Алгебра

Урок 8: Прогрессия геометрическая

Геометрическая прогрессия

Очень часто человек сталкивается с ситуацией, когда какая-то величина за определенный промежуток времени увеличивается в некоторое число раз. В частности, так растет сумма на банковском вкладе и население некоторых развивающихся стран. Изучить подобные закономерности можно с помощью геометрической прогрессии.

Обложка урока взята с источника.

slide4

Интенсивная подготовка к ОГЭ с репетитором

Перейти

Выбери своего онлайн-репетитора для занятий

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Геометрическая прогрессия

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

Геометрическая прогрессия

Изучим послед-ть

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

Здесь каждый следующее число больше предыдущего в 2 раза:

1jhgjty

Подобные послед-ти именуют геометрическими прогрессиями. Они постоянно встречаются в реальной жизни в банковской сфере (при начислении процентов на вклад), при изучении демографических процессов и в ряде других дисциплин.

2gfyu

Из этого определения следует рекуррентная формула, которая задает геом. прог-сию:

3gfhf

где – это какое-то постоянное число, которое называют знаменателем геометрической прогрессии. Так, в прог-сии

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

знаменатель равен 2. Чтобы найти его, достаточно поделить какой-нибудь член геометрической прогрессии на предыдущий, например:

4gfj

или

5jhkf

Если q= 0, то и все числа послед-ти, начиная со второго, получатся равными нулю:

6hfgh

Такая послед-ть не представляет интерес для математиков, поэтому считается, что знаменатель q не должен равняться нулю.

 

Пример. Первое число геом. прог-сии z1 равно 10, а знаменатель q равен 3. Запишите первые пять чисел прог-сии.

Решение. Будем использовать рекуррентную формулу:

7hgfh

Итак, получаем послед-ть:

10, 30, 90, 270, 810...

Ответ: 10, 30, 90, 270, 810

 

Пример. Про геом. прог-сию известно, что v1 = 16, q = 0,5. Определите семь первых чисел прог-сии.

Решение: Снова используем рекуррентную формулу:

8gfddd

 

Пример. Геом. прог-сия начинается с числа 27, а знаменатель q = – 1. Запишите 4 первых числа прог-сии.

Решение. Используя рекуррентную формулу, можно записать:

9hgrt

Получили послед-ть:

27, -27, 27, -27

Ответ: 27, -27, 27, -27

 

Попытаемся вывести формулу n-ого члена геом. прог-сии. Пусть нам известныz1и q. Тогда можно записать:

9hgrt

Легко заметить, что числа прог-сии вычисляются по формуле:

10gdfg

Докажем ее. Для этого необходимо использовать метод индукции. Очевидно, что формула справедлива для n = 1:

11fdsfs

Здесь мы использовали тот факт, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть q0 = 1.

Итак, мы доказали базис индукции. Теперь докажем ее шаг. Предположим, что формула работает для какого-то произвольного n = k:

12gfdgd

Необходимо доказать, что (n + 1)-ый член вычисляется по формуле:

13ghdh

И действительно, используя рекуррентную формулу, можно получить:

14gfdgd

Тем самым мы подтвердили справедливость формулы

15gfdgs

16ytrur

 

Пример. Первое число послед-ти равно 5, а каждое следующее вдвое больше. Определите 15-тый член этой послед-ти.

Решение. Описанная послед-ть является геометрической, у которой z1 = 5, q = 2. Найдем ее 15 член:

17gfdss

Ответ: 81920.

 

Пример. Известно, что геом. прогрессия начинается с числа 6, а третий член – это число 216. Каким может быть второй этой прог-сии?

Решение. Сначала попробуем найти знаменатель прог-сии. Мы знаем, что z1 = 6, z3 = 216. Запишем формулу 2-его члена прогр-сии:

18gfdsa

Получили квадратное уравнение. Решая его можем найти возможные значений q:

19fdsa

Получили два возможных значения знаменателя. Для каждого случая определим второй член прогр-сии:

при q = – 6 получаем z2 = z1•q = 6•(– 6) = – 36;

 при q = 6 получаем z2 = z1•q = 6•6 = 36.

Ответ: – 6 или 6.

 

Пример. Вася решил положить 1 млн рублей на банковский вклад на 1 год. В банке «Золотой гном» ему предлагают доход в 25%, который выплатят в конце года. В банке «Слон» ему предлагают выплачивать каждый месяц по 2%. Какой из вариантов выгоднее для Васи?

Решение. Напомним, что получение дохода в 25% означает увеличение суммы вклада в 1 + 25/100 = 1,25 раза. Получение 2%-ого дохода означает увеличение суммы в 1 + 2/100 = 1,02 раза.

Посчитаем, сколько у Васи будет денег через год, если он выберет банк «Золотой гном»:

20fdaa

Во втором случае сумма будет увеличиваться в 1,02 раза каждый месяц. Если выписывать суммы, лежащие на вкладе в «Слоне», то получится геом. прог-сия, у которой знаменатель равен 1,02, а первый член – миллиону

23fdssa

Тогда сумма, лежащая на вкладе через 12 месяцев, составит

24gfasd

(Примечание.Величину 1,0212 можно посчитать на калькуляторе или компьютере.)

Получается, что второй вариант выгоднее, ведь он принесет Васе большую сумму денег.

Ответ: Лучше выбрать банк «Слон».

 

Пример. Дана геом. прог-сия, у которой z1 = 5, d = 3. Может ли в этой прог-сии находиться числа: 324; 405; 406?Также проверьте числа123456789 и 5555555555.

Решение. Первый способ (простой, но требующий большого числа расчетов). Так как каждое следующее число в прог-сии больше предыдущего в 3 раза, то мы имеем дело с возрастающей последовательностью. Будем вычислять ее члены, пока не сможем получить число, большее 406:

25gdsasf

Получили, что число 405 входит в прог-сию (z5 = 405), а числа 324 и 406 не входят в число первых 6 членов прог-сии. Однако, так как z6 = 1215 больше этих двух чисел, а каждый следующий член прог-сии ещё больше, то ясно, что 324 и 406 уже не встретятся в ней. Однако проверить таким способом длинные числа довольно тяжело.

Второй способ. Каждый член последовательности можно записать в виде

26hghjd

Напомним, что если один из множителей произведения делится нацело на какое-то число, то и всё произведение делится на это же число. Множитель 3n–1 делится на 3 (при n ≥2):

27gfdg

Число 5 делится само на себя. Следовательно, числа, входящие в эту геом. послед-ть, должны делится и на 3, и на 5.

Теперь проанализируем числа 1234546789 и 5555555555, используя признаки делимости на 3 и 5. Первое из них НЕ делится нацело на 5, так как заканчивается на 9. Число 5555555555 НЕ делится на 3, так как сумма его цифр не делится нацело на 3:

28gfsg

Значит, они не могут входить в геом. прог-сию.

Ответ: число 405 входит в прог-сию, а остальные – нет.

 

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Попытаемся вычислить сумму первых членов геом. прог-сии. Обозначим её как Sn:

29gfsdg

Умножим обе части рав-ва на знаменатель прог-сии q:

30gfdfg

Вспомним рекуррентную формулу:

31fdsg

Из нее следует, что

32fdhghh

Тогда ур-ние (2) можно переписать так:

33gfdhg

Теперь вычтем из (3) рав-во (1)

34fhdfh

Обратите внимание – справа слагаемые z2, z3, z4… zn сначала идут со знаком «плюс», а потом – со знаком «минус». Это значит, что их можно сократить! Тогда справа останется разница zn+1– z1. Это связано с тем, что для слагаемых zn+1 и z1 не нашлось противоположного числа, чтобы сократиться. Можно записать:

35gjfgjh

Далее произведем замену zn+1 = z1•qn:

36gffg

Если q– 1 ≠ 0, то можно поделить обе части рав-ва и получить окончательную формулу:

37gfsdf

Отдельно рассмотрим случай, когда q– 1 = 0. Тогда полученная формула будет некорректной (будет получаться деление на ноль). Если q– 1 = 0, то q = 1. Это значит, что все члены прог-сии равны друг другу:

38hfghgh

Тогда сумма n первых членов будет равна z1•n:

39hgfhd

40gfdgdfg

 

Пример. Найдите сумму первых шести членов геом. прог-сии, у которой z1 = 3, q = 2.

Решение. Используем формулу:

41gfdfh

Ответ: 189.

 

Пример. Определите сумму первых пяти членов геом. послед-ти, у которой z1 =1 и q = 1/2.

Решение. Здесь в степень придется возводить дробь 1/2:

42gbfhgfh

Ответ: 31/16

 

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

В качестве примера приведем послед-ть, у которой z1 = 1, q = 1/2:

43gfdgfg

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

44fghdgh

Очевидно, что чем больше n, тем меньше zn, причем значение zкак бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что

45gfdgfg

То, что величина (1/2)n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:

46gfdf

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qстремится к нулю, если n стремится к бесконечности:

47gfdfg

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

48hggh

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А1 так, чтобы ВА1 =z1 = 1. Далее от точки А1 также вправо будем откладывать точку А2, но длина отрезка А1А2 будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А3, А4… до какой то точки Аn:

49gfdfg

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:

50gfdgfg

C другой стороны, длина отрезков BA1, BA2, BA3… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:

51gfdfg

Отметим, что при таком построении с увеличением n точка Аn всё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти Sn. Запишем это:

52gfdfghdfh

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которойq = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.

Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:

53gfdfg

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:

54gdfgd

Далее выделим целую часть:

55gfdgs

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z1/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qn. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:

56hgfhgh

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

57gfdfg

Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма Sможет быть вычислена так:

58gfdfh

Итак, удалось получить формулу S = z1/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.

59hgfh

60gfdgd

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.

                 

Пример. Найдите сумму S для прог-сии, у которой z1 = 0,1, q = 0,1.

Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:

61gfdgf

Теперь будем записывать суммы Sn этой прог-сии:

62gfdgd

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:

63gfdfg

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.

Теперь найдем сумму S, используя формулу S = z1/(1 – q):

64hgfgh

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:

65gfghfgh

 

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?

Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:

0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…

Получили слева сумму бесконечной прог-сии

66hghfgh

в которой z1 = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:

67gfdfg

Получили дробь 1/99. То есть

68hgfgh

Проверим себя с помощью калькулятора:

69gfdgh

 

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?

70gfdg

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:

71gfdgd

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

72gfdhgh

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.

Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой

73gfhgh

Найдем сумму Sдля этой прог-сии:

74gfdgd

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:

75hfdgh

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой

76gfdgdfg

Найдем и для этой прог-сии сумму:

77hgghgh

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

78gfghfgh

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.

 

Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.

Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?

Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:

79gfdgf

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:

80gfdgf

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.

На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.

Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит

81fsdf

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

82gfdfg

Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна

83gdfg

Следовательно, можно записать:

84gdfg

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Рв = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать

85gdfgd

Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:

86dghfgh

Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможны только после счета 12:12. Их вероятности записываются так:

87hfghfgh

По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно записать:

88hgfhgh

Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако легко увидеть, что вероятности счетов, победных для Васи, образуют геом. прог-сию:

89gfdfg

Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляет 0,54. Тогда сумма всех этих вероятностей, а значит и общая вероятность победы Васи, составит

90dfgdfg

Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют геом. прог-сию:

91fdsfdf

Здесь z1 = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометрической прогрессии:

92gdfgdfg

Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася, либо Петя. То есть сумма вероятностей их побед должна равняться единице. И действительно:

93gfdgdfg

Значит, наши расчеты верны.

Ответ: Вася выиграет с вероятностью 14/23, а шансы Пети равны 9/23.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
У геом. прог-сии первый член равен 7, а знаменатель равен двум. Каким будет четвертый член этой прогрессии?
156
228
3112
411
Ответить
1
Вопрос: 2
Найдите сумму первых десяти степеней тройки: 31 + 32 + 33 … + 310
159049
219683
357423
488572
Ответить
4
Вопрос: 3
Знаменатель геом. прог-сии равен 9, а первый член меньше 100. Какое из этих чисел НЕ может быть членом этой прог-сии?
1123123123
212345
3545454
4621126
Ответить
2
Вопрос: 4
Какая обыкновенная дробь при ее разложении в бесконечную десятичную дробь принимает вид 0,001001001… = 0,(001)
12/999
21/888
31/999
44/777
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

У геом. прог-сии первый член равен 7, а знаменатель равен двум. Каким будет четвертый член этой прогрессии?
1) 56 2) 28 3) 112 4) 11
2 вопрос:

Найдите сумму первых десяти степеней тройки: 31 + 32 + 33 … + 310
1) 59049 2) 19683 3) 57423 4) 88572
3 вопрос:

Знаменатель геом. прог-сии равен 9, а первый член меньше 100. Какое из этих чисел НЕ может быть членом этой прог-сии?
1) 123123123 2) 12345 3) 545454 4) 621126
4 вопрос:

Какая обыкновенная дробь при ее разложении в бесконечную десятичную дробь принимает вид 0,001001001… = 0,(001)
1) 2/999 2) 1/888 3) 1/999 4) 4/777
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 56
2 вопрос: 88572
3 вопрос: 12345
4 вопрос: 1/999
Slide6

Подготовься к ОГЭ наилучшим образом с репетитором

Перейти
slide16

Онлайн-занятия помогут сдать ОГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ОГЭ

Перейти
slmob12

Подготовка к ОГЭ наилучшим образом

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ОГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ОГЭ

Перейти