Геометрия

Равенства треугольников

На праздник мама испекла вкусный торт и разрешила Артему пригласить друзей. За столом мальчик переживал, чтобы всем гостям достались одинаковые части угощения. Мама успокоила Артема и ответила загадкой: «Я разрежу торт на куски в форме геометрических фигур, имеющих две равные стороны. Так что все приглашенные, получат одинаковые кусочки, можешь не переживать!» Всем гостям очень понравился праздник и угощение. Но Артема не покидала мысль о маминой загадке: «Что это за фигуры и как они выглядят?». Вечером, ребенок зашел в интернет и узнал всю интересующую информацию о данных фигурах из нашего урока.

Обложка урока взята с источника.

slide9

Занятия с репетитором    ОНЛАЙН от 200 руб / час

Перейти

Бесплатный подбор репетитора на нашем сайте

Перейти slide8

План урока:

Медиана, биссектриса, высота

 

Сегодня мы продолжаем путешествие в мир геометрических построений и подробно изучим равнобедренные треугольники, их свойства.

1wetrt

Разберем рисунок. Мы видим изображение геометрических фигур. На каждом изображении обозначениями указано, что некоторые части изображений равны. Такие построения в геометрии имеют собственное название:

2wetrt

Изображение АВС имеет два одинаковых отрезка АВ = ВС. Значит ∆ АВС называется равнобедренным.

Рассмотренные фигуры обладают интересными возможностями, которые мы сегодня изучим. Оказывается, зная про одинаковые параметры некоторых элементов можно говорить о том, что построения равны.

Рассмотри теорему «Свойства углов равнобедренного треугольника».

3wetrt

Получается, что в рассматриваемых построениях имеются соответственно одинаковые две стороны, АВ = ВС, так-как треугольник равнобедренный, ВО – общая, а углы АВО и СВО имеют одинаковую градусную меру (отрезок ВО делит ∠АВС пополам). Используя, изученный ранее, первый признак равенства ∆.

4wetrt

Делаем вывод, что ∆АВО и ∆СВО имеют одинаковые размеры. А мы знаем, что в одинаковых геометрических построениях, соответственно равны все элементы. Значит ∆АВО = ∆СВО, и соответственно ∠А=∠С, что и требовалось доказать.

Верным будет и обратное утверждение:

5wetrt

 

Медиана, биссектриса, высота

Теперь познакомимся со свойством биссектрисы, проведенной в равнобедренном треугольнике.

Теорема:

6wetrt

Доказательство:

рассмотрим рисунок. Особое внимание следует уделить полученным фигурам: ∆КРВ и ∆ МРВ

7wetrt

Получается, что геометрические изображения КРВ и МРВ имеют два одинаковых отрезка,  КР = РМ, по условию, РВ – общая, а ∠КРВ= ∠МРВ (отрезок РВ делит ∠КРМ пополам) Значит, по первому признаку равенства имеем:∆КРВ = ∆МРВ. Нам известно, что в одинаковых фигурах одинаковы все элементы и параметры, поэтому КВ =ВМ, соответственно РВ – медиана (делит основание КМ пополам).

Из равенства рассматриваемых фигур выходит:∠КВР =∠МВР. Разбираемые ∠КВР и ∠МВР  – смежные, а их сумма всегда составляет 180˚. Найдем градусную меру каждого угла:

∠КВР+∠МВР = 180˚, но они имеют одинаковую градусную меру, поэтому

2∠КВР = 180˚;

∠КВР = 180˚: 2;

∠КВР = 90 ˚.

∠КВР =∠МВР= 90˚ – прямые углы.

А по определению, отрезок, выходящий из вершины∆,под углом 90˚ к противолежащей стороне называется высотой треугольника. Значит, РВ  будет высотой. Что и требовалось доказать.

Верными будут и обратные утверждения:

8wetrt

В геометрии существуют признаки, по которым можно с легкостью определить является ли треугольник равнобедренным или нет. Достаточно просто запомнить перечисленные пункты и царство равнобедренных треугольников будет покорено вашими знаниями.

Итак, запомните определяющие свойства равнобедренного треугольника:

  • 1) имеются две равных стороны;
  • 2) имеется два равных угла (согласно второму признаку);
  • 3) имеется соответствующее совпадение:

- медианы и высоты;

- биссектрисы и высоты;

- медианы и биссектрисы.

В данном разделе  геометрии встречается большое количество заданий на определение равенства  треугольников. Мы уже знаем несколько способов определить равенство  фигур. Сегодня докажем следующую теорему, помогающую определить равны ли данные фигуры. Теорема называется«Второй признак равенства треугольников».

Теорема:

9wetrt

Доказательство.

Зная, что ОН = О1Н1 мы можем совместить треугольники так, чтобы сторона ОН совпала со стороной О1Н1, а точки С и С1 оказались по одну сторону от ОН:

10wetrt

Так как ∠О = ∠О1, то при совмещении сторона ОС совпадет со стороной О1С1, а учитывая, что ∠Н = ∠ Н1, получаем совпадение стороны СН и С1Н1. При этом точка С принадлежит одновременно ОС и НС, следовательно при наложении лучи О1С1 иН1С1 пересекаются в одной точке – С1, поэтому делаем вывод, что С и С1 при совмещении совпадают

11wetrt

Выходит, что при совмещении совпадают все стороны и углы треугольников, а фигуры, имеющие соответственно одинаковые элементы считаются равными. Значит ∆ОСН = ∆О1С1Н1, что и требовалось доказать.

Мы уже ознакомились с двумя признаками равенства треугольников, переходим к третьему признаку равенства треугольников

12wetrt

Доказательство:

Приложим треугольник АВС  к  треугольнику КРО так, чтобы выполнялись следующие пункты:

  1. Вершина А совпала с вершиной К.
  2. Вершина С совпала с вершиной О.
  3. Точки Р и В находились по разные стороны от прямой АС.

Получили следующий рисунок:

13wetrt

Соединим отрезком вершины В и Р. По условию мы знаем, что ВС = РО, а АВ = КР      . Значит,∆РАВ и  ∆ВСР являются равнобедренными. Применим теорему о свойстве углов равнобедренного треугольника:

14wetrt

Следовательно, ∠1 = ∠2, а ∠3 = ∠4, тогда∠АВС =∠КРО. Мы знаем, что данные геометрические фигуры имеют соответственно равные параметры двух отрезков АВ = КР, ВС = РО, а углы между ними имеют одинаковую градусную меру∠АВС =∠КРО. Из теоремы первого признака равенства треугольников делаем вывод, ∆АВС = ∆КРО. Что требовалось доказать.

Ну и в завершение урока предлагаю рассмотреть задачу, решение которой невозможно без полученных сегодня знаний.

Точка Н является точкой пересечения и серединой 2 отрезков АВ и СК. Докажите равенство треугольников КАС и КВС.

Чтобы доказать равенство фигур нам необходимо построить отрезки рассматриваемые в задаче. Обязательно нужно помнить, что точка Н – середина АВ и СК. Значит, АН = НВ, СН = НК

15wetrt

Доказательство.

Рассмотрим фигуры СНВ и АНК. Нам известно, что АН =НВ, СН = НК (по условию). Углы СНВ и АНК – вертикальные, а вертикальные углы всегда равны. Значит ∠СНВ = ∠АНК. Получается, что в ∆СНВ и ∆АНК соответственно равны две стороны и угол между ними, а это говорит о равенстве фигур по первому признаку равенства ∆. Следовательно, АК = СВ.

Теперь рассмотрим ∆АНС и ∆КНВ. Углы АНС и КНВ – вертикальные и поэтому равные. А по условию, СН =НК, АН = НВ. Снова имеем равенство двух сторон и угла между ними (1 признак). Получается ∆АНС = ∆КНВ. Из этого следует, что АС = ВК.

Переходим к изучению ∆КАС и ∆КВС. Мы выяснили, что АК = СВ, АС = ВК, а сторона СК у изображенных ∆ общая. Выходит, что данные ∆имеют три соответственно равных стороны, значит, они равны по третьему признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Если ты разбираешь урок и уже читаешь эти строки, то ты огромный молодец, ведь весь основной материал сегодняшнего занятия ты уже изучил. Всегда держи под рукой рассмотренные теоремы и доказательства. Таким образом запомнить их получится намного быстрее. И главное помни, что даже самая сложная задача геометрии решается только путем рассуждений и предположений!

 

Знаешь ли ты?

Согласно проведенным исследованиям было доказано, что листочки на ветках деревьев всегда расположены в специальном порядке. Они отклонены друг от друга на определенный угол. Для каждого вида деревьев величина угла будет своей индивидуальной. Но самое необычное заключается в том, что каждый угол наклона листьев можно записать в виде обыкновенной дроби. Листочки дерева бук, расположены под углом 120˚ или 1/3 , дуб и абрикоса наклоняют листики на 2/5, тополь и груша на 2/8, ива и миндаль – 5/13.Таким образом, каждый вид с помощью зелени максимально извлекает влагу и получает солнечные лучи, необходимые для жизни растений.

Вы самостоятельно можете вычислить градусную меру угла, под которым растет листва. Чтобы это сделать, достаточно найти дробь от числа. Необходимо 360˚(градусная мера полного угла) умножить на указанное значение дроби.Как умножать обыкновенные дроби мы узнали сегодня.

Например:

Листья бука наклонены на 1/3 к веткам, значит, нужно 360 умножить на 1/3

360 ×1/3 = 360/3 = 120.

Выходит, что бук наклоняет зелень на 120˚.

Посчитайте и узнайте, под каким углом растут листики на остальных деревьях! Ведь это интересно

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Равнобедренный треугольник – это:
1треугольник, все стороны которого равны
2треугольник, имеющий прямой угол
3треугольник, имеющий две равные стороны
Ответить
3
Вопрос: 2
Найдите название данной теоремы: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники считаются равными».
1первый признак равенства треугольников
2второй признак равенства треугольников
3третий признак равенства треугольников
Ответить
1
Вопрос: 3
Медиана равнобедренного треугольника является его:
1стороной и высотой
2биссектрисой и стороной
3биссектрисой и высотой
Ответить
3
Вопрос: 4
Второй признак равенства треугольников говорит о :
1соответственном равенстве, одной стороны и прилежащих к ней углов, двух сравниваемых треугольников
2соответственном равенстве трех сторон в сравниваемых треугольниках
3соответственном равенстве трех углов в сравниваемых треугольниках
Ответить
1
Вопрос: 5
Продолжите фразу: « Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то …»
1такие треугольники прямоугольные
2такие треугольники равны
3эти треугольники равносторонние
Ответить
2
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Равнобедренный треугольник – это:
1) треугольник, все стороны которого равны 2) треугольник, имеющий прямой угол 3) треугольник, имеющий две равные стороны
2 вопрос:

Найдите название данной теоремы: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники считаются равными».
1) первый признак равенства треугольников 2) второй признак равенства треугольников 3) третий признак равенства треугольников
3 вопрос:

Медиана равнобедренного треугольника является его:
1) стороной и высотой 2) биссектрисой и стороной 3) биссектрисой и высотой
4 вопрос:

Второй признак равенства треугольников говорит о :
1) соответственном равенстве, одной стороны и прилежащих к ней углов, двух сравниваемых треугольников 2) соответственном равенстве трех сторон в сравниваемых треугольниках 3) соответственном равенстве трех углов в сравниваемых треугольниках
5 вопрос:

Продолжите фразу: « Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то …»
1) такие треугольники прямоугольные 2) такие треугольники равны 3) эти треугольники равносторонние
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: треугольник, имеющий две равные стороны
2 вопрос: первый признак равенства треугольников
3 вопрос: биссектрисой и высотой
4 вопрос: соответственном равенстве, одной стороны и прилежащих к ней углов, двух сравниваемых треугольников
5 вопрос: такие треугольники равны
slide9

Мы рекомендуем только    лучших РЕПЕТИТОРОВ

Перейти

Выбери своего репетитора    для онлайн-занятий сейчас

Перейти slide8