Математика

Урок 5: Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей

Внимательно изучив сегодняшний урок, вы узнаете, как вычитать дроби с разными знаменателями, как выполнять сложение смешанных чисел, а так же найдете ответы на многие другие вопросы.

План урока:

Сложение дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сложение смешанных чисел

 

Мила очень любит домашних животных, именно поэтому, у неё дома живут два замечательных котенка - Рик и Мик. Девочка самостоятельно ухаживает за котятами, балует своих любимцев. Но когда она уходит в школу за питомцами присматривает мама. Сегодня Мила вернулась со школы и увидела на столе записку от мамы: « Доченька, я покормила котят. Рику досталось две пятых банки корма, а Мике три четвертых. Может кто-то из них остался голодным – дай добавки». Мила заволновалась, как понять, кому досталось больше, а кого еще нужно покормить? Девочка вспомнила, что сегодня на уроке математики они решали похожие задания, но Мила была занята своим смартфоном и не особо разбиралась в изучаемой теме.

На помощь пришла бабушка, она что- то быстро написала на тетрадном листочке и сказала внучке, что по её расчетам Рик скушал 15/20 корма, а его друг всего 8/20. Поэтому добавки нужно дать Мику. Вот тут Мила и поняла, как важно уметь  складывать дроби с разными знаменателями.  

Сложение дробей с разными знаменателями

Например:

В бассейне установлена новая система фильтрации. За один час первая труба наполняет бассейн на одну четвертую часть, а вторая труба на одну шестую. Какая часть бассейна будет заполнена водой, если в течение одного часа одновременно будут работать обе трубы?

1

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно суммировать части заполнения бассейна, при одновременной работе обеих труб. Получается, нам необходимо суммировать одну четвертую и одну шестую. Стоит обратить внимание, на то, что цифры, стоящие под чертой отличаются. Возникает вопрос «Как сложить дроби с разными знаменателями?».

Для решения заданий такого типа, в математике применяют специальный порядок действий.

2

Учитывая рассмотренный порядок, вычислим сумму:

  • Определим НОЗ для одной четвертой и одной шестой. Для этого четыре и шесть представим в виде составляющих:

3

Сейчас, определим число, на которое нужно умножить каждую составляющую математического выражения. Для этого, вычислим частное найденного НОЗ и четырех, а после – шести:

4

Значит, оба компонента в записи одна четвертая, будем умножать на три, а обе составляющие записи одна шестая на два. Вспоминаем, как привести дробей к общему знаменателю:

5

Получается, 

6

Теперь можно суммировать найденные выражения с одинаковыми цифрами под числителем, этим действием мы узнаем, на сколько заполнится водой резервуар. Применим определение:

7

Выполняем: 

8

В случае одновременной работы двух труб, за один час наполнится водой бассейна.

 

Вычитание дробей с разными знаменателями

Разберем ситуацию:

На стройке первый каменщик выложил камнем три восьмых фундамента дома, второй работник сделал на одну девятую меньше, чем первый. Какую часть фундамента выложил камнем второй каменщик?

9

На первый взгляд задача очень простая. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо найти разность двух данных значений. Но известные дробные выражения имеют разные цифры, находящиеся под числителем. Как же вычитать дроби с разными знаменателями?

Для выполнения заданий такого типа, применяется определенный алгоритм:

10

Для проведения вычислительных операций, применим изученное правило.

Для начала, определим НОЗ для одной девятой и трех восьмых.Для этого разложим числа девять и восемь на компоненты:

11

В полученных разложениях повторяющихся составляющих нет. Следовательно, находим произведение всех имеющихся чисел:

12

Далее, определим число, на которое нужно умножить каждую запись. Для этого разделим найденный НОЗ на цифру, стоящую внизу первой, а потом второй дроби:

13

Умножим оба компонента в записи три восьмых на девять, а компоненты в записи одна девятая на восемь:

14

Мы преобразили данные числа, и выяснили, что один работник сделал двадцать семь семьдесят вторых всей работы,а другой – неизвестно, на восемь семьдесят вторых меньше. Нужно выяснить, какую долю всего объема работы сделал второй рабочий. Ответить на данный вопрос можно с помощью вычитания. Вспоминаем правило:

15

Учитывая рассмотренное определение, найдем разность:

дроби надо прописать

Получается, второй каменщик выложил камнем 19/72 всего фундамента.

Мы рассмотрели, как правильно выполнить сложение и вычитание дробей с разными числовыми значениями, находящимися под дробной чертой. А как же сравнить две дроби, имеющие разные числа, стоящие под числителем?

Сравнение дробей с разными знаменателями

Выполним задание

Сравните 7/25 и 8/20.

Полученное задание, моментально ставит в тупик. Сразу возникает вопрос «Как выполнить сравнение дробей, ведь знаменатели разные?». Арифметика предусмотрела такие вопросы и приготовила правило, запомнив, которое можно выполнять любые сравнения:

16

16.2
16.3
16.4

 

Сложение смешанных чисел

Разберем ситуацию.

Для заготовки одной банки консервированных овощей нужно взять 1  килограмма огурцов и 1  килограмма помидоров. Сколько всего килограммов овощей нужно подготовить для консервирования одной банки овощей?

17

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам следует найти общую массу огурцов и помидоров.  Мы видим, что количество томатов и огурцов представлены в виде смешанных чисел:

18

Чтобы посчитать требуемую массу, нужно выполнить сложение смешанных чисел. Для этого, мы должны отдельно сложить все компоненты. Однако, дробные части, отличаются цифрами под дробной чертой, поэтому используем правило:

19

Следуя правилу, приведем составляющие смешанных чисел к общему значению, стоящему под числителем. Так как два и три являются взаимно простыми числами, то НОЗ будет равен произведению данных чисел:

НОЗ(2;3) = 2×3 =6.

Соответственно, две третьих необходимо умножить на два, а одну вторую нужно умножить на три.

20

В результате получили дроби с одинаковыми знаменателями.

Найдем сумму значений:

21.2

22

Вначале, найдем НОЗ для трех восьмых и шести седьмых. Разложим цифры, стоящие под чертой на составляющие:

23

Расклады, не имеют общих составляющих, поэтому числа являются взаимно простыми, значит, их произведение и будет НОЗ:

24

Определим дополнительные множители:

56 : 8 = 7 ;

56 : 7 = 8.

Приведем дроби к общему числовому значению под числителем:

25

Пока провести операцию, отвечающую на главный вопрос задачи не представляется возможным, ведь составляющая уменьшаемого, представленная в виде дроби, меньше, чем вычитаемого. Используя изученное определение, представим 4*(21/56) в виде дробного числа, в котором значение над чертой будет больше, чем под нею. Для этого представим в виде суммы:

26

27

 

Интересные факты

  • Самая большая снежинка, согласно сообщениям ученых в диаметре достигла одной второй (половины) метра, а в толщине одной пятой метра или 20 сантиметров.
  • Самый большой слиток золота в мире равен одной четвертой тонны, то есть 250 килограммов.
  • 97/100 всей воды в мире, является соленой и не пригодной для использования в пищу,две сотых всей мировой влаги – ледники, её использование так же невозможно. Только одна сотая живительной влаги годится для употребления человеку.
  • Наша планета на три четвертых состоит из жидкости, когда космонавты впервые увидели землю из открытого космоса, она показалась им голубым шаром. С тех пор Землю и называют «голубой планетой».
  • Согласно заявлениям экологов,человеком, на земле уже уничтожено четыре пятых всех лесных массивов.
  • Обычная блоха в прыжке преодолевает расстояние, превышающее её длину в 130 раз. Если бы блоха имела рост 1 м 80 см, то её прыжок составлял бы одну четвертую километра или 250 метров.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чтобы сложить дроби 1/4 и 5/9 нужно:
1привести дроби к общему знаменателю
2отдельно сложить числители, а отдельно знаменатели
3сложить числители, а знаменатели оставить без изменения
Ответить
1
Вопрос: 2
Смешанное число – это…:
1число, состоящее из целой и дробной части
2число, состоящее из числителя и знаменателя
3число, состоящее из 3 цифр
Ответить
1
Вопрос: 3
Чтобы найти сумму двух смешанных чисел нужно:
1сложить целые части, а дробные оставить без изменения
2сложить дробные части, а целые оставить без изменения
3отдельно сложить целые части и отдельно сложить дробные части
Ответить
3
Вопрос: 4
Вычислите разность ½ - ¼:
11/5
21/4
31/8
Ответить
2
Вопрос: 5
Выберите верное равенство:
11*3/5 < 2*3/5;
24/5 = 5/9
31*3/5 > 2*3/5
Ответить
1
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чтобы сложить дроби 1/4 и 5/9 нужно:
1) привести дроби к общему знаменателю 2) отдельно сложить числители, а отдельно знаменатели 3) сложить числители, а знаменатели оставить без изменения
2 вопрос:

Смешанное число – это…:
1) число, состоящее из целой и дробной части 2) число, состоящее из числителя и знаменателя 3) число, состоящее из 3 цифр
3 вопрос:

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел нужно:
1) сложить целые части, а дробные оставить без изменения 2) сложить дробные части, а целые оставить без изменения 3) отдельно сложить целые части и отдельно сложить дробные части
4 вопрос:

Вычислите разность ½ - ¼:
1) 1/5 2) 1/4 3) 1/8
5 вопрос:

Выберите верное равенство:
1) 1*3/5 < 2*3/5; 2) 4/5 = 5/9 3) 1*3/5 > 2*3/5
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: привести дроби к общему знаменателю
2 вопрос: число, состоящее из целой и дробной части
3 вопрос: отдельно сложить целые части и отдельно сложить дробные части
4 вопрос: 1/4
5 вопрос: 1*3/5 < 2*3/5;