Информатика

Урок 1: Системы счисления

Системы счисления

Представить нашу жизнь без цифр сложно – числа помогают выражать, измерять, отслеживать не только различные физические показатели, но и оценивать знания, степень распространения болезни и многое другое. А как человечество пришло к цифрам, почему все используют одинаковые знаки и существуют ли другие варианты счета.

План урока:

Системы счисления – виды, особенности

Непозиционные системы счисления, их особенности

Основные позиционные системы счисления, правила перевода

Шестандцатеричная система счисления

Арифметические операции в двоичной системе

Сравнение систем

Таблицы истинности

 

Развиваясь, древний человек стал испытывать потребность в способах выражения количества. Подсчет убитых животных, количество врагов или соседей – причин становилось все больше. Сначала люди использовали только понятия «один», «много». После стали использовать понятие «пара», чтобы обозначить два предмета, это намного облегчило жизнь.

Постепенно перешли к использованию подручных средств – пальцев на руках и ногах, зарубок на коре дерева, кости животного или узелков на канате. Именно такие примитивные «счетные машины» позволили через тысячи лет узнать, что предки умели не просто считать, но даже умудрялись фиксировать результаты подсчета.

Кроме зарубок и узелков появилась потребность в символах, выражающих большее количество чего-либо, чем «один». Тогда были придуманы первые знаки для выражения больших значений. Так, египтяне, использовали знаки для цифр 1, 5, 10. Число 324 в их системе выглядело так: 1 sistemy schisleniya

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

 

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

2 sistemy schisleniya
Источник

Все существующие системы делят на 2 группы:

  1. Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

  1. Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

12 – XII

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа.  Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

3 sistemy schisleniya
Источник

 

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

4 sistemy schisleniya
Источник

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

5 sistemy schisleniya
Источник

 

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

6 sistemy schisleniya
Источник

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

  1. Символы следует писать по убыванию слева направо.
  2. Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
  3. Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

7 sistemy schisleniya
Таблица римских цифр Источник

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

 

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

8 sistemy schisleniya
Источник

 

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

  1. Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
  2. Записать остатки, от последнего к первому.
  3. Первый ноль можно не писать.

0111 0100 11002 

Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток < или равен =.

9 sistemy schisleniya
Источник

10 sistemy schisleniya

 

Обратный алгоритм перевода из двоичной в десятичную систему счисления:

Записать число развернуто, то есть, сколько сотен, десятков и единиц в нем, но учитывая основу – 2

11 sistemy schisleniya

Объяснение. Развернутая форма записи 579: 5*102+7*101+9*100 = 57910.

12 sistemy schisleniya
Источник

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

  1. Умножить и суммировать полученные значения.

13 sistemy schisleniya

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

14 sistemy schisleniya

 

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

15 sistemy schisleniya

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

16 sistemy schisleniya

Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:

17 sistemy schisleniya

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

18 sistemy schisleniya

Восьмеричная СС

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

19 sistemy schisleniya
Источник

Пример: Перевести 5798 из десятичной в восьмеричную систему счисления:

20 sistemy schisleniya

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

11038 = 1∙83+1∙82+0∙81+3∙80 = 512+64+0+3 = 57910

 

Таблица степеней

21 sistemy schisleniya

Альтернативный вариант таблицы степеней 

22 sistemy schisleniya

 

Шестнадцатеричная СС

Это целочисленная система с основанием 16 (символы шестнадцатеричной системы счисления 0-9 и буквы A – F). Используется в реализации компьютерного программирования и документации на низком уровне, так как 8-битный байт, для записи которого удобно использовать 2 цифры из шестнадцатеричной системы.

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

23 sistemy schisleniya
Источник

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

24 sistemy schisleniya
Источник

 

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

25 sistemy schisleniya
Источник

26 sistemy schisleniya

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

 

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

27 sistemy schisleniya

Особенности арифметики СС с разными основами:

  • при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
  • если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
  • умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
  • заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

28 sistemy schisleniya

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

Сложение в 8-ой СС                                              в 16СС

29 sistemy schisleniya

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

30 sistemy schisleniya

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Рассмотрим сумму 438 и 5616. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:

 Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

31 sistemy schisleniya

Умножение в 8-ой СС

32 sistemy schisleniya

в 16СС

33 sistemy schisleniya

 

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

 

Сравнительная таблица разных систем счисления:

34 sistemy schisleniya

Перевод числа 75 в разные системы:

35 sistemy schisleniya

36 sistemy schisleniya
Источник

 

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

37 sistemy schisleniya
Источник

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 10010000112 

001 001 000 011

38 sistemy schisleniya

 

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

10010000112

0010 0100 0011

39 sistemy schisleniya
 Источник

40 sistemy schisleniya

 

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

41 sistemy schisleniya

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

42 sistemy schisleniya
Источник

 

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

43 sistemy schisleniya

44 sistemy schisleniya

 

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

 

Основные логические операции

45 sistemy schisleniya

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

46 sistemy schisleniya

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Найдите соответствующее 9D16 выражение в двоичной системе:
110011101
210011111
310101010
Ответить
1
Вопрос: 2
Найдите соответствующее 1010101010 выражение в восьмеричной системе:
11043
21252
31842
Ответить
2
Вопрос: 3
Какое число отвечает римскому LXVI:
144
266
388
Ответить
2
Вопрос: 4
Сколько знаков в римской системе счисления:
110
25
37
Ответить
3
Вопрос: 5
Выберите число 25 римскими цифрами, написанное правильно:
1XXV
2XXIIIII
3XXIIIIIX
4IIIIIXXX
5VXXL
6VVVVV
Ответить
1
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Найдите соответствующее 9D16 выражение в двоичной системе:
1) 10011101 2) 10011111 3) 10101010
2 вопрос:

Найдите соответствующее 1010101010 выражение в восьмеричной системе:
1) 1043 2) 1252 3) 1842
3 вопрос:

Какое число отвечает римскому LXVI:
1) 44 2) 66 3) 88
4 вопрос:

Сколько знаков в римской системе счисления:
1) 10 2) 5 3) 7
5 вопрос:

Выберите число 25 римскими цифрами, написанное правильно:
1) XXV 2) XXIIIII 3) XXIIIIIX 4) IIIIIXXX 5) VXXL 6) VVVVV
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 10011101
2 вопрос: 1252
3 вопрос: 66
4 вопрос: 7
5 вопрос: XXV