План урока:

Знакомство с геометрией

Основные понятия геометрии

Сравнение отрезков и углов

Виды углов

Перпендикулярные и параллельные прямые

Интересные сведения о геометрии

Знакомство с геометрией

Вот и настал момент прощания с математикой, сопровождающей нас на протяжении долгих шести лет школьной жизни. Но огорчаться не нужно, на смену привычной математике приходят занимательные и интересные разделы этой науки – алгебра и геометрия.

Давайте разберемся, что же такое геометрия, для чего она нужна, где её используют?

В дословном переводе с греческого, геометрия означает землемерие:

Более точное определение утверждает, что наука об отношениях плоскостей, пространств и изучении форм называется геометрией.

Постоянно сталкиваясь с геометрией не придаем этому большого значения. Она всегда рядом, она живет с нами. Оглянитесь вокруг – потолок, стены, мебель, бытовая техника отображают геометрические фигуры, созданные с учетом геометрических знаний. Выйдя на улицу, посмотрите по сторонам – стволы деревьев и стебли растений имеют цилиндрическую форму, кроны деревьев - форму конусов, овалов, треугольников, лепестки цветов - форму круга или овала. Любая профессия (хирург, строитель, водитель, учитель, повар) имеет связь с основами геометрии. Повсюду нас окружают геометрические элементы. Эта наука плотно вошла в нашу жизнь, и является её неотъемлемой частью.

Геометрия содержит ряд основных понятий, необходимых для дальнейшего изучения и применения на практике геометрических знаний. Давайте познакомимся с ними поближе.

Основные понятия геометрии

Понятие точки

Фигура, которую невозможно измерить, а для вычислений используется только место её расположения, называется точкой. Такие фигуры обозначают цифрами и буквами латиницы. Если точек много, то обозначения должны быть разными.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

Читается: точка A, точка B, точка C

Понятие линии

Линия представляет собой массу точек. Линии принято обозначать строчными буквами латиницы.

Например:

Линии бывают:

1. Прямые

2. Ломаные

3. Кривые

Часто в геометрии используются прямые линии. Давайте подробнее с ними познакомимся.

По определению, бесконечная линия, не имеющая ограничений, называется прямой. Обозначается маленькими и большими (выбирая 2 любые точки) буквами латиницы.

Например:

Читается: прямая а, прямая AD

Любые две точки на прямой ограничивают геометрическую фигуру – отрезок. Эти точки называются началом и концом отрезка. Фигура обозначается большими буквами латиницы.

Например:                                                                                                               

Читается: отрезок КВ, отрезок АС

Наличие точек дает возможность измерить длину. Длиной отрезка принято считать расстояние между точками, обозначающими начало и конец.

Например:

Расстояние между точками А, В равняется 7 сантиметрам. Считается, что отрезок АВ по длине соответствует 7 сантиметрам.

Записывается следующим образом: АВ=7см

Понятие луча

Рассматривая понятие луч, делаем вывод, что любая точка, лежащая на прямой, делит её на лучи. Сама точка называется началом лучей. Обозначаются большими буквами латиницы.

Например:

Читается: точка В разделяет прямую а на два луча

Чтобы определить нужный луч, на прямую необходимо нанести дополнительные точки.

Например:

Читается: точка А делит прямую с на два луча: луч А, луч АВ

Необходимо учитывать, что при записи обозначения луча на первом месте должна находиться буква, обозначающая начало луча.

Понятие угла

Геометрическая фигура, состоящая из точки и выходящих из неё двух лучей, называется углом. Лучи называют сторонами угла, а точку – вершиной угла.

Обозначается угол специальным знаком∠, также заглавными буквами латиницы, прописными греческими, цифрами.

Например

Записывается и читается: ∠ВАС (название вершины угла, обязательно записывается в середине) – угол ВАС, ∠β – угол бета

Для определения меры углов используется единица измерения – градус. Полный оборот луча вокруг своего начала составляет 360˚, значит, 1 градус равен 1/360. Для обозначения градуса существует специальный символ ˚.

Сравнение отрезков и углов

В этом разделе, как и во всех разделах математики, существует понятие сравнения. Две фигуры с идентичными размерами и формой называются равными. Самым простым методом нахождения равенства геометрических фигур является способ наложения. Рассмотрим этот метод сравнения поподробнее.

Правило определения равенства геометрических фигур методом совмещения имеет следующую формулировку: геометрические фигуры, полностью совмещенные наложением друг на друга, считаются равными.

Сравнение отрезков.

Для сравнения отрезков методом совмещения, необходимо начало отрезка наложить на начало другого отрезка, если при этом совпадут и концы, то тогда отрезки считаются равными.

Например:

На рисунке видно, что начало отрезка АВ совпадает с началом отрезка СМ, при этом совпадают и концы отрезков. Такие отрезки считаются равными АВ=СМ.

В случае, когда концы отрезков не совпадают, считается, что один отрезок больше другого.

Например

При наложении отрезка СР на отрезок ВК совпадают только начала отрезков. В таком случае отрезок ВК больше, чем отрезок СР.

Записывается в таком виде: ВК>СР или СР<ВК.

Важно помнить, что каждый отрезок имеет точку, делящую его на две равные части и называющуюся серединой отрезка.

Например:

Точка В является серединой отрезка АС, поэтому АВ=ВС

А как же метод наложения используется при сравнении углов? Все очень просто!

В случае с углами достаточно наложить вершины углов и любую из сторон, если при этом получается наложенным весь угол, то такие углы называют равными.

При наложении угла 2 на угол 1 на первом рисунке, совпадают вершины, стороны угла, такие углы называют равными.

Записывается в таком виде: ∠1=∠2.

В случае, когда стороны не совпадают, один угол считается больше второго, ∠2>∠1 или∠1<∠2

На втором рисунке видно, что вершина и сторона угла совпадают при наложении, а вторые стороны угла не совпадают. Тогда считается, что угол 2 больше, чем угол1.

Записывается в таком виде:∠2>∠1

Виды углов

С углами, отрезками и методом сравнения без использования вычислений мы познакомились. Теперь давайте узнаем, какие бывают виды углов в зависимости от градусной меры.

• Острый. Градусная мера <90 ˚

• Прямой. Градусная мера =90 ˚

• Тупой. Градусная мера >90 ˚

• Развернутый. Градусная мера =180 ˚. Развернутый угол, состоит из двух прямых углов.

Когда углы дополняют один другого, то они могут быть смежными углами и вертикальными углами.

Смежные углы – углы, у которых есть общая сторона, а из оставшихся сторон получается прямая линия.

Например:

Углы ∠ АСР и ∠РСВ являются смежными, так как сторона СР одна на двоих, а из сторон АС, СВ получается прямая линия. Сумма смежных углов равна 180 ˚.

Если стороны углов продолжают друг друга, составляя при этом прямые линии,то эти углы вертикальные.

Например:

Лучи углов 1 и 2 составляют прямые, поэтому они являются вертикальными, как и углы 3, 4.

Помните! Всегда вертикальные углы равны между собой: ∠1=∠2, ∠3=∠4.

Зная, что такое угол, из каких фигур он состоит,сделаем предположение, что из вершины угла можно провести большое количество лучей, но только один луч обладает интересным свойством – делит угол на два одинаковых угла и называется биссектрисой.

Делаем вывод, что биссектриса – луч, выходящий из вершины угла и делящий его ровно пополам. Основным свойством такого луча является равноудаленность от сторон угла всех точек, лежащих на нем.

Например:

Рассмотрим развернутый угол АСВ. Из вершины С проведем луч СМ, делящий его на два одинаковых угла – это и будет биссектриса. Каждая точка, лежащая на биссектрисе, находится на равном расстоянии от сторон угла.

Перпендикулярные и параллельные прямые

И наконец, узнаем про перпендикулярные и параллельные прямые.

Важно помнить, что прямые либо пересекаются в одной общей точке, либо не пересекаются вообще.

Когда прямые при пересечении образуют угол 90˚ их называют перпендикулярными прямыми.

Например:

Записывают: а⊥b

Если прямые никогда не пересекаются на плоскости, то их называют параллельными.

Например:

Прямые а, b – параллельны. Записывается: а||b

Интересные сведения о геометрии

• Египет стал родиной геометрии 4000 лет назад. Геродот, живший 2500 лет назад, в своих трудах указывал, что при дворе царя находились специальные люди, называющиеся геометрами. В их обязанности входило измерение земель жителей для дальнейшего начисления налога. Река Нил постоянно заливала земельные наделы, а для правильного расчета налога нужно использовать точные размеры участка. Поэтому геометры были востребованными и уважаемыми людьми.
• Для древних людей большое значение имела форма окружающих вещей. Благодаря различиям форм и цвета люди отличали вкусные дары природы от невкусных (грибы, ягоды, корневища), хорошую древесину для изготовления различных изделий от непригодной и так во всех сферах жизни. Редким лакомством были кокосы, которые имели форму шара. Кристаллы соли представляли в виде куба. Так ежедневно, в домашних хлопотах, человечество постигало науку геометрию.
• Имеется научное подтверждение, что двести тысяч лет назад уже использовались предметы различных форм, напоминающие геометрические фигуры. Названий фигур люди не знали, использовали сравнительные характеристики: такая, как солнце, такое, как ягода.                           
• При строительстве первых деревянных домов древние люди стали все глубже разбираться в геометрии: как сделать ровные и одинаковые стены, крышу правильной формы, необходимые размеры, формы строительного материала. Бессознательно население изучало геометрию: женская часть кроила и шила носильные вещи, мужчины изготавливали копья, бумеранги сложных геометрических форм.