Геометрия

Урок 2: Треугольники

Треугольники

В повседневной жизни нас окружает масса предметов имеющих треугольную форму. Например: Часы, воздушный змей, кусочек торта, пиццы, арбуза, салатники, рамки для фотографий, пузырек парфюма – этот список можно продолжать бесконечно. Но что же такое треугольник?

Обложка урока взята с источника.

slide9

Занятия с репетитором    ОНЛАЙН от 200 руб / час

Перейти

Бесплатный подбор репетитора на нашем сайте

Перейти slide8

План урока:

Как выглядит треугольник?

Виды треугольников

Равенство треугольников

Медиана, биссектриса, высота

 

Как выглядит треугольник?

В выходной день Глеб с родителями ехали в парк. Мальчик заметил, что вдоль дороги стояла непонятная табличка, увидев которую, отец поехал очень медленно.

1gdfgdg
Источник

«Что это такое?» – поинтересовался ребенок. Папа рассказал, что это дорожный знак, который предупреждает о трудностях на пути. Глебу очень понравился знак, а особенно его форма. Отец продолжил рассказ о знаках: «Форма знака о многом говорит водителю, ведь при плохой видимости автолюбитель видит только форму, а не надпись. Поэтому все предупреждающие знаки – треугольные». «А что такое треугольные?» – не унимался мальчик. Найти ответ на этот и многие другие вопросы папе помог наш сегодняшний урок.

Вначале, давайте разберемся, что же такое треугольник и из чего он состоит.

В повседневной жизни нас окружает масса предметов имеющих треугольную форму. Например:

Часы, воздушный змей, кусочек торта, пиццы, арбуза, салатники, рамки для фотографий, пузырек парфюма – этот список можно продолжать бесконечно. Но что же такое треугольник?

2gfgh

Приведем примеры треугольников:

3gdfg

Исходя из определения, каждый рисунок состоит из трех отрезков. В геометрии такие отрезки называют сторонами треугольника.

4bfgtry

Кроме отрезков, составляющей частью фигуры являются три точки, которые принято называть вершинами.

5nghj

В геометрии, вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латиницы: A,C,D,B.

Начертим треугольник. Вершины, обозначим буквами A,C,D.

6nghjf

Данная геометрическая фигура имеет три вершины A,C,D и три стороны АС, CD, DА.

А как же на письме показать, что данная фигура является треугольником?

7nhgjkg

Очень интересным является то, что записывать название, можно перечисляя вершины в любом порядке.

 

Например: 

8htyt

Можно записать: ∆NOK, ∆OKN, ∆KNО. Каждый вариант записи обозначает один и тот же треугольник и является верным.

Само название фигуры «Треугольник» предполагает, что в состав должны входить три угла. Так ли это?

 

Внимательно рассмотрим рисунок:

9vdfgd

Действительно, мы видим три угла, которые отмечены дугами: ∠RFP,∠FPR, ∠PRF(мы уже знаем, что буква, обозначающая вершину угла всегда записывается в середине) или∠F, ∠P,∠R.

10dfgrty

 

Виды треугольников

Все геометрические фигуры, имеющие треугольную форму,делятся на группы по двум направлениям:

  • По углам.
  • По сторонам.

Давайте рассмотрим, на какие группы делятся треугольники по углам:

11trhfg

Теперь, познакомимся с группами треугольников по сторонам(на рисунках равные стороны принято обозначать одинаковым количеством черточек):

 12fdrtg

Постарайтесь запомнить все виды треугольников, так как на протяжении всего учебного процесса, вам часто придется сталкиваться с выполнением заданий на данную тему.

 

Равенство треугольников

Случаются ситуации, когда точно известно, что два треугольника равны, а что же в таком случае можно сказать про углы и стороны таких треугольников?

13fgdrt

Нам дано: ∆ABC = ∆A1B1C1. Равны ли соответствующие стороны и углы данных фигур?

14tyrty

По условию треугольники равны. Значит, применяем рассмотренное правило, которое говорит о том, что все соответствующие элементы фигуры равны между собой.

 

Получается:

Если ∆ABC = ∆A1B1C1, то равны соответствующие стороны:

АС =А1С1;

АВ = А1В1;

СВ = С1В1;

и соответствующие углы равны:

∠С =∠С1;

∠А = ∠А1;

∠В = ∠В1.

 

Геометрия интересна тем, что большинство её правил нуждаются в доказательствах. Такие правила называют теоремами.

15tgrty

Вместе с этим, имеются и самостоятельные правила, которые называют аксиомами геометрии.

16hfgh

Сегодня мы рассмотрим первую теорему с названием «Первый признак равенства треугольников», и проведем работу по сбору доказательств для данной теоремы.

17hgtyu

Два треугольника – ∆OMN и ∆KLT. Известно, что две стороны треугольников и угол между ними равны.

Значит:

OM=KL, 

MN=LT;

∠M =∠L.

Докажем, что ∆OMN=∆KLT.

Доказательство первого признака равенства треугольников:

Из условия нам известно, что соответствующие углы равны ∠M =∠L, следовательно, мы можем выполнить наложение двух треугольников так, чтобы вершина M совпадала с вершиной L.

Тогда, сторона OM наложится на сторону  KL, а сторона MN на отрезок LT. По условию нам известно, что отрезки равны OM=KL, MN=LT, значит, при наложении они совпадут. Получается, что при наложении совпадает угол, и две стороны, следовательно, будут совпадать и оставшиеся стороны ON и KT, то есть ON = KT . Если при наложении совмещаются три стороны и одна вершина, значит, совместятся и две другие вершины KO и TN.

Выходит, что при совмещении совпадают все элементы ∆, а такие ∆ называются равными.

Мы доказали, что ∆OMN=∆KLT.

Еще, нам предстоит познакомиться с несколькими понятиями, без которых продолжать изучение  геометрии невозможно.

Начертим прямую АВ. Выберем точку не лежащую на данной прямой. Проведем отрезок СК, соединяющий точку С и прямую АВ, таким образом, чтобы при пересечении СК и АВ образовывался прямой угол (90˚) . Изображенный отрезок СК называют перпендикуляром к прямой.

18nhgfgh

Доказательство будем проводить в два этапа.

1 этап

19bfghf
2 этап

192gtry

Теорема доказана.

 

Медиана, биссектриса, высота

Рассмотрим ∆АВС. Отметим на отрезке АС середину и обозначим её точкой О. Соединим точки В и О отрезком. Полученный отрезок ВО называют медианой.

20grtyr

Любой треугольная фигура имеет три вершины, из каждой можно провести медиану, следовательно, в одной можно провести три медианы.

 

Биссектриса

Чтобы рассмотреть понятие биссектрисы треугольника, вспомним определение биссектрисы угла:

21vghfgh

На рисунке изображен ∆ОВМ. Из угла О проведем биссектрису (луч, делящий угол пополам)и продолжим её до пересечения со стороной ВМ. Место пересечения отметим точкой С. Отрезок ОС делит угол О пополам(∠ВОС =∠СОМ) и пересекается с противолежащей стороной ВМ.

22gdfh

На рисунке изображена фигура РТК. Из вершины Т проведем перпендикуляр к стороне РК, место пересечения перпендикуляра и стороны фигуры отметим точкой А.∠ТАК =∠ТАР=90˚. Перпендикуляр ТА называют высотой ∆РТК.

Изученные сегодня определения и теоремы являются базовыми в изучении геометрии. Поэтому постарайтесь уделить особое внимание материалу сегодняшнего урока.

 

Минутка истории:

  • Ученые установили, что первые упоминания о треугольниках появились еще четыре тысячи лет назад и были отображены на египетских папирусах. Две тысячи лет назад изучение данной геометрической фигуры приняло большие масштабы.
  • Жители Китая уверенны, что именно треугольник является шаблоном для всех существующих фигур, которые представляют собой видоизмененные треугольники.
  • Самый популярный треугольник в мире – Бермудский. Его название появилось в пятидесятых годах из-за расположения материковых вершин (Бермуды, Флорида, Пуэрто-Рико) и аномальных явлений между ними.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Теорема – это…
1утверждение, требующее доказательств;
2утверждение, не требующее доказательств
3обычное правило
Ответить
1
Вопрос: 2
Как называется данная теорема «Если две стороны и угол между ними соответственно равны у двух треугольников, то такие треугольники считают равными»?
1равенство треугольников
2первый признак равенства треугольников
3второй признак равенства треугольников
Ответить
2
Вопрос: 3
Отрезок, проведенный из точки не лежащей на прямой к данной прямой под углом 90˚ называется:
1параллельный отрезок
2сторона
3перпендикуляр
Ответить
3
Вопрос: 4
Продолжите фразу «Медиана треугольника соединяет вершину треугольника с …»:
1другой вершиной треугольника
2серединой противолежащей стороны
3противолежащей стороной
Ответить
2
Вопрос: 5
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне треугольника, называют:
1биссектриса треугольника
2медиана треугольника
3высота треугольника
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Теорема – это…
1) утверждение, требующее доказательств; 2) утверждение, не требующее доказательств 3) обычное правило
2 вопрос:

Как называется данная теорема «Если две стороны и угол между ними соответственно равны у двух треугольников, то такие треугольники считают равными»?
1) равенство треугольников 2) первый признак равенства треугольников 3) второй признак равенства треугольников
3 вопрос:

Отрезок, проведенный из точки не лежащей на прямой к данной прямой под углом 90˚ называется:
1) параллельный отрезок 2) сторона 3) перпендикуляр
4 вопрос:

Продолжите фразу «Медиана треугольника соединяет вершину треугольника с …»:
1) другой вершиной треугольника 2) серединой противолежащей стороны 3) противолежащей стороной
5 вопрос:

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне треугольника, называют:
1) биссектриса треугольника 2) медиана треугольника 3) высота треугольника
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: утверждение, требующее доказательств;
2 вопрос: первый признак равенства треугольников
3 вопрос: перпендикуляр
4 вопрос: серединой противолежащей стороны
5 вопрос: высота треугольника
slide9

Мы рекомендуем только    лучших РЕПЕТИТОРОВ

Перейти

Выбери своего репетитора    для онлайн-занятий сейчас

Перейти slide8