Алгебра

Урок 4: Простейшая тригонометрия

Простейшие тригонометрические уравнения

Изученные нами ранее тригонометрические преобразования будут полезны при решении уравнений, содержащих тригонометрические функции. Однако прежде необходимо узнать о том, что такое арксинус и арккосинус
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока: 

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Решение уравнения cosx = a

Решение уравнения sinx = a

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

 

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

1ghfhjkk

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:

2hgjhj

Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:

α = f (a)

В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:

3hgfgh

Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):

4gfgh

Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:

5gfdhg

 

Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.

Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:

6gfgjhj

Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:

7fdfg

Ответ: π/3.

 

Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:

8gfghfgh

В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:

9gfghh

Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].

Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой

10gfdty

Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:

11fdty

Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что

12fgfhgj

ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда

13fgghhjghj

Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому

14gdfgty

15hfyu

 

Задание. Вычислите arccos (– 1/2).

Решение. Используем только что полученную формулу:

16hyutyu

17hgyuty

Ответ: 2π/3.

 

Арксинус

Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:

18bgfhy

Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:

19gnhjjk

Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:

20nhkjk

При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):

21bghjk

Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:

22hghjt

Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].

Дадим определение арксинусу:

23gfghy

 

Задание. Чему равен arcsin0,5?

Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.

24bgfhy

Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула

25bgj

Справедливость этой формулы очевидна из картинки:

26bghj

27nhgkjk

 

Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).

Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:

28bgjhj

Арктангенс

Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.

Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:

29bghjf

Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.

Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:

30ghjuk

Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.

31gfgh

 

Задание. Чему равен arctg 1?

Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что

32bgfhgj

Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу

33bgj

В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:

34gfhj

35nghjh

 

Задание. Вычислите arctg (– 1).

Решение.

36nhgh

Ответ: – 1

В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.

В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:

37nfgjhj

 

Решение уравнения cosx = a

Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:

38hfgh

По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь

39hgfgh

Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:

40gfyu

Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:

41gfdyu

Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:

42gfjhj

Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть

43gfgjhj

Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:

44hgfjhj

Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть

45bgjhj

Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и числоπ/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:

46hhkjk

Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение

47hgfj

При n = 5 получим корень

48hgjj

При n = – 10 у нас получится решение

49jhkjk

Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:

50hgfyu

Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень

51ghjhj

Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:

52hjkjk

Объединить же обе серии можно одной записью:

53ghyu

Напомним, что мы решали ур-ние

54gfhyu

и получили для него решение

55bggfh

Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид

56hgi

где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что

57jhjk

58jyui

Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью

«n ∈ Z»

Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.

 

Задание. Решите ур-ние

59nhgj

Решение. Вспомним, что

60hgfhf

 

Задание. Решите ур-ние

61gfty

Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:

62kgit

Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.

 

Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния

63bgh

Решение. Так как

64gfdgd

то все решения образуют две серии:

65gfdfg

Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.

 

Для первой серии:

66gfdfg

Для второй серии:

67gdffgs

 

Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):

68gfdgs

Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4

Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.

Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния

69fhgh

На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния

70gfdhgh

являются точки, в которых график пересекает ось Ох:

71gdfg

Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].

 

Решение уравнения sinx = a

Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.

Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.

Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:

72jgjfkd

В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений

73fdhh

Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:

74gfjhjh

Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)n,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

75ggfdhgh

 

Задание. Решите ур-ние

76gghj

 

Задание. Запишите корни ур-ния

77gdhgh

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

78dfgf

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

79gfdfg

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

 

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

80gdfhg

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

81jhdfg

Решениями ур-ния

82kjhgfg

83gtyui

Наконец, решениями ур-ния

84hkjhjk

 

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

85ghyu

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

x = arctg a

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

86gdfgy

87fgjt

88yiui

 

Задание. Решите ур-ние

89gfjdg

 

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

90fjdfgfg

Далее рассмотрим ур-ние вида

91gfdgu

 

Задание. Решите ур-ние

92gjiyu

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

93jkyllu

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Укажите область определения ф-ции у = arccosx:
1(– ∞;+ ∞)
2[– π/2; π/2]
3[0; π]
4[– 1; 1]
Ответить
4
Вопрос: 2
Какова область значений ф-ции у = arcsinx?
1[– 1; 1]
2[– π/2; π/2]
3(– ∞;+ ∞)
4[0; π]
Ответить
2
Вопрос: 3
Укажите наибольший отрицательный корень ур-ния tgx = 1:
1– 3π/4
2– π/4
3π/4
4– 7π/4
Ответить
1
Вопрос: 4
Какое их этих ур-ний НЕ имеет решения?
1tg x = 2
2tg x = 0,5
3sin x = 2
4sin x = 0,5
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Укажите область определения ф-ции у = arccosx:
1) (– ∞;+ ∞) 2) [– π/2; π/2] 3) [0; π] 4) [– 1; 1]
2 вопрос:

Какова область значений ф-ции у = arcsinx?
1) [– 1; 1] 2) [– π/2; π/2] 3) (– ∞;+ ∞) 4) [0; π]
3 вопрос:

Укажите наибольший отрицательный корень ур-ния tgx = 1:
1) – 3π/4 2) – π/4 3) π/4 4) – 7π/4
4 вопрос:

Какое их этих ур-ний НЕ имеет решения?
1) tg x = 2 2) tg x = 0,5 3) sin x = 2 4) sin x = 0,5
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: [– 1; 1]
2 вопрос: [– π/2; π/2]
3 вопрос: – 3π/4
4 вопрос: sin x = 2
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти