План урока:

Арифметическая прогрессия

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

Изучим послед-ть, где для получения следующего члена к предыдущему надо добавить определенное число. Например, таковым является следующий ряд:

11, 15, 19, 23, 27, 31, 35...

Здесь 1-ый член равен 11, а последующие члены получают добавлением четверки:

15 = 11 + 4

19 = 15 + 4

23 = 19 + 4

В математике такую послед-ть именуют арифметической прогрессией.

Из определения очевидно, что ариф. прог-сию можно задать рекуррентным способом, указав первое число прог-сии b₁ и формулу b_n = b_n–1 + d, где d – некоторое число, которое называют разностью прогрессии. Например, если b₁ = 24, а d = 11, то прог-сия будет выглядеть так:

24, 35, 46, 57, 68, 79...

Стоит отметить, что разность прог-сии может быть и отрицательным числом. В этом случае получится убывающая послед-ть.

Пример. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее разность равна(– 10). Запишите первые 5 членов прог-сии.

Решение. Вычислим первые несколько чисел прог-сии:

Получается, что прог-сия будет иметь вид:

-5, -15, -25, -35, -45...

Ответ: -5, -15, -25, -35, -45

Ариф. прог-сию можно задать не только рекуррентным способом, но и с помощью формулы n-ого члена. Попытаемся получить её, используя рекуррентную формулу. Сначала запишем выражения для вычисления первых членов прог-сии:

Прослеживается закономерность: каждое число b_n можно записать в виде

Докажем это, используя индукцию.

Для n = 1 формула, очевидно, работает:

Мы доказали базис индукции. Далее покажем, что если для произвольного n = k справедлива формула

то и для n = k + 1 справедлива формула

Для доказательства применим рекуррентную формулу, задающую ариф. прог-сию:

Получили нужную формулу и тем самым показали, что n-ый член арифметической прогрессии вычисляется следующим образом

Пример. Разность прогрессии равна 9, а её первый член t₁ = 7. Найдите 10001-ый член этой ариф. прог-сии.

Решение. Подставим исходные данные в формулу n-ого члена:

Ответ: 90007.

Пример. Известны два члена ариф. прог-сии: z₈ = 15 и z₂₀ = 33. Определите разность арифметической прогрессии, а также ее 1-ое и 5-ое число.

Решение. Используем формулу n-ого члена для n = 8 и n = 20:

Получили два линейных уравнения с двумя неизвестными:

Для решения системы вычтем из второго ур-ния первое:

Удалось найти разность прог-сии. Далее, используя первое ур-ниеz₁ + 7d = 15, определим z₁:

Удалось вычислить и z₁. Теперь можно рассчитать z₅ с помощью формулы n-ого члена арифм. прогр-сии:

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Интересный случай произошел с Карлом Гауссом, известным математиком, ещё в третьем классе. Учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 натуральных чисел. Однако Гаусс почти сразу сказал ответ: 5050. Как он смог так быстро сложить 100 чисел?

Он догадался, что в сумме

1 + 2 + 3 + 4...+ 99 + 100

можно поменять местами слагаемые, чтобы после первого было записано последнее слагаемое, после второго – предпоследнее и т.д. В итоге получится сумма

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51)

В каждой скобке сумма слагаемых равна 101:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

Всего же есть 50 таких скобок, каждая из которых равна 101, поэтому общая сумма равна 101•50 = 5050.

Так как натуральные числа образуют ариф. прог-сию, в которой b₁ = 1 и d = 1, то Гаусс, по сути, нашел сумму первых 100 членов ариф. прог-сии. Иногда ее просто называют суммой арифметической прогрессии. Обозначают эту сумму буквой S_n, где n – это количество первых членов прог-сии, которые надо сложить. Вычислить S_n можно так:

S₁ = b₁

S₂ = b₁ + b₂ = S₁ + b₂

S₃ = b₁ + b₂ + b₃ = S₂ + b₃

…

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n = S_n–1 + b_n

Однако такой способ требует, очевидно, большого объема вычислений. Есть и более короткий способ – воспользоваться формулой

Докажем ее справедливость, используя индукцию. Подставим в формулу n=1 и убедимся, что в этом случае она работает:

Получили верную формулу S₁ = b₁

Базис индукции доказан. Далее покажем, что если формула справедлива при n = k, то она истинна и при n = k + 1. То есть надо доказать, что

Действительно, сумма (k + 1) слагаемых равна

Слагаемые справа можно представить так:

S_k = (2b₁ + d(k – 1))•k/2 (потому что мы предполагаем, что формула справедлива для n = k)

b_k+1= b₁ + (k + 1 – 1)•d = b₁ + kd (формула n-ого члена ариф. прог-сии)

Тогда можно записать:

Докажем, что выр-ния (1) и (2) тождественно равны друг другу:

Умножим на двойку обе части равенства:

Раскроем скобки:

И справа, и слева стоят одинаковые выр-ния, поэтому равенство является тождеством. Значит, используемая нами формула справедлива.

Посмотрим, как использовать эту формулу на практике. Начнем с задачи, решенной в третьем классе Гауссом. Послед-ть натуральных чисел – это ариф. прог-сия, в котором 1-ый член b₁ = 1, разность d = 1. Гауссу надо было найти сумму первых 100 чисел, поэтому n = 100. Подставляем в формулу эти данные и получаем:

Получили тот же результат, что и Гаусс.

Пример. Сложите первую тысячу нечетных натуральных чисел.

Решение. Послед-ть нечетных натуральных чисел выглядит так:

1, 3, 5, 7...

Очевидно, что это ариф. прог-сия, ведь каждое следующее число получается добавлением двойки к предыдущему. У этой прог-сии b₁ = 1, d = 2. Тогда сумма 1000 чисел будет равна:

Ответ: 1000000.

Пример. Сложите все трехзначные натуральные числа.

Решение. Нам надо сложить числа от 100 до 999. Здесь можно предложить два алгоритма решения.

Первый способ. Сложим числа от 1 до 99:

Далее сложим числа от 1 до 999:

Для того, чтобы найти сумму от 100 до 999, вычтем из S₉₉₉ сумму S₉₉:

Второй способ. Трехзначные нат. числа образуют ариф. прог-сию:

100, 101, 102, 103...

у которой b₁ = 100, а разность d = 1. Сколько всего есть трехзначных чисел? Всего есть 999 чисел от 1 до 999, для записи которых хватает 3 цифр. Однако для первых 99 из них достаточно двух или даже одной цифры. Поэтому трехзначных чисел всего 999 – 99 = 900.

По этой причине примем n = 900. Далее подставим параметры прогрессии в формулу и получим:

Ответ: 494550

Пример. Задана ариф. прог-сия, у которой b₁ = 125, d = – 19:

125, 106, 87, 68, 49...

Чему равна сумма первых 50-ти ее членов? Какова сумма вторых 50-ти членов послед-ти?

Решение. Для нахождения суммы первых 50-ти членов подставим в формулу условия задачи:

Для ответа на второй вопрос задачи предварительно вычислим сумму 100 первых чисел:

Сумма вторых 50-ти чисел равна разнице S₁₀₀– S₅₀:

Ответ: – 64525

Пример. Решите уравнение, зная, что слева записана арифм. прог-сия:

2 + 8 + 14 + 20 + ... + х = 184

Решение. Ясно, что в данной прог-сии b₁ = 2. Разность прог-сии можно определить, просто вычтя из второго члена прог-сии первый:

d = 8 - 2 = 6

Слева записана сумма первых n слагаемых (n нам неизвестно). Заменим это выражение формулой:

По условию эта сумма равна 184. Тогда можно записать равенство:

Имеем уравнение, из которого можно найти n. Сначала умножим обе части на 2:

По таблице квадратов можно узнать, что квадратный корень из 8836 равен 94, ведь 94² = 8836. Тогда корни квадр. ур-ния будут равны:

Первый корень – лишний, ведь n может быть только нат. числом. Поэтому n = 8.

Если слева в исходном ур-нии

стоит сумма n = 8 членов ариф. прог-сии, то х – это восьмой ее член. Найти его можно, используя формулу:

Подставим х в ур-ние и убедимся, что мы не ошиблись:

Проверка подтвердила правильность решения.

Ответ: 44