Алгебра

Урок 6: Интеграл и первообразная

Первообразная и интеграл

Вычислить производную функции можно с помощью правил дифференцирования. Однако иногда необходимо выполнить обратное действие – определить исходную функцию, зная ее производную. Такая операция называется интегрированием.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Понятие первообразной

Бесконечное количество первообразных

Неопределенный интеграл

Таблица первообразных

Правила вычисления интегралов

Физический смысл неопределенного интеграла

 

Понятие первообразной

Ранее мы познакомились с важнейшим понятием математического анализа – производной. Она имеет большое практическое значение, в частности, с ее помощью можно определить скорость тела, если известен закон его передвижения. Например, если путь, пройденный автомобилем, можно вычислить с помощью функции S = t2, то его скорость в любой момент времени может быть рассчитана по формуле

1iuiyui

Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.

 

Задание. Известна производная функции у(х):

2ujhgfgh

В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).

3hjhjg

Приведем несколько примеров первообразной:

4gfjg

Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.

 

Задание. Докажите, что функция

5nhgghj

Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.

 

Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?

Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на

6nghj

Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.

 

Бесконечное количество первообразных

Рассмотрим функцию

7hffgj

Оказывается, что g1 также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х3 есть сразу две первообразных:g = x4и g = x4 + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!

Действительно, рассмотрим сразу все функции

8hjf

где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:

9ghf

Мы видим, что у всех функций из этого семейства, независимо от значения параметра С, производная одинакова. Здесь С может принимать любое действительное значение. Так как действительных чисел бесконечно много, то и количество функций, образующих семейство, также бесконечно. И все они являются первообразными для у = 4х3.

Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:

10yrty

Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график

11ytyr

Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:

12utyu

Теперь в какой-нибудь точке х0 проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:

13yyut

Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.

В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для

14yutyiui

Однако 2х2 – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:

15ytutyu

Неопределенный интеграл

Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):

16thgfh

Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х2 – это семейство функций вида

17uyhghj

Рассмотрим элементы записанного нами равенства:

18hfgh

Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.

После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись

19hghf

читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».

В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.

Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что

20bgfhj

Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.

Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:

21bvbfg

 

Задание. Найдите неопределенный интеграл

22bgh

Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:

23hfgghj

Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:

24bjghj

Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.

 

Задание. Вычислите производную:

25hjhu

 

Таблица первообразных

Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:

26bgjhj

Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:

27nghjhj

Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция

28njfhj

определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция

29hfgh

не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.

Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию

30hgjhj

отличающуюся от интересующей нас функции лишь множителем перед х5.

Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию

31hgjgh

В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:

32hjghj

Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство

33yutyu

Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.

 

Задание. Вычислите неопределенный интеграл:

34hyjghj

Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:

35gfhgh

 

Задание. Найдите первообразную функции

36hfghgh

 

Правила вычисления интегралов

Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.

37bcgh

Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:

38hfh

Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.

Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции

39hfghf

Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными

Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.

Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.

 

Задание. Вычислите неопределенный интеграл

40hgfgh

Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):

41hjghj

Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.

42ghjhgj

Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:

43hhjg

Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.

Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:

44hhguy

Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.

 

Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции

45hgjghj

 

Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.

46hgfhg

Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции

47hgfyu

Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:

48hgjhj

Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:

49hyjjh

Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.

Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:

50hfgh

 

Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как

51hyiui

Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как

52hghfgh

Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.

 

Физический смысл неопределенного интеграла

Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:

53hgfgj

Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.

 

Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону

54hgfhgh

Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.

Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):

55bghjh

Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид

56hghfgh

Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:

57iuyui

 

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Какая из этих функций является первообразной для у = 20х3
1у = 3х20
2у = 60х2
3у = 4х5
4у = 5х4
Ответить
4
Вопрос: 2
Сколько первообразных может быть у функции?
1Только одна
2Бесконечно много
3Ровно две
4От трех до пяти
Ответить
2
Вопрос: 3
Вычислите интеграл ∫х4dx
10,2x5 + C
24x3 + C
3195
4π + C
Ответить
1
Вопрос: 4
Вычислите ∫(10x4 + 40x3)dx
12x5– 10x4 + C
240x5+ 30x4 + C
32x5 + 10x4 + C
430x5+ 160x4 + C
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Какая из этих функций является первообразной для у = 20х3
1) у = 3х20 2) у = 60х2 3) у = 4х5 4) у = 5х4
2 вопрос:

Сколько первообразных может быть у функции?
1) Только одна 2) Бесконечно много 3) Ровно две 4) От трех до пяти
3 вопрос:

Вычислите интеграл ∫х4dx
1) 0,2x5 + C 2) 4x3 + C 3) 195 4) π + C
4 вопрос:

Вычислите ∫(10x4 + 40x3)dx
1) 2x5– 10x4 + C 2) 40x5+ 30x4 + C 3) 2x5 + 10x4 + C 4) 30x5+ 160x4 + C
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: у = 5х4
2 вопрос: Бесконечно много
3 вопрос: 0,2x5 + C
4 вопрос: 2x5 + 10x4 + C
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти