Геометрия

Урок 2: Параллельность

Параллельность в пространстве

В курсе планиметрии мы изучали параллельные прямые. В стереометрии же используются ещё и параллельные плоскости.

План урока:

Параллельные прямые в пространстве

Параллельность трех прямых в пространстве

Параллельность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей

 

Параллельные прямые в пространстве

В 7 классе мы уже изучали параллельные прямые. При этом мы рассматривали только прямые, находящиеся на одной плоскости. Сформулируем определение параллельных прямых, которое используется в стереометрии.

1 parallelnost v prostranstve

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ «||». В частности, запись а||b означает, что а и b– это параллельные прямые.

Рассмотрим для наглядности пример.

2 parallelnost v prostranstve

На этом рисунке m||n. В свою очередь пары прямых р и m, р и n непараллельны, ведь у них есть общая точка. Прямые h и nтакже непараллельны, но по другой причине – они находятся в разных плос-тях (такие прямые называют скрещивающимися).

Напомним, что в геометрии параллельными могут быть не только прямые, но также отрезки и лучи. Для параллельности отрезков требуется, чтобы они находились на параллельных прямых. Аналогичное правило действует и в отношении лучей.

Докажем одну довольно простую теорему (для удобства мы будем их нумеровать, чтобы потом ссылаться на их номера).

3 parallelnost v prostranstve

Действительно, пусть в пространстве есть прямая m и точка А. Мы уже знаем, что через них можно провести плос-ть. Обозначим ее буквой α.

4 parallelnost v prostranstve

По аксиоме параллельности мы можем через А провести единственную прямую n, параллельную m, причем n будет находиться в α. Любая другая прямая в плос-ти α, проходящая через А, не может быть параллельной m, это будет противоречить аксиоме параллельности. Любая прямая, проходящая через А и не находящаяся в α, также не будет параллельна m, ведь в противном случае она по определению параллельности находилась бы с m в одной плос-ти, и тем самым получилось бы, что через m и А проведены две различные плос-ти, а это невозможно.

Заметим ещё один очевидный факт.

5 parallelnost v prostranstve

Существование такой плос-ти прямо вытекает из определения параллельности. Но нам надо показать, что эта плос-ть – единственная. Пусть есть прямые m и n, причем m||n. Отметим на m точку Р, а на n точки Н и К:

6 parallelnost v prostranstve

Если бы через m и n можно было провести более одной плос-ти, то каждая из них проходила бы через точки Р, Н и К. Однако через них можно провести лишь единственную плос-ть. Значит, и через m и n проходит лишь одна плос-ть, ч. т. д.

Доказанная теорема показывает, что параллельные прямые однозначно определяют (или задают) плос-ть, проведенную через них.

Докажем ещё одну теорему.

7 parallelnost v prostranstve

Доказательство. Пусть есть прямые m и n, и m||n. Прямая m пересекает плос-ть α некоторой точке М. Нам надо показать, что и n пересекает α. Проведем через m и nплос-ть β (это можно сделать по теор. 2). Точка M как часть прямой m будет ей принадлежать. Но она же принадлежит и α. Значит, у α и β есть общая точка, то есть они пересекаются. Тогда у них должна быть и общая прямая, которую мы обозначим буквой h: 

8 parallelnost v prostranstve

Точка М должна находиться на прямой h, то есть m и h пересекаются в ней.Значит, h пересекает и прямую n. В противном случае получилось бы, чтобы через M проведено две прямые, h и m, каждая из которых была бы параллельна n. А это невозможно по теор. 1. Обозначим точку пересечения n и h буквой N. Оно будет общей для n и α.

Осталось лишь показать, что других общих точек у n и α нет. Действительно, если бы такая точка была, то вся прямая n должна бы принадлежать β. Тогда n стала бы общей прямой α и β, то есть совпала бы с р.Но р пересекается с m, а n – нет, то есть на самом деле это различные прямые. Получается, что α и n имеют единственную общую точку N, ч. т. д.

 

Параллельность трех прямых в пространстве

Напомним, что в планиметрии параллельные прямые обладали так называемым свойством транзитивности: если m||nи m||р, то и n||р. Оказывается, что это правило верно и в более общем случае, когда прямые находятся в пространстве, а не на единой плос-ти.

9 parallelnost v prostranstve

Это утверждение иногда именуют признаком параллельности прямых.

Доказательство. Пусть в пространстве располагаются прямые m,n и р, и р||n, а р||m. Надо доказать, что также m||n. То есть надо продемонстрировать, что m и n находятся в одной плос-ти, но не пересекаются. Отметим на n некоторую точку K и проведем через  K и m плос-ть α.

10 parallelnost v prostranstve

Раз n и α имеют общую точку К, то либо n пересекает α, либо n полностью лежит в α. Предположим, что n и α пересекаются. Тогда с α также пересекается и р, ведь р||n(по теор. 3). Из этого вытекает (по всё той же теор. 3), что и m пересекает α, а это не так. Значит, n полностью находиться в α. Получается, что n и m в одной плос-ти.

Осталось показать, что n и m НЕ пересекаются. Действительно, если бы они пересеклись, то через точку их пересечения проходило бы сразу две прямых, параллельных р, что невозможно (по теор. 1). Значит, n и m НЕ пересекаются, а потому представляют собой пару параллельных прямых, ч. т. д.

Теперь мы можем рассмотреть одну интересную задачу.

 

Задание. В пространстве выбраны произвольные точки М, К, Н и Р, находящиеся в разных плос-тях. Далее отметили середины отрезков:

А – середина МК

В – середина КН

С – середина НР

D – середина РМ

Докажите, что эти середины находятся в одной плос-ти, и четырехугольник АВСD – это параллелограмм.

Решение. Напомним, что мы уже сталкивались с похожей задачей, когда рассматривали так называемый параллелограмм Вариньона. Здесь разница в том, что точки М, К, Н, Р находятся в разных плос-тях.

11 parallelnost v prostranstve

Сначала рассмотрим ∆НКР. В нем ВС – это средняя линия, ведь она соединяет середины НК и НР. Значит, ВС||РК. В ∆КМР средней линией будет являться AD, и поэтому AD|| КР. По свойству транзитивности (теор. 4) мы можем заключить, что ВС||АD. Это уже показывает, что эти два отрезка, а значит и их точки А, В, С и D, находятся в одной плос-ти, и потому АВСD– плоский четырехугольник.

Далее рассмотрим ∆РМН. Его средняя линия – это СD, поэтому CD||НМ. Аналогично из ∆КНМ можно получить, что АВ||НМ. Отсюда вытекает (по теор. 4), что CD||АВ. В итоге мы получили, что у четырехугольника АВСD противоположные стороны параллельны, и поэтому он по определению представляют собой параллелограмм.

 

Параллельность прямой и плоскости

Ранее мы изучили два случая взаимного расположения прямой и плос-ти. Первый случай возникает, если прямая с плос-тью имеют две общие точки. Тогда, по одной из аксиом стереометрии, вся прямая находиться в плос-ти.

Второй случай возникает, если прямая и плос-ть имеют строго одну общую точку. Тогда говорят, что они пересекаются.

Но возможен и третий случай – прямая и плос-ть вовсе не имеют общих точек. Тогда говорят, что прямая параллельна плоскости.

12 parallelnost v prostranstve

Для иллюстрации этого примера рассмотрим обычный куб:

13 parallelnost v prostranstve

Здесь плос-ть, проходящая через нижнюю грань АЕНD, параллельна отрезкам ВС, СG, GF и BF.

Существует теорема, которая представляет собой признак параллельности прямой и плоскости.

14 parallelnost v prostranstve

Действительно, пусть есть плос-ть α и прямая m, не лежащая в ней. Также в αесть такая прямая n, что m||n. Тогда через mbn можно провести некоторую плос-ть β (по теор. 2):

15 parallelnost v prostranstve

Так как n принадлежит обеим плос-тям, и α, и β, то она является их границей.Предположим, что у α и m есть хотя бы одна общая точка К. Тогда эта точка будет общей для α и β, то есть она будет находиться на их границе – прямой n. Но тогда получится, что в К пересекаются n и m. Это противоречие, из которого вытекает, что ни одной общей точки у α и m быть не может. Это как раз и значит, что они параллельны, ч. т. д.

Интересно, верно ли обратное утверждение? Вытекает ли из параллельности прямой m и плос-ти α тот факт, что в плос-ти обязательно найдется прямая, параллельная m? Оказывается, что да, и это легко продемонстрировать.

Возьмем такую прямую m и плос-ть α, что m||α. Далее выберем на α любую точку K и проведем через нее такую прямую n, что n||m (по теор. 1):

16 parallelnost v prostranstve

Раз n проходит через К, то она уже имеет общую точку с α. Тогда возможны лишь два варианта: либо n пересекает α, либо лежит в ней. Но вариант с пересечением на самом деле невозможен, ведь в этом случае и m также должна пересекать α (по теор. 3), а это не так. Значит, n полностью находиться на α.

17 parallelnost v prostranstve

В результате мы показали, что в α обязательно есть прямая, параллельная m. Более того, немного усложнив наши рассуждения, мы покажем, что таких прямых существует бесконечно много! Продолжим наше построение и проведем через К ещё одну прямую р, находящуюся в α. Она состоит из бесконечного количества различных точек. Через каждую из них мы можем провести прямую, параллельную n и лежащую в α (по аксиоме параллельности):

18 parallelnost v prostranstve

В силу свойства транзитивности (теор. 3) каждая такая прямая окажется параллельной не только n, но и m.

 

Вернемся к примеру с кубиком:

19 parallelnost v prostranstve

Мы уже говорили, что ребра ВС, СG, GF и FB параллельны грани АЕНD. Теперь мы можем строго доказать этот факт. Сначала напомним, что у куба каждая грань – это квадрат, а у него, в свою очередь, параллельны противоположные стороны. Например, АЕFB – квадрат, поэтому BF||АЕ. Но прямая АЕ находится в плос-ти АЕН. Так как плос-ть АЕН содержит прямую АЕ, параллельную BF, то BF||АЕН (по теор. 5). Аналогичное доказательство можно привести и для трех других ребер верхней грани ВСGF.

Докажем ещё пару важных теорем.

20 parallelnost v prostranstve

Проиллюстрируем теорему картинкой:

21 parallelnost v prostranstve

Доказать теорему очень просто. Прямые р и m находятся в одной плос-ти α. Если бы они пересекались в некоторой точке N, то она была бы общей для прямой m и плос-ти β, ведь р полностью находится в β. Но этой невозможно, ведь m||β. Значит, и р||m.

22 parallelnost v prostranstve

Действительно, если прямые m, n и плос-ть α соответствуют условиям теоремы, то n не может пересекать α, иначе и m также ее пересекало бы (по теор. 3). Значит, остаются только те два варианта, которые упомянуты в теореме. 

Теперь мы можем ознакомиться с некоторыми задачами. Перед просмотром решения попытайтесь самостоятельно их решить.

 

Задание. Верно ли, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые m и n, находятся в одной и той же плос-ти?

Решение.m и n как параллельные прямые лежат в единственной плос-ти α (теор. 2). Любая прямая, пересекающая m и n в каких-то точках M и N, уже имеет с α две общие точки – как раз M и N. Значит, она целиком принадлежит α. Таким образом, любые прямые, пересекающие m и n, будут располагаться в одной и той же плос-ти α.

 

Задание. Две смежные стороны параллелограмма пересекают плос-ть α. Каково взаимное положение этой плос-ти и двух других сторон этого параллелограмма?

Решение. Пусть в параллелограмме МНРК c α пересекаются стороны МН и НР. По определению параллелограмма МН||РК, а НР||КМ. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плос-ть, то и другая делает то же самое (по теор. 3). Поэтому РК и КМ ведут себя также, как МН и НР, то есть также пересекают α.

 

Задание. Через среднюю линию трапеции проведена плос-ть α. Могут ли основания трапеции пересечь эту же плос-ть?

Решение. Основания трапеции параллельны ее средней линии. Если бы они пересекли α, то и средняя линия обязательно пересекала бы α (по теор. 3), а это не так. Значит, основания никак не могут пересечься с α.

 

Задание. В пространстве через концы отрезка АВ и его середину (оно обозначается буквой М) построены параллельные прямые. Они пересекают плос-тьα в точках А1, В1 и М1 соответственно. Известно, что А1А = 5, В1В = 7. Отрезок АВ с плос-тью не пересекается. Вычислите длину ММ1.

Решение.

23 parallelnost v prostranstve

Через параллельные прямые АА1 и ММ1 можно провести единственную плос-ть β (теор. 2). Прямая АВ имеет с β две минимум две общие точки – А и М. Значит, она полностью лежит в β, и тогда точка В также принадлежит β. Аналогично можно показать, что в β находятся прямая А1В1 и точка ВВ1. Наконец, и прямая ВВ1 располагается в β (по двум точкам – В и В1). Тем самым мы можем утверждать, что АВВ1А1 – плоский четырехугольник, а именно трапеция, ведь ее основания АА1 и ВВ1 параллельны. ММ1 будет средней линией в этой трапеции (так как она проходит через одну середину и боковой стороны и параллельна основаниям, в 8 классе мы выясняли, что этого достаточно для того, чтобы считать ММ1 средней линией.).

Длина средней линии находится так:

24 parallelnost v prostranstve

Ответ: 6.

 

Задание. Решите предыдущую задачу в случае, если отрезок АВ и плос-ть α пересекаются.

Решение. Аналогично предыдущей задаче мы можем показать, что все точки, фигурирующие в задаче, находятся в одной плос-ти β. Пусть АВ пересекается с α в некоторой точке С. Она будет общей для плос-тей α и β и потому будет находиться на их границе, то есть на прямой А1В1. Изобразим отдельно плос-ть β не в пространстве, а в плоском виде, без искажения:

25 parallelnost v prostranstve

Теперь нам надо просто решить планиметрическую задачу и найти ММ1. ∆АА1С,∆ВВ1С и ∆ММ1С подобны, ведь ∠ВСВ1 и ∠А1СА одинаковы как вертикальные углы, а

26 parallelnost v prostranstve

Для дальнейших рассуждений нам потребуется ещё один факт: М1 – это середина А1В1. Он вытекает из теоремы Фалеса. Действительно, на прямой АВ отмечены одинаковые отрезки АМ и МВ (ведь М – середина АВ). Через их концы проведены параллельные прямые, которые, по теореме Фалеса, на любой другой прямой также отсекут равные отрезки. То есть можно записать:

27 parallelnost v prostranstve

У подобных треугольников ∆∆АА1С и ∆ММ1С стороны пропорциональны, поэтому мы можем записать:

28 parallelnost v prostranstve

Ответ: 1.

 

Задание. m и n – прямые, не находящиеся в одной плос-ти. Существует ли прямая такая прямая р, что р||m и р||m?

Решение. Предположим, что р существует. Тогда она будет одновременно параллельна и m,и n. По свойству транзитивности (теор. 4) получается, что прямые m и n должны быть также параллельны друг другу. Но это невозможно, ведь они находятся в различных плос-тях. Из этого противоречия вытекает, что прямая р на самом деле не может существовать.

 

Задание. Докажите, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плос-тей, обязательно будет параллельна и линии их пересечения.

Решение.

29 parallelnost v prostranstve

Пусть есть прямая m, плос-ти α и β, и m||α, m||β. Также пусть α и β пересекаются по прямой n. Отметим на n произвольную точку K. Далее проведем через К прямую, параллельную m (используя теор. 1), и обозначим ее как р. Каково будет положение р относительно плос-тей α и β? Ни одну из этих плос-тей она пересекать не может, ведь тогда бы такую плос-ть пересекала бы и m (по теор. 3). Также р не может быть параллельна плос-тям, ведь она уже имеет с ними общую точку. Остается один вариант – она полностью находится и в α, и в β. Но это значит, что р – общая прямая для α и β, то есть она совпадает с n. В итоге получилось, что n||m, ч. т. д.

 

Параллельность плоскостей

В стереометрии параллельными могут быть не только две прямые, но и две плоскости.

30 parallelnost v prostranstve

В реальной жизни параллельны друг другу пол и потолок в квартире, противоположные грани кубика, задняя и передняя стенка шкафа.

31 parallelnost v prostranstve

Существует признак параллельности плоскостей.

32 parallelnost v prostranstve

Докажем этот признак. Пусть есть плос-ти α и β, и в α находятся прямые m и n, пересекающиеся в точке К. В свою очередь в β находятся прямые α1 и β1, их общая точка – это К1. При этом m||mи n||n1:

33 parallelnost v prostranstve

Возможны два варианта: либо α и β пересекаются по некоторой прямой р, либо они параллельны. Рассмотрим вариант с пересечением. Заметим, что m и n параллельны плос-ти β (по теор. 5), ведь в β находятся параллельные им прямые. В таком случае и m, и n должны быть параллельны линии пересечения α и β, то есть прямой р (по теор. 7). Но тогда получится, что через точку К проведены сразу две прямые, параллельные р. Это невозможно (по теор. 1). Противоречие показывает, что на самом деле α и β не могут пересекаться, то есть они параллельны, ч. т. д.

Оказывается, что свойство транзитивности распространяется и на параллельные плос-ти:

34 parallelnost v prostranstve

Действительно, пусть есть три плос-ти α, β и γ, причем α||γ и β||γ. Надо продемонстрировать, что α||β. Для этого отметим на γ произвольную точку K и проведем через нее пересекающиеся прямые m и n. Далее отметим в α точку К1, через которую построим прямые mи n1, причем так, чтобы m||mи n||n1 (это возможно по теор. 1). Аналогично через точку К2, находящуюся на β, построим прямые mи n2 так, чтобы m||mи n||n2:

35 parallelnost v prostranstve

Легко заметить, что в силу свойства транзитивности (теор. 4) m1||m2, а n1||n2. Тогда получится, что в α и β есть пересекающиеся прямые, параллельные друг другу. Этого достаточно для того, чтобы считать α и β параллельными плос-тями (по теор. 9), ч. т. д.

Довольно очевиден следующий факт:

36 parallelnost v prostranstve

Докажем это. Возьмем плос-ть α и некоторую точку К, не находящуюся на α. Далее в α проведем какие-нибудь две пересекающиеся прямые m и n. Ясно, что мы можем через К провести такие прямые mи n1, что m1||m и n1||n (по теор. 1). Но любые две пересекающиеся прямые уже задают плос-ть. То есть мы можем провести плос-ть β через m1и n1. По признаку параллельности плос-тей (теор. 9) получаем, что α||β:

37 parallelnost v prostranstve

Осталось доказать, что через К нельзя провести ещё одну плос-ть γ, параллельную α. Действительно, если бы такая плос-ть γ существовала бы, то в силу свойства транзитивности (теор. 10) она была бы параллельна и β. Но у β и γ есть общая точка K, то есть они не параллельны. Значит, плос-ть γ не существует, ч. т. д.

Существует два свойства параллельных плос-тей. Сформулируем их и докажем:

38 parallelnost v prostranstve

В самом деле, если плос-ть γ пересекает плос-ти α и β, и α||β, то линии их пересечения не могут пересечься, ведь в противном случае у α и β будет общая точка. При этом линии пересечения находятся в одной плос-ти γ. Значит, они параллельны, ч. т. д.

39 parallelnost v prostranstve

Действительно, пусть параллельные плос-ти α и β пересекаются параллельными прямыми АD и ВС, причем А и В находятся на β, а С и D– на α. Тогда через AD и ВС можно провести плос-ть γ (по теор. 2), и прямые АВ и CD окажутся линиями пересечения:

40 parallelnost v prostranstve

Рассмотрим четырехугольник АВСD. АВ||CD(по теор. 11), а АD||ВС. Получается, что АВСD – это параллелограмм. Но у параллелограмма одинаковы противоположные стороны, поэтому AD = ВС, ч. т. д.

Рассмотрим несколько задач про параллельные плос-ти.

 

Задание. Докажите, что противоположные грани куба параллельны.

Решение. Построим куб и обозначим его вершины.

41 parallelnost v prostranstve

Покажем, что нижняя и верхняя грань (то есть плос-ти АЕН и ВFG) параллельны. Заметим, что в нижней грани располагаются пересекающиеся прямые АЕ и АD, а в верхней грани – также пересекающиеся прямые BF и ВС. При этом АЕ||BF (это противоположные стороны квадрата АЕFB) и AD||ВС (это уже стороны в квадрате АВСD). Из этого вытекает (по теор. 9), что АЕН||BFG, ч. т. д.

 

Задание. Даныплос-ти α и β, α||β. Верно ли, что любая прямая, находящаяся в α, будет параллельна β?

Решение. Плос-ти α и β не имеют ни одной общей точки. Значит, и любая прямая, располагающаяся в α, также не может иметь общих точек с β. А это как раз и значит, что прямая и плос-ть параллельны. То есть утверждение в условии задачи верно.

 

Задание. MNPQ и MNGF – параллелограммы, находящиеся в разных плос-тях. Докажите, что PQFG – это также параллелограмм.

Решение.

42 parallelnost v prostranstve

Так как MNPQ и MNGF – параллелограммы, то MN||FG и MN||QP. По свойству транзитивности (теор. 4) получаем, что и QP||FG.

Также из свойств параллелограмма вытекает, что стороны MN и FG одинаковы, как и стороны MN и QP. Тогда должны быть одинаковы отрезки QP и FG: 

43 parallelnost v prostranstve

Итак, в четырехугольнике PQFG стороны FG и PQ одновременно и параллельны, и равны. Тогда по одному из признаков параллелограмма PQFG оказывается именно этой фигурой, ч. т. д.

 

Задание. Отрезки А1А2, В1В2, С1С2 пересекаются в точке М, являющейся серединой каждого из этих отрезков. При этом отрезки не находятся в одной плос-ти. Верно ли, что плос-ти А1В1С1 и А2В2С2 параллельны?

Решение.

44 parallelnost v prostranstve

Сравним ∆А1В1М и ∆А2В2М. ∠В1МА1 и ∠А2М одинаковы, ведь они вертикальные. По условию также одинаковы стороны, прилегающие кэти углам: В1М и В2М; А1М и А2М. Отсюда вытекает, что ∆А1В1М и ∆А2В2М равны.

Равенство ∆А1В1М и ∆А2В2М означает, что одинаковы углы ∠А1В1М и А2В2М. Но эти углы являются накрест лежащими для прямых А1В1 и А2В2, если В1В2 рассматривать как секущую. Из равенства накрест лежащих углов делаем вывод о том, что отрезки А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогичным образом, сравнивая ∆А1С1М и ∆А2С2М, приходим к выводу и о параллельности отрезков А1С1 и А2С2. В итоге получается, что в плос-тях А1В1С1 и А2В2С2 есть пары пересекающихся отрезков, которые соответственно параллельны: А1В1||А2В2 и А1С1||А2С2. Отсюда делаем вывод, что плос-ти А1В1С1 и А2В2Спараллельны (по теор. 9).

 

Задание. На плос-ти α построен MPK. Через его вершины проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекли другую плос-ть β в точках М1, Р1 и К1 соответственно. Известно, что α||β. Докажите, что ∆МРК и ∆М1Р1К1 равны.

Решение.

45 parallelnost v prostranstve

Ясно, что точки М, К, М1, К1 находятся в единой плос-ти, ведь они располагаются на параллельных прямых. То есть МКК1М1 – это плоский четырехугольник. Попытаемся определить его тип.

Отрезки ММ1 и М1К1 параллельны по условию, но они также и одинаковы, согласно одному из свойств параллельных плос-тей (теор. 12). Тогда МКК1М1 – это параллелограмм по его признаку. Но в параллелограмме одинаковы противоположные стороны, поэтому отрезки МК и М1К1 равны.

Аналогично рассматривая параллелограммы МРР1М1 и РКК1Р1, мы приходим к выводу о равенстве отрезков МР и М1Р1, РК и Р1К1. Тогда ∆МРК и ∆М1Р1К1 оказываются равными по 3 одинаковым сторонам, ч. т. д.

 

Задание. Из точки H в пространстве проведены три прямые, пересекающие плос-ть α в точках M, Р, К, а другую плос-ть β в точках М1, Р1, К1. Известно, что α||β и точки М, Р, К образуют треугольник. Докажите, что ∆МРК и ∆М1Р1К1 подобны.

Решение.

46 parallelnost v prostranstve

Ясно, что отрезки МК м М1К1 находятся в единой плос-ти, задаваемой пересекающимися отрезками НК и НМ. При этом прямые МК и М1К1 не могут пересечься (ведь они располагаются в параллельных плос-тях). Значит, МК||М1К1. Аналогично можно показать, что МР||М1Р1 и РК||Р1К1.

Теперь рассмотрим ∆НМК и ∆НМ1К1. У них есть общий ∠МНК, а ∠НМК и ∠НМ1К1 одинаковы как соответственные углы при параллельных МК и М1К1 и их секущей НМ1. Значит, ∆НМК и ∆НМ1К1 подобны. Выразим их коэффициент подобия:

47 parallelnost v prostranstve

Аналогично можно убедиться, что подобны ∆НМ1Р1 и ∆НМР; ∆НР1К1 и ∆НРК. Причем их коэффициенты подобия будут такие же, как у пары ∆∆НМК и ∆НМ1К1. Так, для ∆НМ1Р1 и ∆НМР можно написать

48 parallelnost v prostranstve

Получили, что все стороны ∆МРК и ∆М1Р1К1 пропорциональны друг другу. Согласно третьему признаку подобия мы можем заключить, что ∆МРК и ∆М1Р1К1 подобны, ч. т. д.

В ходе сегодняшнего урока мы расширили понятие параллельности, распространив ее на прямые в пространстве и плос-ти. Параллельность тех или иных геометрических объектов постоянно встречается как в реальной жизни, так и в задачах. Особенно важно запомнить изученные нами признаки параллельности (теор. 5 и 9).

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Если прямая m и плоскость α параллельны, то сколько прямых, параллельных m, можно построить в α?
1Ни одну
2Одну
3Две
4Бесконечно много
Ответить
4
Вопрос: 2
Как называется свойство параллельности, согласно которому прямые, параллельные третьей прямой, параллельны и друг другу?
1Эквивалентность
2Транзитивность
3Инвариантность
4Тривиальность
Ответить
2
Вопрос: 3
Для параллельности плоскостей достаточно, чтобы
1В каждой из них лежали две пересекающиеся прямые, которые попарно параллельны друг другу
2В одной из них находилась пара прямых, параллельных второй плоскости
3Линия их пересечения являлась прямой
4Через одну из точек первой плоскости можно было провести прямую, параллельную второй плоскости
Ответить
1
Вопрос: 4
Что можно сказать об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями?
1Их длины отличаются в два раза
2Они перпендикулярны
3Они равны
4Они представляют собой стороны ромба
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Если прямая m и плоскость α параллельны, то сколько прямых, параллельных m, можно построить в α?
1) Ни одну 2) Одну 3) Две 4) Бесконечно много
2 вопрос:

Как называется свойство параллельности, согласно которому прямые, параллельные третьей прямой, параллельны и друг другу?
1) Эквивалентность 2) Транзитивность 3) Инвариантность 4) Тривиальность
3 вопрос:

Для параллельности плоскостей достаточно, чтобы
1) В каждой из них лежали две пересекающиеся прямые, которые попарно параллельны друг другу 2) В одной из них находилась пара прямых, параллельных второй плоскости 3) Линия их пересечения являлась прямой 4) Через одну из точек первой плоскости можно было провести прямую, параллельную второй плоскости
4 вопрос:

Что можно сказать об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями?
1) Их длины отличаются в два раза 2) Они перпендикулярны 3) Они равны 4) Они представляют собой стороны ромба
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Бесконечно много
2 вопрос: Транзитивность
3 вопрос: В каждой из них лежали две пересекающиеся прямые, которые попарно параллельны друг другу
4 вопрос: Они равны