Геометрия

Урок 4: Параллельные прямые

Параллельные прямые и признаки параллельности двух прямых

С древнегреческого языка термин параллельность переводится как «идущие рядом». В повседневной жизни его часто употребляют относительно передвижений кораблей или проведения каких-нибудь работ. Однако изначально он появился в геометрии. Из сегодняшнего урока мы узнаем, какие прямые называют параллельными, а также важные свойства и признаки этих прямых.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Определение параллельных прямых

Аксиома параллельности

Секущая

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Признаки параллельности прямых

Расстояние между параллельными прямыми

Способы построения параллельных прямых

 

Определение параллельных прямых

Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:

1ewewe

Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:

2trtwete

Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.

Дадим определение параллельных прямых:

3eqeqe

Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.

Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:

4faf

Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.

5fsfsf

Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:

6ueue

Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.

 

Аксиома параллельности

Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:

7iiri
8uiri

На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.

Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано. Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.

В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию. В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми. Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.

Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:

9ujuru

Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:

10twtwt

В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.

 

Секущая

11ooo

При этом она образует 8 углов:

12iii

Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:

13iii

Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:

14iiii

Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:

15iii

Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними. Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами. А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.

 

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Докажем следующее утверждение:

16uuuu

На рисунке это будет выглядеть так:

17iii

Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:

18iii

Доказательство построено на методе «от противного». Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c. При этом отражение А обозначим как А'. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A'DK также равен 90°. Тогда ∠А'DА=∠ADK+∠A'DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА') является прямой. Тоже самое можно доказать и для линии АKА'.

Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.

 

Признаки параллельности прямых

По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:

19iii

Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.

20iii

Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:

21iii

Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).

Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, равны ∠АОК и ∠НОВ, поэтому они являются вертикальными.Это означает, что Н, О и К располагаются на одной прямой. Во-вторых, угол ∠ОКА=∠ВНО=90°. Следовательно, отрезок HK перпендикулярен и к a, и к b. Поэтому a||b.

Второй признак формулируется так:

22iii
23iii

Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.

Третий признак звучит так:

24iii
25iii

Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:

∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.

Расстояние между параллельными прямыми

Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:

26iii
27iii

На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:

28iiii

Опустим из двух произвольных точек D и D', принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K'. Kи D' соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD'и KK'D'. У них есть общая сторона KD'. ∠D'KK' и ∠KD'D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD'=∠KD'K'. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам. Из это следует, что DK=D'K'.

Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.

 

Способы построения параллельных прямых

На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.

Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:

29iii
Источник

В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?

Рассмотрим такую задачу: дана прямая a и точка D, не лежащая на ней. Требуется построить через D такую b, что a||b:

30iii

Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K'.

31iii

Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK'. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F':

32iii

Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F'):

33iii

На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M' точки, где она пересекается с FF':

34iii

Последний шаг. Проводим из M и M' окружности, чьи радиусы равны MM'. Они пересекутся в двух точках, V и V'. Прямая VV' будет параллельна исходной прямой a:

35iii

Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.

Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:

  • рельсы, по которым ездят локомотивы и поезда;
  • шпалы, лежащие под этими рельсами;
  • полосы движения на автомагистралях
  • колонны, поддерживающие фасады зданий.

Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Сколько прямых, параллельных прямой d, можно провести через точку О, если она не принадлежит d:
1Ни одной
2Всегда только одну
3Две
4В зависимости от выбранной точки: либо одну, либо ни одну
Ответить
2
Вопрос: 2
Под каким вторым названием известна в геометрии аксиома параллельности:
1Пятый постулат
2Теорема Пифагора
3Четвертый постулат
4Восьмой постулат
Ответить
1
Вопрос: 3
Если отрезок AB перпендикулярен CD, а также перпендикулярен EF, то тогда верно следующее утверждение:
1CD пересекает EF в точке A
2EF пересекает CD в точке B
3CD||EF
4CD перпендикулярен EF
Ответить
1
Вопрос: 4
Сумма каких углов при параллельных прямых составляет 180°:
1Накрест лежащих
2Соответственных
3Прямых
4Односторонних
Ответить
4
Вопрос: 5
Что означает свойство транзитивности отношения параллельности?
1Если a||b, аb||c, то a||c
2Если a⊥b и a⊥c, то b∥c
3Сумма двух внутренних углов равна 90°
4Длина перпендикуляра, опущенного на две параллельные прямые, неизменна
Ответить
1
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Сколько прямых, параллельных прямой d, можно провести через точку О, если она не принадлежит d:
1) Ни одной 2) Всегда только одну 3) Две 4) В зависимости от выбранной точки: либо одну, либо ни одну
2 вопрос:

Под каким вторым названием известна в геометрии аксиома параллельности:
1) Пятый постулат 2) Теорема Пифагора 3) Четвертый постулат 4) Восьмой постулат
3 вопрос:

Если отрезок AB перпендикулярен CD, а также перпендикулярен EF, то тогда верно следующее утверждение:
1) CD пересекает EF в точке A 2) EF пересекает CD в точке B 3) CD||EF 4) CD перпендикулярен EF
4 вопрос:

Сумма каких углов при параллельных прямых составляет 180°:
1) Накрест лежащих 2) Соответственных 3) Прямых 4) Односторонних
5 вопрос:

Что означает свойство транзитивности отношения параллельности?
1) Если a||b, аb||c, то a||c 2) Если a⊥b и a⊥c, то b∥c 3) Сумма двух внутренних углов равна 90° 4) Длина перпендикуляра, опущенного на две параллельные прямые, неизменна
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Всегда только одну
2 вопрос: Пятый постулат
3 вопрос: CD пересекает EF в точке A
4 вопрос: Односторонних
5 вопрос: Если a||b, аb||c, то a||c