План урока:

Иррациональные уравнения

Простейшие иррациональные уравнения

Уравнения с двумя квадратными корнями

Введение новых переменных

Замена иррационального уравнения системой

Уравнения с «вложенными» радикалами

Иррациональные неравенства

 

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

 

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

 

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

x– 5 = 6²

х = 36 + 5

х = 41

Ответ: 41.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

х – 5 = (– 6)³

х = – 216 + 5

х = – 211

Ответ: – 211.

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

 

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х² – 14х = 2⁵

х² – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b²– 4ac = (– 14)² – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

х₁ = (14 – 18)/2 = – 2

х₂ = (14 + 18)/2 = 16

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Ответ: (– 2); 16.

 

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = (х – 4)²

х – 2 = х² – 8х + 16

х² – 9х + 18 = 0

D = b²– 4ac = (– 9)² – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

х₁ = (9 – 3)/2 = 3

х₂ = (9 + 3)/2 = 6

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3     х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6     6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Ответ: 6.

 

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х² + 6х – 25 = (1 – х)³

3х² + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х² – х³

х³ + 9х – 26 = 0

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

2³ + 9•2 – 26 = 0

8 + 18 – 26 = 0

0 = 0

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х³ + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2   1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Ответ: 2.

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

 

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Поделим на 4:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4)² = 13 – 3х

4х² – 16х + 16 = 13 – 3х

4х² – 13х + 3 = 0    

D = b²– 4ac = (– 13)² – 4•4•3 = 169 –48 = 121

х₁ = (13 – 11)/8 = 0,25

х₂ = (13 + 11)/8 = 3

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Ответ: 3

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х^1/2 – 10х^1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x^1/4. Тогда х^1/2 = (х^1/4)² = t². Исходное ур-ние примет вид

t²– 10t + 9 = 0

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b²– 4ac = (– 10)² – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

t₁ = (10 – 8)/2 = 1

t₂ = (10 + 8)/2 = 9

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х^1/4 = 1 или х^1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х^1/4)⁴ = 1⁴ или (х^1/4)⁴ = 3⁴

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

 

Пример. Решите ур-ние

х^1/3 + 5х^1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x^1/6, тогда х^1/3 = (х^1/6)² = t². Исходное ур-ние примет вид:

t² + 5t – 24 = 0

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b²– 4ac = 5² – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

t₁ = (– 5 – 11)/2 = – 8

t₂ = (– 5 + 11)/2 = 3

Далее проводим обратную заменуx^1/6 = t:

х^1/6 = – 8 или х^1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3⁶ = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Ответ: 729.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

 

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

u + v = 5 (3)

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

х + 6 = u³ (4)

11 – х = v² (5)

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u³ + v²

17 = u³ + v² (6)

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u³ + v² (6)

17 = u³ + (5 – u)²

17 = u³ + u²– 10u + 25

u³ + u² – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

u₁ = 1; u₂ = 2; u₃ = – 4

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = u³ (5)

x + 6 = 1³ или х + 6 = 2³ или х + 6 = (– 4)³

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Ответ: (– 5); 2; (– 70).

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х² + 40 = (х + 4)²

х² + 40 = х² + 8х + 16

8х = 24

х = 3

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Корень подошел.

Ответ: 0; 3.

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

 

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х – 2 < 9

х < 11

Однако подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть

х – 2 ⩾ 0

x⩾2

Итак, мы получили, что 2 ⩽ х < 11. Напомним, что традиционно решения нер-в записывают с помощью промежутков. Поэтому двойное нер-во 2 ⩽ х < 11 мы заменим на равносильную ему запись х∈[2; 11).

Ответ: х∈[2; 11).

Пример. Решите нер-во

Решение. Возведем нер-во в четвертую степень:

6 – 2х ⩾ 2⁴

6 – 2х ⩾ 16 (1)

– 2х ⩾ 10

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

6 – 2х ⩾ 0 (2)

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Ответ: х∈(– ∞; – 5)

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

 

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

х² – 7x< 2³

x²– 7x– 8 < 0

Получили неравенство второй степени, такие мы уже решать умеем. Напомним, что сначала надо решить ур-ние

x²– 7x– 8 = 0

D = b²– 4ac = (– 7)² – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

х₁ = (7 – 9)/2 = – 1

х₂ = (7 + 9)/2 = 8

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x²– 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Ответ: (– 1; 8).

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

 

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

7 – х³< (1 – х)³

7 – х³< 1 – 3x + 3x²– х³

3х² – 3х – 6 > 0

x²– х – 2 > 0

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

x²– х – 2 = 0

D = b²– 4ac = (– 1)² – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х₁ = (1 – 3)/2 = – 1

х₂ = (1 + 3)/2 = 2

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

Ответ: (– ∞; – 1)⋃(2; + ∞).

Если в нер-ве

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

2х – 5 <(4 – х)²

2х – 5 < 16 – 8х + х²

х² – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

2х – 5 ⩽ 0

2x⩽5

x⩽ 2,5

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

4 – х ⩾ 0

х ⩽ 4

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ответ: [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не «<», то есть оно имеет вид

Его тоже можно решить аналитически, однако мы для простоты рассмотрим только графическое решение.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Построим графики обеих частей:

Видно, что в какой-то точке графики пересекаются, после чего график корня будет лежать выше прямой у = 2 – х. Осталось найти точное значение точки, для чего можно составить ур-ние:

Корни квадратного ур-ния найдем через дискриминант:

Мы убедились, что иррациональные ур-ния и нер-ва являются довольно сложными. Для разных задач приходится использовать разные, не всегда стандартные методы решений. Зачем же их вообще надо решать? Оказывается, они часто возникают при геометрических расчетах. В частности, уравнение, описывающее зависимость расстояния между двумя точками от их координат, является иррациональным. Поэтому при решении многих физических задач, связанных с движением объектов в пространстве, возникает необходимость решать иррациональные ур-ния.

Также важно напомнить, что для поступления в ВУЗ по окончании 11 класса школьники сдают ЕГЭ. В задачах 13 и 15 очень попадаются именно иррациональные ур-ния и нер-ва. Поэтому, если вы желаете в будущем получить высшее образование по экономической (менеджер, аналитик, брокер, банкир), технической (инженер, программист) и тем более физико-математической специальности, то начинайте тренироваться уже сейчас!