Математика

Урок 8: Числа с разными знаками

Положительные и отрицательные числа, модуль

На сегодняшнем уроке мы рассмотрим положительные и отрицательные числа, их правильное обозначение на письме. Научимся строить координатную прямую,на ней отмечать единичный отрезок. Также определим местоположение положительных и отрицательных чисел на координатной прямой относительно нуля. Познакомимся с понятием «координата точки», рассмотрим примеры противоположных чисел.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Положительные числа

Отрицательные числа

Координатная прямая

Координата точки

Противоположные числа

 

В выходной день папа с Никитой собирались в городской парк, на открытие большой горки.

1dsdhfh6
Источник

Вдруг, в комнату вошла мама и сказала: «Одевайтесь тепло. На улице -10 С˚». Никита сразу спросил родителей: «Что значит -10 С˚?». Папа объяснил мальчику, что если говорят о температуре воздуха и используют слово «минус» или фразу «ниже нуля», например: «минус пять градусов»,«двадцать градусов ниже нуля», то, это значит, что на улице холодно, а шкала термометра расположилась ниже 0.

А если, говоря о погоде, используется слово «плюс», или сообщается количество градусов с использованием выражения «выше нуля», например: «сегодня за окном пятнадцать градусов выше нуля», или «на улице плюс три», то значит, что шкала термометра поднялась выше 0.

Но даже после папиного рассказа у Никиты осталось много вопросов о числовых значениях со знаком минус и плюс. Всю прогулку мальчик думал о непонятных цифрах со знаком «минус».

Найти ответы на все свои вопросы Никита смог, только после того, как внимательно изучил наш урок на сайте 100urokov.ru.

 

Положительные числа

В каждом доме и квартире есть термометр– незаменимый прибор для измерения температуры воздуха. Давайте внимательно его рассмотрим.

3gsfh
Источник

Мы видим шкалу, с нанесенными цифрами, которая расположена в стеклянной колбе. Стоит отметить, что шкала прибора разделена точно пополам делением с цифрой 0. Все цифры, находящиеся вверху от нуля имеют положительное значение и записываются со знаком «плюс».

Например: +18,+22,+3.

В арифметике такие значения имеют свое название – положительные.

1tabl

Примеры положительных чисел: 5,18,39,156.

Исходя из рассмотренного правила, делаем вывод, что числа, перед которыми не стоит знак и числа со знаком «+» равны.

+8 = 8;

11 = +11;

+24 = 24;

Положительные числа можно использовать для выполнения любых математических действий:

сложения;

вычитания;

умножения;

деления;

возведения в степень.

Получается, что именно с положительными значениями вы знакомы с первого класса.

 

Отрицательные числа

Ну а теперь, давайте представим, что за окном зима. Какую же температуру покажет рассмотренный прибор для измерения температуры воздуха?

4inx960x640
Источник

В зимнее время года холодно. Поэтому, обычно говорят, что держится минусовая температура, то есть столбик прибора не поднимается выше 0.

В математике такие числа принято называть отрицательными, при записи, перед данным числовым значением нужно ставить знак «минус».

2tabl

Примеры отрицательных чисел:

-10,-5,-128.

3tabl

Например:

-5 < 1; 0 >-20; 11 > -364.

 

Координатная прямая

Давайте внимательно рассмотрим шкалу термометра и постараемся схематично её изобразить. Шкала является прямой линией. Чертим её:

4tabl

Замечаем, что каждое деление соответствует 1 градусу. Выходит, шкала имеет единичный отрезок.

5tabl

Выбираем на нашем рисунке единичный отрезок не забывая, отложить его в обе стороны от начала отсчета:

6tabl

Посмотрим на полученное изображение. Построенная геометрическая фигура имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок. В математике, такие фигуры имеют свое название – координатная прямая.

7tabl

Важным моментом, является то, что на координатной прямой по правую сторону от точки начала отсчета (0) находятся положительные числа, а по левой стороне – отрицательные (записанные со знаком «минус»).

Мы изобразили координатную прямую, отметили на ней числа от -7 до 7.

8tabl

На самом деле, на рисунке изображен небольшой фрагмент прямой. Данная линия  продолжается в обе стороны до бесконечности, так как по определению, она не имеет ни начала, ни конца.

 

Координата точки

Каждая точка, нанесенная на координатную прямую,всегда имеет свое числовое обозначение или координату.

9tabl

Разберем на примере.

Построим координатную прямую. Нанесем начало отсчета и выберем единичный отрезок, равный 1 сантиметру. Обозначим деление буквой A:

10tabl

Читается, точка A с координатой 1.

Записывается: A(1).

Нет ничего сложного!

Давайте применим на практике полученные знания и разберем задание.

Постройте координатную прямую и нанесите на неё точки:В(4), С(-2).

Чтобы выполнить данное задание необходимо изобразить прямую, выбрать на ней направление, точку начала координат и единичный отрезок, который будет равен 1 сантиметру.

11tabl

Теперь нужно поставить точку В с координатой 4. Значение координаты точки положительное, поэтому отмечать её, будем с правой стороны от начала отсчета (0).Координата 4 говорит о том, что отметка В находится от нуля на расстоянии четырех единичных отрезков, то есть, расстояние от нуля до отметки В равно четырем сантиметрам.

12tabl

Теперь отметим точку C, имеющую координату -2. Числовое значение координаты отрицательное, следовательно, отмечать будем с левой стороны от нуля. Значение -2 показывает, что она будет находиться от нуля на расстоянии двух единичных отрезков, расстояние от нуля до отметки С равно двум сантиметрам.

Задание выполнено!

Запомни! Положительные числа всегда расположены с правой стороны от нуля, а отрицательные числа с левой стороны от точки начала координат. В данном случае ноль и есть точка начала координат.

 

Противоположные числа

Рассмотрим такую ситуацию.

На уроке, учительница математики, Нина Николаевна вызвала Егора к доске и дала задание, построить координатную прямую и нанести на неё две отметки с различными координатами положительной и отрицательной.

5d3df6b
Источник

Егор выполнил задание. Мальчик построил координатную прямую, отметил точку начала координат, направление и единичный отрезок. После этого, школьник нанес на прямую отметки M(3) и K(-3).

13tabl

И вдруг в классе среди учеников начался спор – правильно выполнил Егор задание или нет. Школьники разделились на две группы. Первая группа утверждала, что 3 и -3 являются одинаковыми. Ведь от точки начала отсчета (точки 0) до отметки М и до отметки К одинаковое расстояние (три единичных отрезка). Значит числа 3 и -3 имеют одинаковые модули, следовательно, они равны. Тогда, Егор выполнил задание неверно.

Вторая группа учащихся доказывала, что задание выполнено верно. Числовые значения 3 и -3 не могут быть одинаковыми, ведь положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, данные числовые значения не могут быть равными.

Но Егор с нетерпением ждал пояснений Нины Николаевны.

Учительница объяснила детям, что в математике, числа, которые отличаются только знаком, имеют собственное название – противоположные числа.

Если два числа отличаются только знаком, то их называют противоположными числами.

Примеры противоположных чисел:

5 и -5;

18 и -18;

-124 и 124.

Но при этом, модули противоположных чисел всегда равны.

Сравним модули противоположных чисел -4 и 4.

Для этого начертим прямую и отметим на ней точки с координатами 4 и -4.

14tabl

Мы видим, что от начала отсчета до точек с координатами (4) и (-4) отложено равное количество единичных отрезков – четыре. Поэтому модуль (количество единичных отрезков от нуля до выбранной точки) в рассматриваемых записях будет одинаковым – |4|.

Выходит, что у противоположных числовых значений равными будут только модули! А сами числа имеют совершенно разное числовое значение!

Егор получил заслуженную пятерку за правильно выполненное задание.

Рассмотренная сегодня тема очень простая и легкая. Для выполнения самых сложных заданий вам достаточно запомнить, что справа от нуля расположились положительные числа (которые не всегда пишутся со знаком +), а слева от нуля вы всегда найдете ряд отрицательных чисел (их существование невозможно без знака -). Мы надеемся, что вы будете получать только отличные оценки, изучая на уроках, рассмотренную сегодня тему!

 

Минутка истории

Отрицательные числа стали для нас чем-то обычным и привычным. Но так было не всегда. Довольно длительное время, положительные значения определяли словом «прибыль», а отрицательные трактовали, как «убыток». И другого применения отрицательным числам не было.

Первыми, признали отрицательные числа, правители Китая в начале 3 века, до нашей эры. Но, несмотря на это, большая часть китайцев считала данное решение правительства бессмысленным. Так как использовать на практике отрицательные числа было негде.

После, числовые значения со знаком «минус», стали использовать в Индии. Их применяли для записи долгов.

В Европу, значения со знаком «минус», попали благодаря Леонардо Пизанскому. Леонардо начал использовать отрицательные числа исключительно для записи в долговой книге и проведения финансовых операций, связанных с долгами. А уже в 1202 году Пизанский подсчитывал свои убытки пользуясь числовыми значениями со знаком «минус».

Однако до начала 19 века рассматриваемые значения находились в гонениях мировых математиков. Ученые утверждали, что выражение 0-4=0 бессмысленно, так как не существует числового значения, которое меньше чем «ничто» (нуль). Поэтому великие математики старались не использовать «бесполезные» цифры в своих вычислительных операциях.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Когда число называют положительным?
1если перед числом стоит знак «плюс» или ничего не стоит
2если перед числом стоит знак «минус»
3если это дробное число
Ответить
1
Вопрос: 2
Число будет отрицательным если …
1перед числом не стоит знак
2перед числом стоит знак «минус»
3число больше нуля
Ответить
2
Вопрос: 3
Если прямая имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок, то она называется …
1координата
2прямая линия
3координатная прямая
Ответить
3
Вопрос: 4
Выберите верное равенство:
1-5>2
20<-10
31>-100
Ответить
3
Вопрос: 5
Число обозначающее положение точки на прямой называют:
1имя точки
2координата точки
3показатель точки
Ответить
2
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Когда число называют положительным?
1) если перед числом стоит знак «плюс» или ничего не стоит 2) если перед числом стоит знак «минус» 3) если это дробное число
2 вопрос:

Число будет отрицательным если …
1) перед числом не стоит знак 2) перед числом стоит знак «минус» 3) число больше нуля
3 вопрос:

Если прямая имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок, то она называется …
1) координата 2) прямая линия 3) координатная прямая
4 вопрос:

Выберите верное равенство:
1) -5>2 2) 0<-10 3) 1>-100
5 вопрос:

Число обозначающее положение точки на прямой называют:
1) имя точки 2) координата точки 3) показатель точки
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: если перед числом стоит знак «плюс» или ничего не стоит
2 вопрос: перед числом стоит знак «минус»
3 вопрос: координатная прямая
4 вопрос: 1>-100
5 вопрос: координата точки