Математика

Урок 6: Деление и умножение дробей

Деление и умножение дробей

Наташа, вместе с бабушкой, решила засеять прямоугольную грядку, под окнами дома, красивыми цветами. Грядка была готова, осталось только приобрести семена. Девочка с радостью пошла в ближайший магазин за семенами цветов. Но продавец огорчил Наталью своим вопросом: «Какую площадь вы планируете засеять цветами? Это обязательно нужно учитывать, для определения нужного количества семян». Что ответить продавцу, девочка не знала и расстроенная вернулась домой. Бабуля сделала необходимые замеры и сообщила, что длина клумбы составила 5/8 метра, а ширина – 3/4 метра. Остальные расчеты поручила выполнить внучке, так как сама пошла в гости. Наташа сразу взялась за дело, она вспомнила, что для определения площади нужно найти произведение длины и ширины фигуры. Но как умножаются обыкновенные дроби с разными знаменателями, девочка не знала. Выручил папа, он провел простые вычисления и сообщил, что площадь клумбы равна 15/32 метров квадратных. Теперь, продавец дал необходимое количество семян и пожелал удачных всходов! А какие вычисления провел папа девочки, узнаем, изучив сегодняшний урок.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Умножение обыкновенных дробей

Нахождение дроби от числа

Деление обыкновенных дробей

Нахождение числа по заданному значению его дроби

Дробные выражения

 

Умножение обыкновенных дробей

Разберем ситуацию.

На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?

1adghshf
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:

2wetwry

числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:

d1wetwry

Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить  3/16 килограмма сахарного песка.

 

Нахождение дроби от числа

Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.

Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?

3wetwry
Источник

Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:

4wetwry

Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:

48 : 8 = 6.

6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :

6 × 7 = 42.

Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.

Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.

В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.

Способ 2.

По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:

5wetwry

Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:

d2wetwry

Мальчик нарисовал 42 рисунка.

Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.

 

Деление обыкновенных дробей

Разберем пример.

Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.

6hsfhd
Источник

По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».

В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.

Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила

7wetwry

Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:

d3wetwry

Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!

 

Нахождение числа по заданному значению его дроби

В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев.До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?

8fjdgjdjg0
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:

9wetwry

Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:

d5wetwry

В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:

594 : 6 = 99.

Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.

В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.

 

Дробные выражения

Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения: 

d6wetwry

то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!

Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.

Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .

Например:

10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.

Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.

d7f10wetwry

Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!

 

Знаешь ли ты?

1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.

2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.

3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.

4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).

5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей нужно:
1найти произведение числителей и записать в числитель результата, а найденное произведение знаменателей, записать в знаменатель результата
2найти произведение числителей, а знаменатель оставить без изменений
3перемножить знаменатели, а числители сложить
Ответить
1
Вопрос: 2
Чтобы найти дробь от числа нужно:
1разделить данное число на известную дробь
2умножить число на данную дробь
3найти разность числа и дроби
Ответить
2
Вопрос: 3
Продолжите фразу: «При делении обыкновенных дробей делимое …»
1делим на числитель делителя
2умножаем на числитель делителя
3умножаем на дробь обратную делителю
Ответить
3
Вопрос: 4
Как найти число по заданному значению его дроби?
1заданное значение умножить на дробь
2заданное значение разделить на дробь
3дробь разделить на заданное значение
Ответить
2
Вопрос: 5
Укажите пункт, в котором все выражения являются дробными:
11/2, 3 × 4, 5/9
27/11, 6-2, 5+8
33/4, 7/2,9/10
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей нужно:
1) найти произведение числителей и записать в числитель результата, а найденное произведение знаменателей, записать в знаменатель результата 2) найти произведение числителей, а знаменатель оставить без изменений 3) перемножить знаменатели, а числители сложить
2 вопрос:

Чтобы найти дробь от числа нужно:
1) разделить данное число на известную дробь 2) умножить число на данную дробь 3) найти разность числа и дроби
3 вопрос:

Продолжите фразу: «При делении обыкновенных дробей делимое …»
1) делим на числитель делителя 2) умножаем на числитель делителя 3) умножаем на дробь обратную делителю
4 вопрос:

Как найти число по заданному значению его дроби?
1) заданное значение умножить на дробь 2) заданное значение разделить на дробь 3) дробь разделить на заданное значение
5 вопрос:

Укажите пункт, в котором все выражения являются дробными:
1) 1/2, 3 × 4, 5/9 2) 7/11, 6-2, 5+8 3) 3/4, 7/2,9/10
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: найти произведение числителей и записать в числитель результата, а найденное произведение знаменателей, записать в знаменатель результата
2 вопрос: умножить число на данную дробь
3 вопрос: умножаем на дробь обратную делителю
4 вопрос: заданное значение разделить на дробь
5 вопрос: 3/4, 7/2,9/10