План урока:

Простейшие показательные уравнения ах = b

Уравнения вида а^f(x) = a^g(x)

Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям

Уравнения с заменой переменных

Графическое решение показательных уравнений

Показательные неравенства

 

Простейшие показательные уравнения а^х = b

Рассмотрим уравнение

2^х = 8

Его называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2:

8 = 2³

Тогда уравнение будет выглядеть так:

2^х = 2³

Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем:

2³ = 2³

Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2^х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию.

Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным.

Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а^х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке.

Сразу отметим, что если в ур-нии вида а^х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически:

Решая простейшее показательное уравнение

2^х = 8

мы специально представляли правую часть как степень двойки:

2^х = 2³

После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида

а^х = а^с

то его единственным решением является х = с.

Задание. Найдите решение показательного уравнения

8^х = 8^{– 9}

Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели:

х = – 9

Ответ: – 9.

Задание. Найдите корень уравнения

Решение. Заметим, что число 625 = 5⁴. Тогда ур-ние можно представить так:

Отсюда получаем, что х = 4.

Ответ: 4.

Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями.

 

Задание. При каком х справедливо равенство

Решение. Преобразуем число справа:

Теперь ур-ние можно решить:

Ответ: – 3.

 

Задание. Решите ур-ние

Решение. Любое число при возведении в нулевую степень дает единицу, а потому можно записать, что 1 = 127⁰. Заменим с учетом этого правую часть равенства:

Ответ: 0.

Уравнения вида а^f(x) = a^g(x)

Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние

Для его решения заменим показатели степеней другими величинами:

Теперь наше ур-ние принимает вид

Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней:

При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания:

В общем случае использованное правило можно сформулировать так:

 

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Представим правую часть как степень двойки:

Тогда ур-ние примет вид

Теперь мы имеем право приравнять показатели:

Ответ: – 1

 

Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие

Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что

С учетом этого можно записать

Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели:

Ответ: 12,5

Задание. Укажите корень показательного уравнения

Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми:

Тогда ур-ние примет вид:

Ответ: х = 3

 

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями:

С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5^3+х:

Ответ: – 2.

 

Задание. При каких х справедлива запись

Решение.

Можно сделать преобразования, после которых в ур-нии останется только показательная функция 5^х. Для этого произведем следующие замены:

Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен:

Теперь множитель 5^х можно вынести за скобки:

Ответ: 2

 

Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13.

 

Задание. Найдите решение уравнения

Решение. Преобразуем левое слагаемое:

Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование

Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки:

Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели:

Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем:

Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям

Рассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике.

Задание. Из-за радиоактивного распада масса слитка из изотопа уменьшается, причем изменение его массы описывается зависимостью m(t) = m₀ • 2^–t/T, где m₀ – исходная масса слитка, Т – период полураспада, t – время. В начальный момент времени изотоп, чей период полураспада составляет 10 минут, весит 40 миллиграмм. Сколько времени нужно подождать, чтобы масса слитка уменьшилась до 5 миллиграмм.

Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия:

m₀ = 40 миллиграмм;

T = 10 минут;

m(t) = 5 миллиграмм.

В результате мы получим ур-ние

из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40:

Ответ: 30 минут.

 

Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества.

Задание. На особо точных рычажных весах в лаборатории лежат два слитка из радиоактивных элементов. Первый из них весит в начале эксперимента 80 миллиграмм и имеет период полураспада, равный 10 минутам. Второй слиток весит 40 миллиграмм, и его период полураспада составляет 15 минут. Изначально весы наклонены в сторону более тяжелого слитка. Через сколько минут после начала эксперимента весы выровняются? Масса слитков меняется по закону m(t) = m₀ • 2^–t/T, где m₀ и Т – это начальная масса слитка и период его полураспада соответственно.

Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону

а масса второго слитка описывается зависимостью

Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m₁ = m₂):

Делим обе части на 40:

Основания равны, а потому приравниваем показатели:

Ответ: 30 минут.

Уравнения с заменой переменных

В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 3² = 9. Тогда введем новую переменную t = 3^x. Если возвести ее в квадрат, то получим, что

C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:

Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:

Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:

Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:

Ответ: 2.

 

Задание. Найдите корни ур-ния

Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4^4х+1:

Так как 1^4х+1 = 1, мы можем записать:

Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4^4х+1 строго положительна при любом х.

Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4)^4х+1 и (3/2)^4х+1. У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что

9/4 = (3/2)², поэтому и (9/4)^4х+1 = ((3/2)^4х+1)². Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных.

Произведем замену t = (3/2)^4х+1, тогда (9/4)^4х+1 = ((3/2)^4х+1)² = t². Далее перепишем ур-ние с новой переменной t:

Снова получили квадратное ур-ние.

Возвращаемся к переменной х:

И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:

Ответ: – 0,25.

Графическое решение показательных уравнений

Не всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений.

Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство

Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3^х и у = 4 – х:

Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния:

Получили верное равенство, значит, х = 1 – это действительно корень ур-ния.

Ответ: 1

 

Задание. Решите графически ур-ние

Решение. Перенесем вправо все слагаемые, кроме 2^х:

Слева стоит показательная функция, а справа – квадратичная. Построим их графики и найдем точки пересечения:

Видно, что у графиков есть две общие точки – это (0;1) и (1; 2). На всякий случай проверим себя, подставив х = 0 и х = 1 в исходное ур-ние:

Ноль подходит. Проверяем единицу:

И единица тоже подошла. В итоге имеем два корня, 0 и 1.

Ответ: 0; 1.

Показательные неравенства

Рассмотрим координатную плоскость, в которой построен график некоторой показательной ф-ции у = а^х, причем а > 0. Пусть на оси Ох отложены значения s и t, и t < s. То есть точка t располагается левее на оси Ох.

Ясно, что точкам t и s оси Ох соответствуют точки a^t и a^s на оси Оу. Так как

у = а^х

является возрастающей функцией, то и величина a^t окажется меньше, чем a^s. Другими словами, точка a^t на оси Оу будет лежать ниже точки а^s (это наглядно видно на рисунке). Получается, что из условия t < s следует неравенство a^t < a^s. Это значит, что эти два нер-ва являются равносильными.

С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во

Представим восьмерку как степень двойки:

По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно:

Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3).

Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее.

Так как показательная ф-ция у = а^х при основании, меньшем единицы, является убывающей, то окажется, что на оси Оу точка a^s лежит ниже, чем a^t. То есть из условия t < s следует, что a^t > a^s. Получается, что эти нер-ва равносильны.

Например, пусть надо решить показательное неравенство

Выразим число слева как степень 0,5:

Тогда нер-во примет вид

По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во

В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так:

а его решением будет промежуток (3; + ∞).

В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида

основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом

Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило:

Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы.

Задание. Решите простейшее неравенство

Решение.

Представим число 64 как степень двойки:

теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1):

 

Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во

Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный:

Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна.

Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков:

Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную.

Задание. Найдите решение нер-ва

Решение. Для начала представим число 3^х+1 как произведение:

Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во:

Получили дробь, в которой есть одна показательная ф-ция 3^х. Заменим её новой переменной t = 3^x:

Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом:

которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева

Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки:

Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть

Теперь произведем обратную замену t = 3^x:

Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его:

Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной.