Геометрия

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
План урока:
Основные тригонометрические функции
Взаимосвязь между тригонометрическими функциями
Тригонометрические функции стандартных углов
Поиск тангенса на квадратной решетке
Основные тригонометрические функции
Пусть есть некоторый прямоугольный треугольник АBС, у которого∠С = 90°. Обозначим какой-нибудь его острый угол, например, ∠А, греческой буквой α. В треугольнике есть два катета. Тот из них, который, непосредственно является одной из сторон угла α, называют прилежащим катетом. Другой катет именуют противолежащим. Ещё одна сторона треугольника – это гипотенуза, для которой не надо уточнять, прилежащая она или противолежащая относительно острого угла:
Отношения этих трех сторон друг к другу имеют особое наименование.
Для обозначения этих трех величин (их именуют тригонометрическими функциями) используют сокращения sin, cos и tg. При этом после этого сокращения может писаться как обозначение угла греческой буквой, так и обычное обозначение с помощью больших латинских букв:
Задание. Найдите значения тригонометрических функций для∠А в ∆АBС, длины сторон которого указаны на рисунке:
Решение. Просто пользуемся определениями каждой функции:
Задание. Найдите величину тригонометрических функций угла∠В в ∆АBС, показанном на рисунке:
Решение. На первый взгляд кажется, что задание повторяет предыдущее, но это не так. В данном случае нам надо вычислять функции не для∠А, а для ∠В. Для него противолежащим катетом уже будет АС, а прилежащим – ВС. Тогда можно записать, что
Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB имеет длину 10, а sin∠A = 0,2. Найдите величину ВС.
Решение. Запишем синус как отношение двух сторон:
Задание. В прямоугольном ∆АBС АС = 8, cos∠A = 0,4. Какова длина гипотенузы АB?
Решение. Выразим известный нам косинус как отношение двух отрезков:
Принципиально важно то, что если в двух прямоугольных треугольниках острые углы одинаковы, то и значение их синусов, косинусов и тангенсов также будут одинаковы. Действительно, пусть у ∆АBС и ∆А1В1С1 одинаковы∠А и ∠А1, а ∠С и ∠С1 – прямые:
Тогда у них совпадает по два угла, а это означает, что ∆АBС и ∆А1В1С1 подобны. Из этого подобия вытекает пропорция:
Отсюда можно сделать вывод:
Другими словами, значение тригонометрической функции угла зависит только от величины угла (его градусной меры) и НЕ зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике этот угол построен. Действительно, с помощью калькулятора или компьютера можно всегда посчитать синус для какого-то угла, если известна его величина в градусах.
Задание. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:
Решение. Нам надо самостоятельно достроить угол до прямоугольного треугольника. Удобней всего просто построить вертикальную линию, длину которой будет удобно измерить с помощью клеточек. Например, можно сделать такое построение:
Тогда тангенс можно получить, поделив вертикальный отрезок (он здесь оказывается противолежащим катетом) на горизонтальный:
Заметим, что мы могли построить и треугольник с другими размерами, однако во всех случаях величина тангенса будет одной и той же:
Ответ: 0,5
Задание. Постройте такой угол, что его тангенс будет равен 1,5.
Решение. Если тангенс равен 1,5, то это означает, что противолежащий катет в 1,5 раза длиннее прилежащего катета треугольника. В 1,5 раза отличаются, например, числа 2 и 3. Значит, если мы построим треугольник с катетами 2 и 3, то мы получим необходимый нам угол:
Взаимосвязь между тригонометрическими функциями
Оказывается, что одну тригонометрическую функцию угла, например, синус, можно найти и все остальные функции, используя буквально две формулы. Для их вывода снова построим прямоугольный ∆АBС и обозначим его∠А как α:
Запишем для α все 3 тригонометрические функции:
Для вывода второй важной формулы возведем синус и косинус в квадрат, а потом сложим их:
В итоге у нас получилось так называемое основное тригонометрическое тождество:
Задание. Известно, что синус некоторого угла в прямоугольном треугольнике составляет 0,6. Найдите его косинус и тангенс.
Решение. Обозначим этот угол как α. По условию sin α = 0,6. С помощью основного тригонометрического тождества находим косинус:
имеет не одно, а два решения: 0,8 и (– 0,8). Однако понятно, что так как все длины в геометрии – это положительные числа, то и их отношение также должно быть положительным. Поэтому в прямоугольном треугольнике тригонометрические функции могут быть только положительными, и корень (– 0,8) можно отбросить.
Далее находим тангенс:
Задание. Известен косинус острого угла, который равен 7/25. Вычислите синус и тангенс угла.
Решение. Сначала определяем синус угла:
Задание. Известен тангенс острого угла, он составляет 15/8. Найдите синус и косинус угла.
Решение. Данная задача сложнее двух предыдущих, так как две известные нам тригонометрические формулы не позволяют сразу по тангенсу вычислить две другие функции. Сначала используем формулу, в которой тангенс вообще присутствует:
Мы смогли выразить синус через косинус. Теперь можно использовать и вторую формулу:
Теперь можно вычислить и синус:
Заметим важное обстоятельство – так как гипотенуза всегда длиннее катетов, то и синус с косинусом в прямоугольном треугольнике всегда меньше единицы. На тангенс же подобных ограничений нет.
Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а cos∠A = 0,8. Вычислите длину ВС.
Решение. Если бы нам был дан синус, мы могли бы сразу найти ВС, но нам известен косинус. Здесь можно предложить два алгоритма решения задачи. Первый метод заключается в том, что мы сначала находим синус, пользуясь тригонометрическими формулами:
Второй метод решения задачи заключается в том, что сначала с помощью косинуса найти неизвестный катет АС:
Тригонометрические функции стандартных углов
Итак, мы выяснили, что тригонометрические функции зависят от градусной меры угла. Попытаемся вычислить их для некоторых стандартных значений.
Начнем с угла в 30°. Построим прямоугольный ∆АBС с∠А = 30°:
Ещё из 7-ого класса нам известно, что в таком треугольнике гипотенуза вдвое длиннее, чем катет, лежащий напротив угла в 30°:
Далее можно найти и тангенс 30°:
Вернемся к рассматриваемому нами ∆АBС, в котором∠А = 30°. Ясно, что другой его острый угол, ∠В, будет составлять 90 – 30 = 60°:
Снова используем тот факт, что гипотенуза АB будет длиннее катета ВС в 2 раза:
Ещё один стандартный угол, для которого легко можно рассчитать значение его тригонометрических функций – это 45°. Рассмотрим прямоугольный ∆АBС, в котором один из острых углов составляет 45°. Тогда и другой острый угол должен также составлять 45°, ведь их сумма в прямоугольном треугольнике равна 90°:
Но если в треугольнике 2 угла одинаковы, то он – равнобедренный, то есть катеты АС и ВС равны:
Итак, в результате нам удалось получить 9 стандартных значений, которые можно представить в виде единой таблицы тригонометрических функций:
Задание. Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника, если известен один из его катетов (он равен a) и острый угол, прилегающий к этому катету (он обозначается как α). Далее найдите c помощью формулы площадь треугольника, если а = 5 и α = 45°.
Решение. Как известно, площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
Задание. В прямоугольном ∆АBС к гипотенузе ВС проведена высота АН. Отрезок НВ имеет длину 16. Известно, что sinα = 0,6. Какова длина СН?
Решение. Сначала, зная sinα, найдем сosα и tgα:
Теперь заметим, что на рисунке угол α – это не только ∠АBС. Действительно, в ∆АBС
Нам известен отрезок АН и tg∠САН, поэтому можно найти СН:
Поиск тангенса на квадратной решетке
Рассмотрим задание, которое часто встречается на экзаменах и вызывает большие затруднения. На рисунке показан угол, требуется высчитать его тангенс:
Ясно, что для нахождения тангенса надо построить какой-нибудь прямоугольный треугольник, однако проблема заключается в том, что обе стороны угла не являются ни горизонтальными, ни вертикальными линиями, а потому провести к ним перпендикуляр у многих не получается. Рассмотрим, как это делается.
Посмотрим на нижнюю линию. Она представляет собой поднимающуюся прямую, причем на каждые 2 клеточки, которые эта прямая проходит вправо, приходится подъем на 1 клеточку вверх.
Оказывается, что для построения перпендикуляра к ней необходимо от какой-нибудь ее точки вести наклонную прямую, у которой, наоборот, на каждые две клеточки подъема будет приходиться 1 клетка движения вбок, причем не вправо, а влево:
Теперь, чтобы найти тангенс, надо просто поделить длину красного отрезка (он здесь оказывается противолежащим катетом) на длину зеленого отрезка. Несложно заметить, что эти отрезки одинаковы, так как являются гипотенузами в двух равных прямоугольных ∆АBС и ∆CDF:
Естественно, что отношение одинаковых отрезков равно единице, поэтому и тангенс также равен единице. Заметим, что прямой угол можно было получить, проведя перпендикуляр к нижней линии в другой точке:
Более того, перпендикуляр можно провести и к верхней стороне угла. Она представляет собой линию, которая поднимается вправо, и на каждые три клетки движения вверх приходится одна клетка смещения вправо:
Соответственно, чтобы построить к ней перпендикуляр, надо от одной из ее точек начать двигаться вправо и вниз, причем на 3 клетки движения вбок будет приходиться только 1 клетка движения вниз:
Во всех этих случаях зеленые и красные отрезки одинаковы, а потому тангенс равен единице.
Объясним, почему для построения перпендикуляра надо использовать именно такой метод. Пусть на квадратной решетке начерчена прямая АС, к которой надо провести перпендикуляр. Построив горизонтальную (показана зеленым цветом) линию АB и вертикальную (показана красным) линию ВС, мы достоим ее до прямоугольного ∆АBС. Далее отложим от точки С уже вертикально отрезок CD, равный АB, а далее от D – горизонтальный отрезок, равный ВС:
Обозначим∠А как α, тогда ∠АСВ будет составлять 90° – α. Заметим, что ∆АBС и ∆СDF – равные, так как они прямоугольные и у них одинаковы катеты:
Теперь обратим внимание на три угла, вершины которых лежат в точке С. Это ∠АСВ, ∠FCD и ∠АСF. Они вместе образуют развернутый угол ВСD, то есть их сумма составляет 180°. Но ∠АСВ и ∠FCD мы уже выразили через величину α. Тогда можно вычислить и третий угол ∠АСF:
Получили, что отрезки АС и СF действительно перпендикулярны.
Задание. Найдите тангенс угла, показанного на рисунке:
Решение. Если попытаться провести прямую, перпендикулярную нижней стороне угла, то в результате этот перпендикуляр просто не пересечется со второй стороной:
Поэтому перпендикуляр следует проводить к верхней стороне:
Теперь осталось найти отношение длин красного (здесь это противолежащий катет) зеленого отрезка. Конечно, и длины можно найти по теореме Пифагора, однако есть и более простой метод. Возьмем в качестве единичного отрезок, который получается, если на квадратной решетке сделать два шага вбок и один вверх. Этот отрезок будет укладываться на красном катете ровно 3 раза, а на зеленом – ровно 2 раза, то есть прилежащий катет равен трем единичным отрезкам, а противолежащий – двум. Тогда их отношение составляет 3/2 = 1,5
Ответ: 1,5
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
В ∆АBС гипотенуза АB равна 20, а катет ВС имеет длину 5. Вычислите sin∠А
1) 15 2) 0.5 3) 4 4) 0.25
Какому их этих чисел НЕ может быть равен синус угла?
1) 0.6 2) 1.5 3) 0.8 4) 0.25
Найдите sinα, если cosα = 0,6
1) 0.8 2) 0.9 3) 0.4 4) 0.64
Чему равен tg 45°?
1) 9 3) 1 4) 3