План урока:

Медиана, биссектриса, высота

Сегодня мы продолжаем путешествие в мир геометрических построений и подробно изучим равнобедренные треугольники, их свойства.

Разберем рисунок. Мы видим изображение геометрических фигур. На каждом изображении обозначениями указано, что некоторые части изображений равны. Такие построения в геометрии имеют собственное название:

Изображение АВС имеет два одинаковых отрезка АВ = ВС. Значит ∆ АВС называется равнобедренным.

Рассмотренные фигуры обладают интересными возможностями, которые мы сегодня изучим. Оказывается, зная про одинаковые параметры некоторых элементов можно говорить о том, что построения равны.

Рассмотри теорему «Свойства углов равнобедренного треугольника».

Получается, что в рассматриваемых построениях имеются соответственно одинаковые две стороны, АВ = ВС, так-как треугольник равнобедренный, ВО – общая, а углы АВО и СВО имеют одинаковую градусную меру (отрезок ВО делит ∠АВС пополам). Используя, изученный ранее, первый признак равенства ∆.

Делаем вывод, что ∆АВО и ∆СВО имеют одинаковые размеры. А мы знаем, что в одинаковых геометрических построениях, соответственно равны все элементы. Значит ∆АВО = ∆СВО, и соответственно ∠А=∠С, что и требовалось доказать.

Верным будет и обратное утверждение:

Медиана, биссектриса, высота

Теперь познакомимся со свойством биссектрисы, проведенной в равнобедренном треугольнике.

Теорема:

Доказательство:

рассмотрим рисунок. Особое внимание следует уделить полученным фигурам: ∆КРВ и ∆ МРВ

Получается, что геометрические изображения КРВ и МРВ имеют два одинаковых отрезка,  КР = РМ, по условию, РВ – общая, а ∠КРВ= ∠МРВ (отрезок РВ делит ∠КРМ пополам) Значит, по первому признаку равенства имеем:∆КРВ = ∆МРВ. Нам известно, что в одинаковых фигурах одинаковы все элементы и параметры, поэтому КВ =ВМ, соответственно РВ – медиана (делит основание КМ пополам).

Из равенства рассматриваемых фигур выходит:∠КВР =∠МВР. Разбираемые ∠КВР и ∠МВР  – смежные, а их сумма всегда составляет 180˚. Найдем градусную меру каждого угла:

∠КВР+∠МВР = 180˚, но они имеют одинаковую градусную меру, поэтому

2∠КВР = 180˚;

∠КВР = 180˚: 2;

∠КВР = 90 ˚.

∠КВР =∠МВР= 90˚ – прямые углы.

А по определению, отрезок, выходящий из вершины∆,под углом 90˚ к противолежащей стороне называется высотой треугольника. Значит, РВ  будет высотой. Что и требовалось доказать.

Верными будут и обратные утверждения:

В геометрии существуют признаки, по которым можно с легкостью определить является ли треугольник равнобедренным или нет. Достаточно просто запомнить перечисленные пункты и царство равнобедренных треугольников будет покорено вашими знаниями.

Итак, запомните определяющие свойства равнобедренного треугольника:

• 1) имеются две равных стороны;
• 2) имеется два равных угла (согласно второму признаку);
• 3) имеется соответствующее совпадение:

- медианы и высоты;

- биссектрисы и высоты;

- медианы и биссектрисы.

В данном разделе  геометрии встречается большое количество заданий на определение равенства  треугольников. Мы уже знаем несколько способов определить равенство  фигур. Сегодня докажем следующую теорему, помогающую определить равны ли данные фигуры. Теорема называется«Второй признак равенства треугольников».

Теорема:

Доказательство.

Зная, что ОН = О₁Н₁ мы можем совместить треугольники так, чтобы сторона ОН совпала со стороной О₁Н_1, а точки С и С₁ оказались по одну сторону от ОН:

Так как ∠О = ∠О_1, то при совмещении сторона ОС совпадет со стороной О₁С₁, а учитывая, что ∠Н = ∠ Н_1, получаем совпадение стороны СН и С₁Н₁. При этом точка С принадлежит одновременно ОС и НС, следовательно при наложении лучи О₁С₁ иН₁С₁ пересекаются в одной точке – С_1, поэтому делаем вывод, что С и С₁ при совмещении совпадают

Выходит, что при совмещении совпадают все стороны и углы треугольников, а фигуры, имеющие соответственно одинаковые элементы считаются равными. Значит ∆ОСН = ∆О₁С₁Н_1, что и требовалось доказать.

Мы уже ознакомились с двумя признаками равенства треугольников, переходим к третьему признаку равенства треугольников

Доказательство:

Приложим треугольник АВС  к  треугольнику КРО так, чтобы выполнялись следующие пункты:

1. Вершина А совпала с вершиной К.
2. Вершина С совпала с вершиной О.
3. Точки Р и В находились по разные стороны от прямой АС.

Получили следующий рисунок:

Соединим отрезком вершины В и Р. По условию мы знаем, что ВС = РО, а АВ = КР      . Значит,∆РАВ и  ∆ВСР являются равнобедренными. Применим теорему о свойстве углов равнобедренного треугольника:

Следовательно, ∠1 = ∠2, а ∠3 = ∠4, тогда∠АВС =∠КРО. Мы знаем, что данные геометрические фигуры имеют соответственно равные параметры двух отрезков АВ = КР, ВС = РО, а углы между ними имеют одинаковую градусную меру∠АВС =∠КРО. Из теоремы первого признака равенства треугольников делаем вывод, ∆АВС = ∆КРО. Что требовалось доказать.

Ну и в завершение урока предлагаю рассмотреть задачу, решение которой невозможно без полученных сегодня знаний.

Точка Н является точкой пересечения и серединой 2 отрезков АВ и СК. Докажите равенство треугольников КАС и КВС.

Чтобы доказать равенство фигур нам необходимо построить отрезки рассматриваемые в задаче. Обязательно нужно помнить, что точка Н – середина АВ и СК. Значит, АН = НВ, СН = НК

Доказательство.

Рассмотрим фигуры СНВ и АНК. Нам известно, что АН =НВ, СН = НК (по условию). Углы СНВ и АНК – вертикальные, а вертикальные углы всегда равны. Значит ∠СНВ = ∠АНК. Получается, что в ∆СНВ и ∆АНК соответственно равны две стороны и угол между ними, а это говорит о равенстве фигур по первому признаку равенства ∆. Следовательно, АК = СВ.

Теперь рассмотрим ∆АНС и ∆КНВ. Углы АНС и КНВ – вертикальные и поэтому равные. А по условию, СН =НК, АН = НВ. Снова имеем равенство двух сторон и угла между ними (1 признак). Получается ∆АНС = ∆КНВ. Из этого следует, что АС = ВК.

Переходим к изучению ∆КАС и ∆КВС. Мы выяснили, что АК = СВ, АС = ВК, а сторона СК у изображенных ∆ общая. Выходит, что данные ∆имеют три соответственно равных стороны, значит, они равны по третьему признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Если ты разбираешь урок и уже читаешь эти строки, то ты огромный молодец, ведь весь основной материал сегодняшнего занятия ты уже изучил. Всегда держи под рукой рассмотренные теоремы и доказательства. Таким образом запомнить их получится намного быстрее. И главное помни, что даже самая сложная задача геометрии решается только путем рассуждений и предположений!

Знаешь ли ты?

Согласно проведенным исследованиям было доказано, что листочки на ветках деревьев всегда расположены в специальном порядке. Они отклонены друг от друга на определенный угол. Для каждого вида деревьев величина угла будет своей индивидуальной. Но самое необычное заключается в том, что каждый угол наклона листьев можно записать в виде обыкновенной дроби. Листочки дерева бук, расположены под углом 120˚ или 1/3 , дуб и абрикоса наклоняют листики на 2/5, тополь и груша на 2/8, ива и миндаль – 5/13.Таким образом, каждый вид с помощью зелени максимально извлекает влагу и получает солнечные лучи, необходимые для жизни растений.

Вы самостоятельно можете вычислить градусную меру угла, под которым растет листва. Чтобы это сделать, достаточно найти дробь от числа. Необходимо 360˚(градусная мера полного угла) умножить на указанное значение дроби.Как умножать обыкновенные дроби мы узнали сегодня.

Например:

Листья бука наклонены на 1/3 к веткам, значит, нужно 360 умножить на 1/3

360 ×1/3 = 360/3 = 120.

Выходит, что бук наклоняет зелень на 120˚.

Посчитайте и узнайте, под каким углом растут листики на остальных деревьях! Ведь это интересно