Математика
Степени
План урока:
Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь.
М.В.Ломоносов
Что такое степени?
Начиная с первого класса, вы знакомились с несколькими арифметическими действиями, использовали их при решении задач и заданий. Принято считать, что в математике существует 4 основных действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Оказывается, существуют и другие действия. Сегодня рассмотрим новое и очень интересное.
Рассмотрим ситуацию.
Дети получили домашнее задание по математике – решить три столбика уравнений, по три уравнения в каждом. Сколько всего уравнений задали детям?
Чтобы ответить на вопрос задачи, суммируем уравнения во всех столбиках. Мы знаем, что в одном столбике три уравнения, а в трех столбиках:
3+3+3.
В данном случае слагаемое повторяется три раза. Сумму одинаковых компонентов можно заменить произведением. Для этого повторяющуюся составляющую умножаем на количество повторов.
3×3
Составленное произведение запишем короче. Для этого, запомним значение множителей, количество множителей.
Сначала, записываем значение множителя. Рядом с записанной цифрой, записываем их численность.
Получается: 32
То есть: 3+3+3=3×3=32=9.
Получен ответ на главный вопрос задачи. Ученикам задали девять уравнений.
Решая задачу, мы познакомились с новым математическим действием - возведением в степень.
Давайте дадим правильное определение рассмотренному действию.
Степень числа – это произведение одинаковых множителей, взятых определенное количество раз: 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 …= 𝑎b .
Произносят: а в степени б.
К примеру, запись 64, нужно читать: «шесть в четвертой степени», «четвертая степень шести».
Разберем еще одну задачу.
Работникам городского парка необходимо засеять травой клумбу прямоугольной формы. Чтобы правильно рассчитать необходимое количество семян, нужно знать посадочную площадь. Найдите площадь клумбы, зная, что её ширина и длина по четыре метра.
Чтобы ответить на главный вопрос, вспомним, правило нахождения площади прямоугольника: для нахождения площади прямоугольника необходимо длину умножить на ширину. Зная длину и ширину клумбы, найдем произведение:
Получим, 4×4 – площадь клумбы.
В данном произведении составляющая четыре, использована два раза. На основании изученного определения рассматриваемое произведение запишем иначе:
Посадочная площадь клумбы равна 16 м2.
Основание и показатель
Математика – точная наука. Каждый компонент имеет определенное наименование, определенное место. Давайте вспомним наименования составляющих в различных математических действиях:
У изученного действия, составляющие имеют свои отличные от других наименования. Их называют: основание и показатель.
Запишем правильную формулировку для составляющих рассмотренного действия.
Числовое значение дублирующейся составляющей, называют основанием степени.
Цифра, стоящая справа, обозначает, численность повторяющихся множителей,называется показателем степени
В выражении 89, основанием является 8, а показателем 9. Значит, чтобы найти значение рассматриваемого выражения, нужно умножить число 8 само на себя 9 раз.
Найдем значение выражения 55.
Для верного проведения необходимых вычислений определим основание (дублирующийся компонент) - пять, и показатель (численность составляющих) – пять.
Имеем:
Исходя из рассмотренных примеров, можно сделать вывод как возвести число в степень:
для возведения числа в степень достаточно это число умножить само на себя несколько раз (на численность повторов указывает показатель степени).
Вычислим: 26
Нам необходимо возвести два в шестую степень. Главное – нужно умножить два, само на себя шесть раз:
Получается, 26=64
Все очень просто! Главное – запомнить, что для возведения числа в степень, нужно умножить его само на себя, а сколько раз это сделать, вам подскажет показатель!
Квадрат и куб числа.
Квадрат числа
На изготовление одного килограмма творога уходит три литра молока. Сколько молока потребуется для изготовления трех килограммов творога?
Чтобы ответить на главный вопрос, мы должны молоко необходимое для изготовления одного килограмма творога, взять три раза, чтобы в результате должно получиться три килограмма творога.
Получим: 3+3+3.
Слагаемое три, взяли три раза, полученную сумму заменим произведением. Для этого числовое значение слагаемых (3) умножаем на количество таких слагаемых (3) – 3×3.
Пользуясь изученным определением, зная, что в произведении множитель три использован два раза, полученное выражение запишем иначе: 32
Выражение 32, произносится «три в квадрате».
3×3=32 =9.
Для изготовления трех килограммов творога потребуется девять литров молока.
Если показатель степени числа равен 2, то говорят « число в квадрате».
42 – четыре в квадрате;
72 – семь в квадрате;
152 – пятнадцать в квадрате.
Важно!
Чтобы возвести число в квадрат, умножаем его само на себя два раза.
Куб числа
В выходной день бабушка пекла пирожки с малиной, клубникой и вишней. До прихода внуков она успела испечь по три пирожка с каждой начинкой. По рецепту пирожков должно получиться в три раза больше, чем выпеченных. Вычислите, сколько пирожков должно получиться по рецепту?
Чтобы понять на сколько пирогов рассчитан рецепт бабушки, нужно знать, сколько пирогов бабуля успела испечь. Мы знаем, что готовы по три штуки с каждой начинкой – малина, клубника, вишня. Поэтому три готовых пирожка повторяем три раза, то есть: 3×3.
Зная сколько выпеченных изделий, можем найти, сколько пирогов получится согласно рецепту. Для этого, готовые пироги увеличиваем в три раза (умножаем на три):
3×3×3.
Мы видим, составляющая три использована три раза. Пользуясь изученным определением, можем записать иначе: 33
Составленное выражение произносится «три в кубе».
Вычислим:
Бабушкин рецепт рассчитан на приготовление 27 пирожков.
Показатель степени числа равен 3, то говорят «число в кубе».
73 – семь в кубе;
93 – девять в кубе;
113 – одиннадцать в кубе.
Запомните:
Чтобы возвести число в куб, его нужно умножить само на себя три раза!
И в заключение урока рассмотрим таблицу, которая станет верным другом на протяжении учебного процесса.
Правила пользования таблицей!
На верхней горизонтальной строке записаны основания, в первом вертикальном столбце – показатели. Для нахождения нужного значения квадрата, куба числа, в верхней строке находим требуемое число и опускаемся на вторую, третью строку (зависит от показателя).
Вот и все! Благодаря табличке, не нужно выполнять вычисления, а просто держать её под рукой!
Интересные факты.
- 1) Человеческий мозг содержит 2×1010 нервных клеток, имеет ежедневную возможность сохранять 8,6×107 бит различной информации. У взрослых людей память хранит множество информации – 1018 бит.
- 2) Ежесекундно человеческий мозг выполняет 105 химических процессов. Сплетение нейронов головного мозга в 1,4×103 раз сложнее, всей мировой сети телефонной связи.
- 3) Все человечество на планете можно поместить в куб, имеющий длину ребра 1 километр.
- 4) Самое маленькое число, состоящее из четырех знаков и являющееся суммой двух кубов натуральных чисел.
- 5) В древние времена славяне использовали своеобразную запись чисел, большого значения.
103 называли «тысяща»;
106 имело название «тьма»
1012 прозвали «легион»
1024 называлось «леодр»
1048 читалось «ворон»
1049 произносили, «колода»
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Продолжите определение «Степень числа – это…»
1) Произведение нескольких одинаковых множителей 2) Сумма нескольких одинаковых слагаемых 3) Произведение нескольких различных множителей
Чтобы найти степень числа нужно…
1) Умножить это число само на себя несколько раз 2) Сложить это число само с собой несколько раз 3) Разделить число на 2
Выберите правильный ответ 72=?
1) 14 2) 49 3) 21
Если умножить число само на себя 3 раза, то получим…?
1) Квадрат числа 2) Сумму чисел 3) Куб числа
Продолжите фразу «Показатель степени показывает ….»
1) Сколько раз повторяется множитель 2) Сколько слагаемых использовано 3) Сколько раз выполнить деление