Геометрия

Урок 6: Цилиндр и конус

Цилиндр и конус

Существуют объемные фигуры, не являющиеся многогранниками. Простейшими из них являются цилиндр и конус.

План урока:

Понятие цилиндра

Понятие конуса

Усеченный конус

 

Понятие цилиндра

Построим на некоторой плоскости α окружность L, центр которой находится в точке О, а ее радиус обозначим как r. Далее через каждую точку этой окруж-ти проведем прямую, которая будет перпендикулярна к α. Все вместе эти прямые образуют поверхность, которую принято называть цилиндрической поверхностью (может использоваться сокращение поверх-ть). Введем несколько понятий:

  • Окружность, построенная в плос-ти α, именуется основанием цилиндрической поверх-ти;
  • Каждая прямая, проходящая через эту окруж-ть L и перпендикулярная α – это образующая цилиндрической поверх-ти;
  • Прямая, проходящая через точку О и также перпендикулярная α, именуется осью цилиндрической поверх-ти.

1 cilindr i konus

Примечание. Заметьте, что в стереометрии при изображении окружности на плос-ти она выглядит как эллипс (овал).

Заметим, что так как все образующие и ось цилиндрической поверх-ти перпендикулярны одной и той же плос-ти α, то они будут параллельны друг другу.

Далее проведем плос-ть β, параллельную α. Так как образующие и ось пересекали α, то они должны пересекать и β. В результате они образуют в плос-ти β какую-то плоскую линию L1. Докажем, что L1 – это также окружность.

Действительно, пусть ось цилиндрической поверх-ти пересекает плос-ти α и β в точках О и О1 соответственно. Произвольная образующая пересекает эти же плос-ти в точках А и А1:

2 cilindr i konus

Так как ОО1||АА1, то ОО1А1А – это плоский четырехугольник. ОО1⊥α и ОО1⊥β, поэтому углы ∠АОО1 и ∠А1О1О – прямые. АА1⊥α и АА1⊥β, поэтому прямыми будут и углы ∠ОАА1 и ∠О1А1А. Получается, что ОО1А1А – это прямоугольник, и поэтому отрезки ОА и О1А1 одинаковы:

3 cilindr i konus

Итак, точка А1 находится на расстоянии r от О1. Аналогично и для любой другой точки на линии L1 можно показать, что она находится на расстоянии r от О1. То есть все точки L1 равноудалены от О1, и поэтому L1 – это окруж-ть с центром в точке О1, ч. т. д.

Обратите внимание, что окруж-ти L и L1 имеют одинаковые радиусы, то есть это одинаковые окруж-ти.

Объемная фигура, образованная окруж-тями L и L1, именуется цилиндром. Рассмотрим его основные элементы:

  • круги L1 и L – это основания цилиндра;
  • отрезок ОО1 – ось цилиндра;
  • отрезки образующих, заключенные между основаниями, именуются образующими цилиндра;
  • часть цилиндрической поверх-ти, заключенную между основаниями цилиндра, именуют боковой поверхностью цилиндра.

4 cilindr i konus

Напомним, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плос-тями, имеют одинаковую длину. Отсюда вытекает тот факт, что образующие цилиндра одинаковы.

5 cilindr i konus

Введем ещё два термина:

  • длина образующей именуется высотой цилиндра;
  • радиус оснований цилиндра именуется радиусом цилиндра.

Отметим, что на самом деле мы рассмотрели только частный случай цилиндра – так называемый прямой круговой цилиндр. Его основания – это круги (поэтому он именуется круговым), а его образующие образуют с основаниями прямой угол(поэтому он именуется прямым). Можно построить наклонный цилиндр (его также называют косым), у которого образующие не перпендикулярны основанию. Также существуют и цилиндры, у которых основаниями являются не окруж-ти, а другие фигуры, например параболы:

6 cilindr i konus

В принципе любую призму (а значит и любой параллелепипед) можно считать цилиндром. Однако в дальнейшем в курсе школьной стереометрии под цилиндром будет подразумеваться исключительно прямой круговой цилиндр, если специально не оговорено иное.

В реальной жизни очень многие предметы имеют форму цилиндра. Колонны в зданиях, ножки стульев, бочки, рулоны бумаги представляют собой цилиндры. Даже дерево можно условно считать цилиндром.

7 cilindr i konus

Рассмотрим сечение цилиндра плос-тью, перпендикулярной его основаниям.

8 cilindr i konus

Пусть сечение пересекает нижнее основание цилиндра в точках А1 и В1. Тогда перпендикуляры к основанию, проходящие через эти точки, будут принадлежать этому сечению. Но эти перпендикуляры – одновременно и образующие цилиндра А1А и В1В. Значит, сечение проходит и через точки А и В. Раз АА1 и ВВ1 – перпендикуляры к обоим основаниям цилиндра, то

9 cilindr i konus

Итак, в четырехугольнике АВВ1А1 все углы прямые, то есть он представляет собой прямоугольник. Более того, можно утверждать, что любое сечение, проходящее через образующую цилиндра, будет прямоугольником, ведь такое сечение будет перпендикулярно основаниям, так как оно содержит перпендикуляр к ним. Сечение, проходящее через цилиндрическую ось, именуется осевым сечением. Оно также имеет форму прямоугольника.

Далее рассмотрим сечение цилиндра плос-тью, параллельной основаниям:

10 cilindr i konus

Пусть секущей будет плос-ть γ, а нижнее основание располагается в плос-ти α. Тогда по определению фигура, «зажатая» между этими двумя плос-тями – это цилиндр, а потому сечение должно иметь форму круга. Получается, что сечение γ разбивает цилиндр на два цилиндра.

Рассмотрим боковую поверх-ть цилиндра. Она представляет собой замкнутую поверхность. Если ее условно «разрезать» по образующей цилиндра и развернуть, то получится прямоугольник:

11 cilindr i konus

Длина одной стороны такого прямоугольника (он называется разверткой боковой поверх-ти цилиндра) – это длина образующей цилиндра, то есть его высота. Длина второй стороны совпадает с длиной окруж-ти, лежащей в основании цилиндра. Если радиус цилиндра обозначен как r, то длина этой окруж-ти составляет 2πr. Тогда площадь боковой поверх-ти можно рассчитать как площадь прямоугольника:

12 cilindr i konus

Площадь полной поверх-ти цилиндра – это сумма площадей его оснований и его боковой поверх-ти. Так как площадь круга рассчитывается по формуле

13 cilindr i konus

Рассмотрим ещё несколько важных понятий. В цилиндр может быть вписана прямая призма. В таком случае основания призмы находятся в тех же плос-тях, что и основания цилиндра, а её боковые грани – это образующие цилиндра.

14 cilindr i konus

Если плос-ть содержит образующую цилиндра, но не пересекает его основания, то такая плос-ть именуется касательной к цилиндру. Можно сказать, что касательная плос-ть – это такая плос-ть, которая имеет ровно по одной общей точке с каждым основанием цилиндром.

15 cilindr i konus

Если каждая боковая грань призмы – это касательная к цилиндру, а основания призмы находятся в тех же плос-тях, что и основания цилиндра, то говорят, что цилиндр вписан в призму.

16 cilindr i konus

Естественно, что если цилиндр вписан в призму, то его основания оказываются вписанными в те многоугольники, которые являются основаниями призмы. Если же призма вписана в цилиндр, то основания цилиндра – это уже окруж-ти, описанные около этих многоугольников.

Рассмотрим несколько задач, в которых фигурируют цилиндры.

 

Задание. Найдите боковую и полную площади цилиндра, если его радиус составляет 2 м, а высота – 3 м.

17 cilindr i konus

 

Задание. Какова длина диагонали осевого сечения цилиндра, с высотой 4 м и радиусом 1,5 м?

18 cilindr i konus

Решение. Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, обозначим его как АВСD. Сторона АВ – это высота цилиндра, а AD – это диаметр нижнего основания, ведь AD проходит через центр окруж-ти О. Тогда длина AD вдвое больше радиуса цилиндра:

19 cilindr i konus

 

Задание. Осевое сечение цилиндра – это квадрат, площадь которого обозначена буквой Q. Какова площадь основания цилиндра?

Решение. Обозначим сторону сечения-квадрата буквой а. Зная площадь сечения, легко найдем и сторону:

 

Задание. Высота цилиндра составляет 8 см, а его радиус – 5 см. Через его образующую проведено сечение, которое имеет форму квадрата. Каково расстояние между этим сечением и осью цилиндра?

Решение. Обозначим сечение как АВСD. Так как и это сечение, и ось цилиндра перпендикулярны основаниям цилиндра, то они должны быть параллельны друг другу. Расстояние между ними – это длина перпендикуляра О1К, опущенного из центра основания на сторону ВС:

21 cilindr i konus

Отрезок АВ имеет длину 8 см, ведь это высота цилиндра. Так как АВСD – квадрат, то и ВС имеет такую же длину. ВС – это хорда в окруж-ти с центром в точке О1. Напомним, что перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окруж-ти, делит ее пополам, поэтому

22 cilindr i konus

 

Задание. Диаметр цилиндра равен его высоте. На верхнем основании, центр которого находится в точке О, отмечены точки А и В так, что ∠АОВ составляет 60°. Отрезок АА1 – образующая цилиндра. Найдите тангенс угла ∠ВА1А.

23 cilindr i konus

Решение. Рассмотрим ∆АОВ. Он равнобедренный, ведь радиусы АО и ОВ одинаковы. Но если в равнобедренном треугольнике один из углов составляет 60°, то и все углы будут также будут по 60°, то есть это равносторонний треугольник. Тогда, если радиус цилиндра обозначен как r, то

24 cilindr i konus

 

Понятие конуса

Построим на плос-ти α окруж-ть L с центром в точке О. Далее через О проведем перпендикуляр к α и отметим на нем точку Р. Если мы отрезками соединим точку Р с каждой точкой окруж-ти L, то получим поверх-ть, которая именуется конической поверхностью. При этом:

  • прямая ОР – это ось конической поверх-ти;
  • прямые, соединяющие Р с точками на окруж-ти L, именуются образующими конической поверх-ти;
  • сама точка Р – это вершина конической поверх-ти.

Объемное тело, ограниченное окруж-тью L и конической поверх-тью, именуется конусом. Соответственно вершина конической поверх-ти, её ось и образующие будут одновременно являться вершиной, осью и образующими конуса. Окруж-ть L – это основание конуса.

25 cilindr i konus

Ещё несколько терминов:

  • коническая поверх-ть конуса именуется его боковой поверх-тью;
  • если же к этой площади прибавить ещё и площадь основания, то в итоге получится полная площадь конуса;
  • отрезок ОР – это не только ось конуса, но и высота конуса.

Как и в случае с цилиндром, мы в данном случае рассматриваем особый случай конуса – прямой круговой конус. В более общем случае ось конуса может не быть перпендикуляром к плос-ти основания (так называемый косой конус). Также в его основании может находиться не окруж-ть, а другая плоская фигура.

26 cilindr i konus

В общем случае любая пирамида может рассматриваться как частный случай конуса. Однако в рамках школьного курса под конусом подразумевается исключительно прямой круговой конус, если только не обговорено иное.

Докажем важное утверждение:

27 cilindr i konus

Действительно, рассмотрим две произвольные образующие РА и РВ у конуса с вершиной Р, у которой О – центр основания:

28 cilindr i konus

Так как ось ОР перпендикулярна основанию, то ∆РОА и ∆РОВ – прямоугольные. У них общий катет РО, а катеты АО и ОВ одинаковы как радиусы окруж-ти. Тогда ∆РОА и ∆РОВ равны, поэтому одинаковы и образующие РА и РВ, ч. т. д.

Заметим, что конус получается при вращении прямоугольного треуг-ка вокруг его катета. Так, на следующем рисунке конус получается при вращении ∆РОА с прямым углом О относительно катета РО:

29 cilindr i konus

Если сечение конуса проходит через его ось, то оно именуется осевым сечением. Ясно, что это сечение будет являться треуг-ком, причем две его стороны – это образующие конуса, а третья сторона диаметр основания. Образующие конуса одинаковы, поэтому осевое сечение будет равнобедренным треуг-ком.

30 cilindr i konus

Теперь рассмотрим сечение, параллельное плос-ти основания. Пусть оно пересекает ось РО в какой-то точке О1. Также пусть А1 – точка пересечения образующей АР исходного конуса с секущей плос-тью α:

31 cilindr i konus

Заметим, что раз ось РО перпендикулярна основанию, то она также будет перпендикулярна и секущей плос-ти, ведь основание и плос-ть α параллельны. Тогда ∠РО1А1 будет прямым.

Теперь рассмотрим ∠РОА и ∠РО1А1. Они прямоугольные и у них есть общие угол ∠АРО. Значит, это подобные треуг-ки. Обозначим радиус ОА как r, а длину А1О1 как r1. Тогда из подобия получаем:

32 cilindr i konus

Рассмотрим теперь другую образующую ВР, которая пересекает секущую плос-ть в точке В1. Отрезки АО и ОВ одинаковы. Повторяя предыдущие рассуждения, легко доказать подобие ∆РОВ и ∆РО1В1, откуда можно вычислить длину О1В1:

33 cilindr i konus

Получили, что точки А1и В1 находятся на одинаковом расстоянии r1 от точки О1. Мы выбрали точки А и В произвольно, поэтому для любых двух точек, принадлежащих сечению конуса, можно утверждать, что они равноудалены от точки О1. Это значит, что все точки сечения лежат на окруж-ти с центром в точке О1 и радиусом r1, то есть сечение имеет форму окруж-ти.

Как определить площадь боковой поверхности конуса? Для этого ее надо «разрезать» вдоль одной из образующих и развернуть на плос-ти. В результате получится круговой сектор.

34 cilindr i konus

Напомним, что площадь сектора может быть рассчитана по формуле

35 cilindr i konus

Теперь обозначим длину образующей буквой l, а радиус основания конуса как r. Тогда

36 cilindr i konus

Для вычисления полной площади конуса к боковой поверх-ти необходимо добавить ещё и площадь основания:

37 cilindr i konus

 

Усеченный конус

Ранее мы уже изучали сечение конуса плос-тью, параллельной его основанию. Такое сечение разбивает конус на две фигуры. Одна из них – это конус меньших размеров, а вторая именуется усеченным конусом:

38 cilindr i konus

Введем несколько понятий и отметим очевидные факты:

  • боковая поверхность усеченного конуса – это коническая поверх-ть;
  • у усеченного конуса есть два основания, имеющих форму окруж-ти;
  • те отрезки образующих конической поверх-ти, которые заключены между основаниями усеченного конуса, именуются образующими усеченного конуса;
  • отрезок, соединяющий центры оснований, именуется высотой усеченного конуса, или его осью.

39 cilindr i konus

В предыдущем параграфе мы уже выяснили, что радиусы оснований усеченного конуса связаны с высотами исходного конуса и того конуса, который получается при проведении секущей плос-ти:

40 cilindr i konus

Заметим, что любые две образующие усеченного конуса одинаковы. Действительно, пусть усеченный конус с образующими АА1 и ВВ1 получен их исходного конуса с образующими АР и ВР:

41 cilindr i konus

42 cilindr i konus

Заметим, что осевое сечение усеченного конуса – это равнобедренная трапеция:

43 cilindr i konus

Действительно, построим осевое сечение исходного конуса, которое пройдет через образующие РА и РВ. Пусть эти образующие пересекают плос-ть верхнего основания усеченного конуса в точках А1 и В1 соответственно. Тогда АА1В1В будет осевым сечением усеченного конуса. Точки А, А1, В1 и В располагаются в одной плос-ти РАВ, то есть АА1В1В – плоский четырехугольник. Его стороны АВ и А1В1 не могут пересекаться, ведь они принадлежат параллельным основаниям, поэтому АВ||А1В1. Стороны АА1 и ВВ1 одинаковы как образующие, при этом прямые АА1 и ВВ1 непараллельны, ведь они пересекаются в точке Р. В итоге получается, что АА1В1В – равнобедренная трапеция. Отдельно отметим, что ось ОО1 делит эту равнобедренную трапецию на две прямоугольных трапеции.

Теперь выведем формулы для рассчета площади боковой поверх-ти усеченного конуса. Ясно, что развертка усеченного конуса – это часть развертки поверх-ти исходного конуса:

44 cilindr i konus

Нам надо найти площадь фигуры АА1А1’А’ (показана желтым цветом). Ее можно найти как разность площадей секторов РАА’и РА1А1’. Но эти площади можно вычислить по формуле боковых поверх-тей конусов:

45 cilindr i konus

Обозначим длину образующей АА1 как l. Далее выразим А1P через r, r1 и l. ∆АОР и ∆РА1О1 подобны, поэтому можно записать:

46 cilindr i konus

Подставляем полученное выражение в (1) и получаем:

47 cilindr i konus

Чтобы посчитать полную площадь поверх-ти усеченного конуса, необходимо к боковой поверх-ти добавить площади верхнего и нижнего основания:

48 cilindr i konus

Рассмотрим несколько задач про конусы.

 

Задание. Высота конуса составляет 15 см, а его радиус – 8 см. Вычислите длину его образующей.

Решение. Обозначим вершину конуса буквой Р, буквой О – центр основания, а буквой А – произвольную точку на окруж-ти. Тогда высотой конуса будет отрезок ОР, радиусом – отрезок ОА, а образующей окажется отрезок АР:

49 cilindr i konus

Высота ОР перпендикулярна плос-ти основания, поэтому ∠РОА – прямой, а ∆РОА – прямоугольный. Тогда АР можно найти по теореме Пифагора:

50 cilindr i konus

 

Задание. Угол между образующей конуса и плос-тью основания составляет 30°, а длина образующей – 12 см. Какова площадь основания конуса?

Решение. Обозначим образующую как АР, а высоту конуса как ОР. Тогда радиус ОА будет проекцией АР на плос-ть основания, то именно ∠РАО будет составлять 30°:

51 cilindr i konus

Для вычисления площади основания надо найти радиус АО. Это можно сделать через прямоугольный ∆РОА:

52 cilindr i konus

 

Задание. Осевое сечение конуса имеет площадь 6, а площадь основания равна 8. Вычислите его высоту.

Решение. Пусть осевым сечением будет ∆РАВ, а РО – искомая высота:

53 cilindr i konus

Зная площадь основания, легко найдем радиус конуса ОА, а потом и диаметр АВ:

54 cilindr i konus

Так как РО – высота для ∆РАВ, то площадь этого треуг-ка может быть рассчитана так:

55 cilindr i konus

 

Задание. Найдите площадь боковой и полной поверх-ти конуса, если образующая имеет длину 8, а радиус основания составляет 5.

56 cilindr i konus

Решение. В этой задаче надо просто применить формулу для вычисления площадей:

57 cilindr i konus

 

Задание. Дан конус. Развертка его конической поверх-ти – это сектор, чья дуга составляет 60°. Р – вершина конуса, а РAB – осевое сечение. Вычислите ∠АРВ.

58 cilindr i konus

Решение. Длину образующих РА и РВ обозначим как L. Сначала находим длину дуги АА’:

59 cilindr i konus

Теперь искомый нами ∠АРВ можно найти с помощью теоремы косинусов, записанной для ∆АРВ:

60 cilindr i konus

 

Задание. Найдите длину образующей усеченного конуса, если радиусы его оснований составляют 6 см и 3 см, а его высота – 4 см.

Решение. Обозначим искомую образующую как АВ, а буквами О и О1 обозначим центры нижнего и верхнего оснований соответственно:

61 cilindr i konus

При изучении осевого сечения усеченного конуса мы уже выяснили, что АВО1О – прямоугольная трапеция. Опустим в ней высоту ВН, которая будет иметь ту же длину, что и высота конуса ОО1:

62 cilindr i konus

Ответ: 5 см.

 

Задание. Радиусы оснований усеченного конуса обозначены буквами R и r (R > r). Образующая конуса образует с нижним основанием угол 45°. Составьте формулу, по которой можно найти площадь осевого сечения этого конуса.

Решение. Осевым сечением будет равнобедренная трапеция А1АВВ1:

63 cilindr i konus

Проведем высоту А1Н. Вычислим АН:

64 cilindr i konus

Теперь площадь трапеции А1АВВ1 можно посчитать по формуле:

65 cilindr i konus

 

Задание. Основания усеченного конуса – окружности с радиусами 6 и 7 см. Длина образующей – 5 см. Вычислите площадь его боковой и полной поверх-ти.

Решение. Здесь надо просто подставить данные из условия в формулы для вычисления площадей:

66 cilindr i konus

Ответ: 65π см2, 150π см2.

Сегодня мы узнали две новые объемные фигуры – цилиндр и конус. Эти фигуры иногда называют телами вращения, ведь они получаются вращением плоских фигур вокруг одной из их сторон. Важно помнить, что у всех тел вращения есть такие элементы, как основание (иногда не одно), ось и образующие.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом 20 см и высотой 30 см:
1100π см2
250π см2
3600 π см2
41200π см2
Ответить
4
Вопрос: 2
Вычислите длину образующей конуса с высотой 8 см и радиусом основания 6 см:
19 см
210 см
312 см
414 см
Ответить
2
Вопрос: 3
Укажите форму развертки боковой поверхности конуса:
1Сектор
2Прямоугольник
3Равносторонний треугольник
4Цилиндр
Ответить
1
Вопрос: 4
Какова форма сечения конуса, если ось конуса принадлежит этому сечению?
1Равнобедренный треугольник
2Прямоугольный треугольник
3Равнобедренная трапеция
4Прямоугольник
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом 20 см и высотой 30 см:
1) 100π см2 2) 50π см2 3) 600 π см2 4) 1200π см2
2 вопрос:

Вычислите длину образующей конуса с высотой 8 см и радиусом основания 6 см:
1) 9 см 2) 10 см 3) 12 см 4) 14 см
3 вопрос:

Укажите форму развертки боковой поверхности конуса:
1) Сектор 2) Прямоугольник 3) Равносторонний треугольник 4) Цилиндр
4 вопрос:

Какова форма сечения конуса, если ось конуса принадлежит этому сечению?
1) Равнобедренный треугольник 2) Прямоугольный треугольник 3) Равнобедренная трапеция 4) Прямоугольник
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 1200π см2
2 вопрос: 10 см
3 вопрос: Сектор
4 вопрос: Равнобедренная трапеция