Геометрия

Урок 8: Функции тригонометрические

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Многие практические расчеты связаны с использованием особых тригонометрических функций. Первое представление о них можно получить, изучив обычный прямоугольный треугольник.

План урока:

Основные тригонометрические функции

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции стандартных углов

Поиск тангенса на квадратной решетке

 

Основные тригонометрические функции

Пусть есть некоторый прямоугольный треугольник АBС, у которого∠С = 90°. Обозначим какой-нибудь его острый угол, например, ∠А, греческой буквой α. В треугольнике есть два катета. Тот из них, который, непосредственно является одной из сторон угла α, называют прилежащим катетом. Другой катет именуют противолежащим. Ещё одна сторона треугольника – это гипотенуза, для которой не надо уточнять, прилежащая она или противолежащая относительно острого угла:

1 triginimetricheskie v treugolnike

Отношения этих трех сторон друг к другу имеют особое наименование.

2 triginimetricheskie v treugolnike

Для обозначения этих трех величин (их именуют тригонометрическими функциями) используют сокращения sin, cos и tg. При этом после этого сокращения может писаться как обозначение угла греческой буквой, так и обычное обозначение с помощью больших латинских букв:

3 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Найдите значения тригонометрических функций для∠А в ∆АBС, длины сторон которого указаны на рисунке:

4 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Просто пользуемся определениями каждой функции:

5 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Найдите величину тригонометрических функций угла∠В в ∆АBС, показанном на рисунке:

6 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. На первый взгляд кажется, что задание повторяет предыдущее, но это не так. В данном случае нам надо вычислять функции не для∠А, а для ∠В. Для него противолежащим катетом уже будет АС, а прилежащим – ВС. Тогда можно записать, что

7 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB имеет длину 10, а sinA = 0,2. Найдите величину ВС.

8 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Запишем синус как отношение двух сторон:

9 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. В прямоугольном ∆АBС АС = 8, cosA = 0,4. Какова длина гипотенузы АB?

10 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Выразим известный нам косинус как отношение двух отрезков:

11 triginimetricheskie v treugolnike

Принципиально важно то, что если в двух прямоугольных треугольниках острые углы одинаковы, то и значение их синусов, косинусов и тангенсов также будут одинаковы. Действительно, пусть у ∆АBС и ∆А1В1С1 одинаковы∠А и ∠А1, а ∠С и ∠С1 – прямые:

12 triginimetricheskie v treugolnike

Тогда у них совпадает по два угла, а это означает, что ∆АBС и ∆А1В1С1 подобны. Из этого подобия вытекает пропорция:

13 triginimetricheskie v treugolnike

Отсюда можно сделать вывод:

14 triginimetricheskie v treugolnike

Другими словами, значение тригонометрической функции угла зависит только от величины угла (его градусной меры) и НЕ зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике этот угол построен. Действительно, с помощью калькулятора или компьютера можно всегда посчитать синус для какого-то угла, если известна его величина в градусах.

 

Задание. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:

15 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Нам надо самостоятельно достроить угол до прямоугольного треугольника. Удобней всего просто построить вертикальную линию, длину которой будет удобно измерить с помощью клеточек. Например, можно сделать такое построение:

16 triginimetricheskie v treugolnike

Тогда тангенс можно получить, поделив вертикальный отрезок (он здесь оказывается противолежащим катетом) на горизонтальный:

17 triginimetricheskie v treugolnike

Заметим, что мы могли построить и треугольник с другими размерами, однако во всех случаях величина тангенса будет одной и той же:

18 triginimetricheskie v treugolnike

Ответ: 0,5

 

Задание. Постройте такой угол, что его тангенс будет равен 1,5.

Решение. Если тангенс равен 1,5, то это означает, что противолежащий катет в 1,5 раза длиннее прилежащего катета треугольника. В 1,5 раза отличаются, например, числа 2 и 3. Значит, если мы построим треугольник с катетами 2 и 3, то мы получим необходимый нам угол:

19 triginimetricheskie v treugolnike

 

Взаимосвязь между тригонометрическими функциями

Оказывается, что одну тригонометрическую функцию угла, например, синус, можно найти и все остальные функции, используя буквально две формулы. Для их вывода снова построим прямоугольный ∆АBС и обозначим его∠А как α:

20 triginimetricheskie v treugolnike

Запишем для α все 3 тригонометрические функции:

21 triginimetricheskie v treugolnike

Для вывода второй важной формулы возведем синус и косинус в квадрат, а потом сложим их:

22 triginimetricheskie v treugolnike

В итоге у нас получилось так называемое основное тригонометрическое тождество:

23 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Известно, что синус некоторого угла в прямоугольном треугольнике составляет 0,6. Найдите его косинус и тангенс.

Решение. Обозначим этот угол как α. По условию sin α = 0,6. С помощью основного тригонометрического тождества находим косинус:

24 triginimetricheskie v treugolnike

имеет не одно, а два решения: 0,8 и (– 0,8). Однако понятно, что так как все длины в геометрии – это положительные числа, то и их отношение также должно быть положительным. Поэтому в прямоугольном треугольнике тригонометрические функции могут быть только положительными, и корень (– 0,8) можно отбросить.

Далее находим тангенс:

25 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Известен косинус острого угла, который равен 7/25. Вычислите синус и тангенс угла.

Решение. Сначала определяем синус угла:

26 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Известен тангенс острого угла, он составляет 15/8. Найдите синус и косинус угла.

Решение. Данная задача сложнее двух предыдущих, так как две известные нам тригонометрические формулы не позволяют сразу по тангенсу вычислить две другие функции. Сначала используем формулу, в которой тангенс вообще присутствует:

27 triginimetricheskie v treugolnike

Мы смогли выразить синус через косинус. Теперь можно использовать и вторую формулу:

28 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь можно вычислить и синус:

29 triginimetricheskie v treugolnike

Заметим важное обстоятельство – так как гипотенуза всегда длиннее катетов, то и синус с косинусом в прямоугольном треугольнике всегда меньше единицы. На тангенс же подобных ограничений нет.

 

Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а cosA = 0,8. Вычислите длину ВС.

30 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Если бы нам был дан синус, мы могли бы сразу найти ВС, но нам известен косинус. Здесь можно предложить два алгоритма решения задачи. Первый метод заключается в том, что мы сначала находим синус, пользуясь тригонометрическими формулами:

31 triginimetricheskie v treugolnike

Второй метод решения задачи заключается в том, что сначала с помощью косинуса найти неизвестный катет АС:

32 triginimetricheskie v treugolnike

 

Тригонометрические функции стандартных углов

Итак, мы выяснили, что тригонометрические функции зависят от градусной меры угла. Попытаемся вычислить их для некоторых стандартных значений.

Начнем с угла в 30°. Построим прямоугольный ∆АBС с∠А = 30°:

33 triginimetricheskie v treugolnike

Ещё из 7-ого класса нам известно, что в таком треугольнике гипотенуза вдвое длиннее, чем катет, лежащий напротив угла в 30°:

34 triginimetricheskie v treugolnike

Далее можно найти и тангенс 30°:

35 triginimetricheskie v treugolnike

Вернемся к рассматриваемому нами ∆АBС, в котором∠А = 30°. Ясно, что другой его острый угол, ∠В, будет составлять 90 – 30 = 60°:

36 triginimetricheskie v treugolnike

Снова используем тот факт, что гипотенуза АB будет длиннее катета ВС в 2 раза:

37 triginimetricheskie v treugolnike

Ещё один стандартный угол, для которого легко можно рассчитать значение его тригонометрических функций – это 45°. Рассмотрим прямоугольный ∆АBС, в котором один из острых углов составляет 45°. Тогда и другой острый угол должен также составлять 45°, ведь их сумма в прямоугольном треугольнике равна 90°:

38 triginimetricheskie v treugolnike

Но если в треугольнике 2 угла одинаковы, то он – равнобедренный, то есть катеты АС и ВС равны:

39 triginimetricheskie v treugolnike

Итак, в результате нам удалось получить 9 стандартных значений, которые можно представить в виде единой таблицы тригонометрических функций:

40 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника, если известен один из его катетов (он равен a) и острый угол, прилегающий к этому катету (он обозначается как α). Далее найдите c помощью формулы площадь треугольника, если а = 5 и α = 45°.

41 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Как известно, площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

42 triginimetricheskie v treugolnike

 

Задание. В прямоугольном ∆АBС к гипотенузе ВС проведена высота АН. Отрезок НВ имеет длину 16. Известно, что sinα = 0,6. Какова длина СН?

43 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Сначала, зная sinα, найдем сosα и tgα:

44 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь заметим, что на рисунке угол α – это не только ∠АBС. Действительно, в ∆АBС

45 triginimetricheskie v treugolnike

Нам известен отрезок АН и tg∠САН, поэтому можно найти СН:

46 triginimetricheskie v treugolnike

 

Поиск тангенса на квадратной решетке

Рассмотрим задание, которое часто встречается на экзаменах и вызывает большие затруднения. На рисунке показан угол, требуется высчитать его тангенс:

47 triginimetricheskie v treugolnike

Ясно, что для нахождения тангенса надо построить какой-нибудь прямоугольный треугольник, однако проблема заключается в том, что обе стороны угла не являются ни горизонтальными, ни вертикальными линиями, а потому провести к ним перпендикуляр у многих не получается. Рассмотрим, как это делается.

Посмотрим на нижнюю линию. Она представляет собой поднимающуюся прямую, причем на каждые 2 клеточки, которые эта прямая проходит вправо, приходится подъем на 1 клеточку вверх.

48 triginimetricheskie v treugolnike

Оказывается, что для построения перпендикуляра к ней необходимо от какой-нибудь ее точки вести наклонную прямую, у которой, наоборот, на каждые две клеточки подъема будет приходиться 1 клетка движения вбок, причем не вправо, а влево:

49 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь, чтобы найти тангенс, надо просто поделить длину красного отрезка (он здесь оказывается противолежащим катетом) на длину зеленого отрезка. Несложно заметить, что эти отрезки одинаковы, так как являются гипотенузами в двух равных прямоугольных ∆АBС и ∆CDF:

50 triginimetricheskie v treugolnike

Естественно, что отношение одинаковых отрезков равно единице, поэтому и тангенс также равен единице. Заметим, что прямой угол можно было получить, проведя перпендикуляр к нижней линии в другой точке:

51 triginimetricheskie v treugolnike

Более того, перпендикуляр можно провести и к верхней стороне угла. Она представляет собой линию, которая поднимается вправо, и на каждые три клетки движения вверх приходится одна клетка смещения вправо:

52 triginimetricheskie v treugolnike

Соответственно, чтобы построить к ней перпендикуляр, надо от одной из ее точек начать двигаться вправо и вниз, причем на 3 клетки движения вбок будет приходиться только 1 клетка движения вниз:

53 triginimetricheskie v treugolnike

Во всех этих случаях зеленые и красные отрезки одинаковы, а потому тангенс равен единице.

Объясним, почему для построения перпендикуляра надо использовать именно такой метод. Пусть на квадратной решетке начерчена прямая АС, к которой надо провести перпендикуляр. Построив горизонтальную (показана зеленым цветом) линию АB и вертикальную (показана красным) линию ВС, мы достоим ее до прямоугольного ∆АBС. Далее отложим от точки С уже вертикально отрезок CD, равный АB, а далее от D – горизонтальный отрезок, равный ВС:

54 triginimetricheskie v treugolnike

Обозначим∠А как α, тогда ∠АСВ будет составлять 90° – α. Заметим, что ∆АBС и ∆СDF – равные, так как они прямоугольные и у них одинаковы катеты:

55 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь обратим внимание на три угла, вершины которых лежат в точке С. Это ∠АСВ, ∠FCD и ∠АСF. Они вместе образуют развернутый угол ВСD, то есть их сумма составляет 180°. Но ∠АСВ и ∠FCD мы уже выразили через величину α. Тогда можно вычислить и третий угол ∠АСF:

56 triginimetricheskie v treugolnike

Получили, что отрезки АС и СF действительно перпендикулярны.

 

Задание. Найдите тангенс угла, показанного на рисунке:

57 triginimetricheskie v treugolnike

Решение. Если попытаться провести прямую, перпендикулярную нижней стороне угла, то в результате этот перпендикуляр просто не пересечется со второй стороной:

58 triginimetricheskie v treugolnike

Поэтому перпендикуляр следует проводить к верхней стороне:

59 triginimetricheskie v treugolnike

Теперь осталось найти отношение длин красного (здесь это противолежащий катет) зеленого отрезка. Конечно, и длины можно найти по теореме Пифагора, однако есть и более простой метод. Возьмем в качестве единичного отрезок, который получается, если на квадратной решетке сделать два шага вбок и один вверх. Этот отрезок будет укладываться на красном катете ровно 3 раза, а на зеленом – ровно 2 раза, то есть прилежащий катет равен трем единичным отрезкам, а противолежащий – двум. Тогда их отношение составляет 3/2 = 1,5

60 triginimetricheskie v treugolnike

Ответ: 1,5

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
В ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а катет ВС имеет длину 5. Вычислите sin∠А
115
20.5
34
40.25
Ответить
4
Вопрос: 2
Какому их этих чисел НЕ может быть равен синус угла?
10.6
21.5
30.8
40.25
Ответить
2
Вопрос: 3
Найдите sinα, если cosα = 0,6
10.8
20.9
30.4
40.64
Ответить
1
Вопрос: 4
Чему равен tg 45°?
19
31
43
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

В ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а катет ВС имеет длину 5. Вычислите sin∠А
1) 15 2) 0.5 3) 4 4) 0.25
2 вопрос:

Какому их этих чисел НЕ может быть равен синус угла?
1) 0.6 2) 1.5 3) 0.8 4) 0.25
3 вопрос:

Найдите sinα, если cosα = 0,6
1) 0.8 2) 0.9 3) 0.4 4) 0.64
4 вопрос:

Чему равен tg 45°?
1) 9 3) 1 4) 3
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 0.25
2 вопрос: 1.5
3 вопрос: 0.8
4 вопрос: 1