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

26 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

 

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

27 skalyarnoe proizvedenie

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

28 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

29 skalyarnoe proizvedenie

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

30 skalyarnoe proizvedenie

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

 

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

31 skalyarnoe proizvedenie

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

32 skalyarnoe proizvedenie

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

 

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

33 skalyarnoe proizvedenie

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

34 skalyarnoe proizvedenie

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

35 skalyarnoe proizvedenie

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

36 skalyarnoe proizvedenie

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

 

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

37 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

38 skalyarnoe proizvedenie

 

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

39 skalyarnoe proizvedenie

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

 

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

40 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

41 skalyarnoe proizvedenie

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

42 skalyarnoe proizvedenie

 

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

43 skalyarnoe proizvedenie

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

44 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

45 skalyarnoe proizvedenie

 

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

46 skalyarnoe proizvedenie

 

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

47 skalyarnoe proizvedenie

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

48 skalyarnoe proizvedenie

 

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Какой угол в квадрате АВСD образуют вектора АВ и АС?
190°
2
3180°
445°
Ответить
4
Вопрос: 2
Угол между векторами составляет 60°, а их длины равны 5 и 8. Каково их скалярное произведение?
110
220
340
413
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите скалярное произведение векторов {8; 3} и {5; 1}
143
229
323
466
Ответить
1
Вопрос: 4
Что можно сказать о скалярном произведении векторов, которые перпендикулярны друг другу?
1Оно положительно
2Оно отрицательно
3Оно равно нулю
4Оно равно единице
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Какой угол в квадрате АВСD образуют вектора АВ и АС?
1) 90° 2) 3) 180° 4) 45°
2 вопрос:

Угол между векторами составляет 60°, а их длины равны 5 и 8. Каково их скалярное произведение?
1) 10 2) 20 3) 40 4) 13
3 вопрос:

Вычислите скалярное произведение векторов {8; 3} и {5; 1}
1) 43 2) 29 3) 23 4) 66
4 вопрос:

Что можно сказать о скалярном произведении векторов, которые перпендикулярны друг другу?
1) Оно положительно 2) Оно отрицательно 3) Оно равно нулю 4) Оно равно единице
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 45°
2 вопрос: 20
3 вопрос: 43
4 вопрос: Оно равно нулю