Математика

Урок 7: Масштаб, соотношение чисел

Масштаб, соотношение чисел

Ученики шестого класса заинтересовались картой мира. Ребята, на перемене, стоя у доски, долго рассматривали океаны, материки, горные вершины, пустыни. После, перешли к изучению обозначений и символов, нанесенных на карту. Вдруг, Макар заметил, в верхнем правом углу рассматриваемого изображения, имеются непонятные цифры – 1:20 000 000. Мальчик спросил у одноклассников, что обозначает странная надпись на карте. Школьники не смогли дать ответ на вопрос Макара. В этот момент прозвенел звонок, в класс вошел учитель. Мальчик поднял руку и задал свой вопрос. Учитель объяснил детям, что цифры на карте обозначают масштаб, то есть, отношение размера рисунка к реальному размеру. Проще говоря, запись 1:20 000 000 показывает, что отрезок в 1см на карте соответствует отрезку 20 000 000 см на местности. И посоветовала ребятам внимательно изучить тему отношения и пропорции на сайте «100urokov.ru». Сегодня на уроке рассмотрим, на простых и понятных примерах, как найти отношение двух чисел, как звучит определение пропорции, что такое прямая и обратная пропорциональная зависимость, и что скрывается за непонятным словом «масштаб».

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Отношение двух чисел

Определение пропорции

Масштаб

 

Отношение двух чисел

На уроке математики ребята выполняли самостоятельную работу. На решение самостоятельных заданий Наталья Ивановна выделила 15 минут, после чего попросила сдать тетради на проверку. Подумайте, какую часть урока заняла самостоятельная работа?

1proverochnye123
Источник

Чтобы дать ответ на данное задание, давайте вспомним, какую продолжительность имеет обычный урок? Всем известно, что стандартный урок длится 45 минут. Получается, из 45 минут только 15 дети решали самостоятельную работу. Следовательно, нужно выяснить, какая часть целого урока потрачена на самостоятельную работу. В арифметике для вычисления части от числа или определения во сколько раз одно число больше другого существует специальное понятие «Отношение чисел»:

2sdgdsg

Исходя из рассмотренного определения, необходимо составить отношение длительности самостоятельной работы к длительности целого урока. Таким образом, ответим на главный вопрос задачи. Запишем отношение (частное) двух чисел:

15/45– данную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 15.

15/45 = 1/3.

Выходит, что на самостоятельную работу класс потратил 1/3 всего урока.

Важно помнить, что числовое значение отношения чисел останется прежним, если каждый компонент отношения умножить или разделить на одно и то же число.

Например:

Давайте,составляющие отношения 6/7 умножим на 2, то есть на дробь 2/2.

6/7 × 2/2 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель);

Получаем:

6×2/7×2 = 12/14 – при сокращении на 2, получим исходную дробь.

Следовательно, числовое значение дроби не изменилось – 6/7 = 12/14.

При составлении отношений с использованием различных чисел и величин, важно помнить, что отношение будет верным, если все компоненты отношения выражены в одинаковых единицах измерения.

Разберем на примере.

В вазочке находился один килограмм конфет. Бабушка отсыпала 300 граммов сладостей в пакет. Определите, какую часть всех конфет отсыпала бабушка?

3hsfhfh319020
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно составить отношение массы отсыпанных конфет к общей массе сладостей: 300 граммов/1 килограмм. Сразу определить числовое значение отношения не можем, составляющие имеют разные единицы измерения массы – грамм и килограмм. Выразим один килограмм в граммах:

1кг = 1000 грамм

Теперь определим, какую часть составили отсыпанные сладости:

4sdgdsg

Бабушка отсыпала 3/10 всех сладостей в пакет.

Запомни!

Если a и b числовые значения или значения, выраженные в одной и той же величине, тогда:

  • отношение a/b, будет равно частному a и b;
  • при условии, что a>b, отношение a/b говорит, во сколько раз a больше, чем b;
  • при условии, что a<b, отношение a/b говорит, какую часть a составляет от b.

 

Определение пропорции

Руководитель детского хореографического кружка, для пошива костюмов своим воспитанникам, приобрел в магазине тканей 10 метров шелка, на сумму 420 рублей. Но купленной ткани не хватило. Какую сумму нужно потратить, чтобы купить еще 5 метров такого же материала?

5dfjhgfj
Источник

Данную задачу можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них подробно.

1 способ.

По условию нам известно, что 10 метров материала, стоит 420 рублей. Отсюда можно узнать цену одного метра. Для этого, общую сумму(420) необходимо разделить на количество приобретенной ткани(10):

420 : 10 = 42 рубля стоит один метр ткани.

Зная цену одного метра ткани, можно узнать стоимость пяти метров. Для этого стоимость одного метра (42), умножаем на количество таких метров (5):

42 × 5 = 210 рублей необходимо, для покупки 5 метров материала.

Этот способ известен еще из начальной школы. Но далеко не все задачи такого вида можно решить первым способом.

 В этом случае используют второй способ решения задач такого вида.

2 способ.

Вначале, запишем краткое условие.

10м. – 420 р.

 5м. – ? р.

Теперь нужно подумать. В нашем случае, количество материала уменьшается, следовательно,уменьшается стоимость покупки. Обозначим цену пяти метров материала – х.

Имеем,

10 – 420.

  5 – х.

Для решения задач такого вида в математике существует специальное определение – «Пропорция»

6sdgdsg

Используя рассмотренное определение, подумаем, как составить пропорцию из чисел? Формировать пропорцию будем, опираясь на краткую запись условия задачи – десять относится к пяти как четыреста двадцать к иксу:

10/5 = 420/х.

Пропорция составлена и возникает вопрос, как вычислить неизвестный компонент?

Для вычисления неизвестной составляющей пропорции существует правило, которое называется «Основное свойство пропорции»:

7sdgdsg

Определим крайние и средние члены в составленном равенстве:

Крайними членами пропорции будут числа 10, х.

Средними членами пропорции будут числа 5, 420.

Запишем равенство произведений крайних и средних членов в составленной пропорции:

10/5 = 420/х;

10х = 5 × 420 – высчитываем произведение;

10х = 2100 – решаем как обычное уравнение;

х = 2100 : 10;

х = 210.

Выходит, 210 рублей необходимо для приобретения пяти метров материала.

Вот так на примере решения задачи мы разобрали новое определение. Запомните, пожалуйста, все правила и поиск неизвестного компонента в любых отношениях и пропорциях будет для вас только развлечением!

Продолжаем дальше знакомиться с пропорцией.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость.

Рассмотрим ситуацию, в которой оказывается каждый, попадая в магазин.

8gfkfhk8
Источник

Витя пришел в магазин за покупками. В кошельке ребенка лежало 300 рублей. Витя купил хлеб, молоко, масло, заплатил за товар. Денег у мальчика стало меньше. После посещения кондитерского отдела, где он купил карамель, пирожные, рулет денег стало совсем мало. Делаем вывод: чем больше покупок делает мальчик, тем меньше денег у него остается.

9sdgdsg

Значит, количество денег в нашем кошельке и количество покупок имеют обратно пропорциональную зависимость и являются обратно пропорциональными величинами.

А если взять ситуацию с оплатой за пользование водой и электроэнергией

10d Electricity
Источник

Чем больше воды/электроэнергии мы используем, тем больше должны заплатить. В таком случае величины кубы воды/киловатты электроэнергии и денежные единицы называются прямо пропорциональными и имеют прямую пропорциональную зависимость.

11sdgdsg

 

Масштаб

Мама с Арсением решили нарисовать путь, который проходит мальчик, идя из дома в школу. Ребенок заволновался: «Как можно на листке бумаги нарисовать 450 метров пути?». Мама успокоила сына и рассказала, что именно для таких случаев и используется определение масштаба карты.

12sdgdsg

Рассмотрим решение задачи с использованием масштаба.

Расстояние на карте от Москвы до Киева составляет пять сантиметров. Вычислите, сколько километров от Москвы до Киева, если масштаб карты 1:15 000 000.

13fjdjgd5d16c73 i 3149
Источник

В первую очередь, нужно понимать, что масштаб 1:15 000 000 показывает, что 1 см карты содержит 15 000 000 сантиметров или 150 километров на местности.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи,составим пропорцию. Для этого, расстояние на местности от Москвы до Киева примем за х:

1 : 150 = 5 : х.

Помним, произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Имеем:

х= 150 × 5;

х = 750.

Выходит, 750 километров – расстояние от Москвы до Киева.

Расчеты оказались верными. Вся справочная литература говорит о том, что расстояние Москва – Киев составляет примерно 755 км!

Теперь вы совершенно самостоятельно можете рассчитать абсолютно любое расстояние, имея под рукой линейку и карту!

 

Интересно!

С пропорциями мы сталкиваемся, ежедневно, ежеминутно. Все в нашем мире пропорционально. Любая вещь, предмет, техника, животные, растения – все имеет свои пропорции! Мы можем любоваться красивой архитектурой – благодаря пропорциям, наслаждаться цветками роз или ромашек – тоже не без участия пропорций. Природа создает все в строгой пропорциональности. В случае, когда пропорции отсутствуют, вещь или предмет нам кажутся неправильными. Ведь даже в нашем теле все имеет свои пропорции:

  • длина ладони равна длине четырех пальцев, длина четырех ладошек(без учета пальцев) равна длине стопы, шесть ладоней – длина локтя, а четыре локтя в точности укажут на рост хозяина;
  • длина человеческой ладони с пальцами составляет 1/10 роста человека;
  • длина расставленных в стороны рук совпадает с длиной человеческого тела;
  • стопа составляет 1/7 часть роста;
  • длина от корней волос до кончика подбородка равна 1/10 роста.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Частное двух чисел называют:
1пропорцией
2отношением
3делением
Ответить
2
Вопрос: 2
Пропорция – это…
1равенство двух сумм
2равенство двух разностей
3равенство двух отношений
Ответить
3
Вопрос: 3
Подумайте, какую пропорциональную зависимость имеют числовые значения: количество гостей на празднике и количество съеденного угощения?
1прямую пропорциональную зависимость – чем больше гостей, тем больше останется угощения
2обратно пропорциональную зависимость – чем больше гостей, тем меньше угощения останется после праздника
3не имеет пропорциональной зависимости
Ответить
2
Вопрос: 4
Как называются компоненты в пропорции?
1крайние и средние члены пропорции
2слагаемые пропорции
3числители и знаменатели пропорции
Ответить
1
Вопрос: 5
Выберите верную формулировку основного свойства пропорции:
1сумма крайних членов пропорции, равна сумме средних членов пропорции
2произведение крайних членов пропорции, равно произведению средних
3разность крайних членов пропорции равна разности средних членов пропорции
Ответить
2
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Частное двух чисел называют:
1) пропорцией 2) отношением 3) делением
2 вопрос:

Пропорция – это…
1) равенство двух сумм 2) равенство двух разностей 3) равенство двух отношений
3 вопрос:

Подумайте, какую пропорциональную зависимость имеют числовые значения: количество гостей на празднике и количество съеденного угощения?
1) прямую пропорциональную зависимость – чем больше гостей, тем больше останется угощения 2) обратно пропорциональную зависимость – чем больше гостей, тем меньше угощения останется после праздника 3) не имеет пропорциональной зависимости
4 вопрос:

Как называются компоненты в пропорции?
1) крайние и средние члены пропорции 2) слагаемые пропорции 3) числители и знаменатели пропорции
5 вопрос:

Выберите верную формулировку основного свойства пропорции:
1) сумма крайних членов пропорции, равна сумме средних членов пропорции 2) произведение крайних членов пропорции, равно произведению средних 3) разность крайних членов пропорции равна разности средних членов пропорции
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: отношением
2 вопрос: равенство двух отношений
3 вопрос: обратно пропорциональную зависимость – чем больше гостей, тем меньше угощения останется после праздника
4 вопрос: крайние и средние члены пропорции
5 вопрос: произведение крайних членов пропорции, равно произведению средних