Геометрия

Урок 1: Метод координат

Метод координат

Из курса алгебры мы уже знаем, что на плоскости можно задать координатные оси, и тогда для каждой точки можно будет указать ее координаты. Используя эти координаты, можно свести решение многих геометрических задач к работе с чисто алгебраическими уравнениями.

План урока:

Разложение векторов

Координаты векторов

Сложение и вычитание векторов

Признак коллинеарности векторов

 

Разложение векторов

Заметим, что если два вектора и коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

1 metod koordinat

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что длиннее в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

2 metod koordinat

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

3 metod koordinat

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

4 metod koordinat

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

5 metod koordinat

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

6 metod koordinat

Здесь вектора р, а и не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

7 metod koordinat

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

8 metod koordinat

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить на а и b:

9 metod koordinat

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

10 metod koordinat

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

11 metod koordinat

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

12 metod koordinat

Ясно, что вектора АВ и коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

13 metod koordinat

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

14 metod koordinat

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

15 metod koordinat

Понятно, что числа и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

 

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

16 metod koordinat

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

17 metod koordinat

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

18 metod koordinat

Вектор d можно представить в виде суммы:

19 metod koordinat

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

20 metod koordinat

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

21 metod koordinat

 

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

22 metod koordinat

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

23 metod koordinat

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

24 metod koordinat

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

25 metod koordinat

Нам надо разложить а по векторам и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

26 metod koordinat

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

27 metod koordinat

Можно записать равенство:

28 metod koordinat

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

29 metod koordinat

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

30 metod koordinat

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

31 metod koordinat

 

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

32 metod koordinat

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

33 metod koordinat

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

34 metod koordinat

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты {1; – 3}.

Выполним построение и для с:

35 metod koordinat

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют {3,5; 0}.

Осталось рассмотреть d:

36 metod koordinat

Здесь координаты вектора будут равны {– 2,5; – 2,5}, так как такие же координаты имеет точка D.

Ответ: а{4;3}; b{1; – 3}; с{3,5; 0}; d{– 2,5; – 2,5}.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

 

Задание. Даны координаты вектора:

37 metod koordinat

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

38 metod koordinat

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

39 metod koordinat

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

40 metod koordinat

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

41 metod koordinat

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

 

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a{x1; у1} и b{x2; у2}. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

42 metod koordinat

Эта запись означает, что с имеет координаты {х1 + х2; у1 + у2}. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

43 metod koordinat

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а {2; 3} и {4; 5}. Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с {х; у}. Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов и b:

x = 2 + 4 = 6

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

y = 3 + 5 = 8

В итоге получился вектор с {6; 8}.

 

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

44 metod koordinat

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

45 metod koordinat

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a{x1; у1} и b{x2; у2}. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

46 metod koordinat

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

47 metod koordinat

Например, пусть надо вычесть из вектора а{5; 3} вектор b{2;1}. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

x = 5 - 2 = 3

Аналогично вычисляем и координату у:

y = 3 - 1 = 2

В итоге получили вектор с координатами {3; 2}.

 

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

48 metod koordinat

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

49 metod koordinat

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х1и у1 можно разложить на орты следующим образом:

50 metod koordinat

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

51 metod koordinat

Например, есть вектор а{3; 7}, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

x = 5*3 = 15

y = 5*7 = 35

В результате получился вектор {15; 35}.

 

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

52 metod koordinat

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

53 metod koordinat

 

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что 

54 metod koordinat

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

x1 = k * x2

y1 = k * y2

Если числа х2 и у2 не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

55 metod koordinat

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

56 metod koordinat

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты {8; 5}, а у вектора b они равны {24; 15}. Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

24:8 = 3

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

15:5 = 3

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

57 metod koordinat

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

58 metod koordinat

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты {0; у1}, причем у1≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты {x2; у2} составят:

59 metod koordinat

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты уи умогут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

y2 = ky1

Например, есть вектор {0; 5}. Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

60 metod koordinat

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору {0; 5}. В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

61 metod koordinat

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

62 metod koordinat

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

 

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

63 metod koordinat

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

64 metod koordinat

65 metod koordinat

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

е) {0; 5} и {0; 12}

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

ж) {0; 3} и {2; 6}

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

з) {9; 0} и {4; 0}

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

и) {0; 3} и {12; 0}

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

к) {0; 0} и {5; 8}

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Разложите на единичные вектора вектор a{5; – 3}
1а = – 3i + 5j
2а = 3i + 5j
3а = 5i + 3j
4а = 5i– 3j
Ответить
4
Вопрос: 2
Сложите вектора {2;9} и {3; 4}
1{13;5}
2{5;13}
3{1;– 5}
4{6;36}
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычтите из вектора {17; 15} вектор {9; 4}
1{8; 11}
2{26; 19}
3{21; 24}
4{8; 19}
Ответить
1
Вопрос: 4
Умножьте вектор {– 6; 4} на число 5
1{– 6; 20}
2{– 30; 4}
3{– 30; 20}
4{20; – 30}
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Разложите на единичные вектора вектор a{5; – 3}
1) а = – 3i + 5j 2) а = 3i + 5j 3) а = 5i + 3j 4) а = 5i– 3j
2 вопрос:

Сложите вектора {2;9} и {3; 4}
1) {13;5} 2) {5;13} 3) {1;– 5} 4) {6;36}
3 вопрос:

Вычтите из вектора {17; 15} вектор {9; 4}
1) {8; 11} 2) {26; 19} 3) {21; 24} 4) {8; 19}
4 вопрос:

Умножьте вектор {– 6; 4} на число 5
1) {– 6; 20} 2) {– 30; 4} 3) {– 30; 20} 4) {20; – 30}
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: а = 5i– 3j
2 вопрос: {5;13}
3 вопрос: {8; 11}
4 вопрос: {– 30; 20}