План урока:

Понятие показательной функции

Степень с действительным показателем

Свойства показательной функции

Число е и экспонента

Простейшие примеры с использованием показательной функции

Примеры показательной функции в природе

Понятие показательной функции

Представим себе вполне практическую физическую задачу. Известно, что период полураспада элемента плутоний-239 (239 – это номер изотопа) составляет примерно 24000 лет. Это значит, что за этот период времени распадается ровно половина плутония-239 самопроизвольно. В частности, если мы выплавим слиток из этого вещества массой 10 кг и оставим его в надежном месте, например, в сейфе, то наши потомки, открыв сейф через 24000 лет, обнаружат, что там осталось ровно 5 кг плутония.

Предположим теперь, что батарейку из плутония используют в качестве источника энергии на космическом аппарате, отправленном к звездам. Изначальная масса батареи составляет 16 кг. Сколько будет весить батарея через 48000 лет и через 72000 лет?

Очевидно, что через 24000 лет на зонде останется только половина изначального плутония:

16 •(1/2) = 8 кг

Ещё через 24000 лет (то есть через 48 тыс. лет после старта) масса батареи сократится ещё вдвое и составит уже 4 кг:

8• (1/2) = 4 кг

Наконец, по прошествии ещё одного периода полураспада останется всего 2 кг вещества:

4• (1/2) = 2 кг

Получается, что для нахождения массы батареи через x периодов полураспада надо умножить изначальную массу m₀ на дробь 1/2 ровно x раз. При этом последовательное умножение на x множителей 1/2 можно заменить умножением на число (1/2)ⁿ:

m_{1 период} = 16 •(1/2) = 8 кг

m_{2 период} = 16• (1/2)•(1/2) = 16•(1/2)² = 16•(1/4) = 4 кг

m_{3 период} = 16• (1/2)•(1/2)•(1/2) = 16•(1/2)³ = 16•(1/8) = 2кг

Получается, что верна формула

m = m₀•(1/2)^x

где x – это количество прошедших периодов полураспада.

Наши расчеты были просты, ведь периоды времени в 48000 и 72000 были кратны периоду полураспада. Но как определить массу батареи через 120 лет? За этот период прошло только 120/24000 = 1/20 периодов полураспада. Подставим это число в формулу и получим

m_{120 лет} = m₀•(1/2)^x = 16•(1/2)^1/20

Число 1/2 придется возвести в дробную степень. К счастью, в 9 классе мы уже узнали, что такое действие вполне допустимо и означает извлечение корня двадцатой степени. С помощью калькулятора можно посчитать, что

m_{120 лет}= 16•(1/2)^1/20 ≈ 16•0,965936 ≈ 15,45 кг

Итак, с помощью определения дробной степени мы можем фактически посчитать количество плутония в любой момент времени после старта. То есть существует функция, которая позволяет для каждого момента времени t посчитать массу батареи m. Посмотрим, как выглядит ее график:

Ранее мы изучали степенные и тригонометрические функции, однако они не были похожи на полученный нами график. Действительно, аналитически показанная зависимость задается формулой

m = m₀•(1/2)^x

где x– независимая переменная. В степенных функциях вида у = хⁿ независимая переменная стояла в основании степени, показатель же оставался постоянным числом. Здесь ситуация обратная – варьируемая переменная находится в показателе степени, а основание неизменно. В результате для изучения радиоактивности и ряда других явлений приходиться вводить в рассмотрение новую функцию.

Для начала начнем рассматривать простейшие функции вида

у = а^х

где х – независимая переменная, а число а является некоторой постоянной величиной. Функцию, задаваемую такой формулой, называют показательной функцией.

Приведем примеры показательных ф-ций:

у = 2^х

у = 0,36^х

у = (25/3)^х

Напомним, что при изучении дробных степеней мы вводили ограничение, согласно которому основание дробной степени НЕ может быть отрицательным. Поэтому записывая показательную функцию

у = а^х

предполагают, что число а неотрицательно. С другой стороны, надо отдельно выделить функции с основанием 1 и 0:

у = 1^x

у = 0^х

Понятно, что единица в любой степени равна самой себе, также как и ноль. Эти случаи не представляют практического интереса, а потому их также часто не рассматривают при изучении показательных функций. Теперь, разобравшись с возможными значениями числа а, мы можем дать определение показательной функции:

Отдельно отметим, что если у функции переменными являются одновременно и основание, и показатель степени, то ее называют показательно-степенной функцией. В качестве примера можно привести зависимость у = х^х. Подобные функции не изучаются в школьном курсе, так как они не имеют большого практического значения.

Степень с действительным показателем

Ранее мы в основном рассматривали функции, у которых аргумент х мог принимать любое действительное, в том числе и иррациональное значение. Например, в степенную функцию у = х⁶ мы можем подставить число, равное квадратному корню из двух:

Но можно ли подставить иррациональное число в показательную степень? В 9 классе мы давали определение для рациональной степени, и поэтому мы умеем вычислять значение функции у = а^х только в случае, когда х – рациональное число, то есть дробь.Для иррациональных значений х это определение не подходит. Как же тогда вычислять степени с действительными показателями?

Напомним, что любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической дроби, например:

Пусть нам надо вычислить величину

Поступим следующим образом. Сначала округлим корень до целого, тогда он окажется примерно равным единице. Подставив это число вместо х в выражение 5^х, мы получим

5¹ = 5

Увеличим точность нашего расчета и округлим корень до десятых, тогда он примерно будет равен 1,4. 1,4 – это дробь, а в дробную степень возводить числа мы умеем. С помощью калькулятора можно получить:

у = 5^1,4 ≈9,518269694

Видно, что разница между приближенными значениями 5¹ и 5^1,4 велика. Далее ещё сильнее увеличим точность расчета и округлим корень до сотых, тогда его величина составит 1,41, а выражение 5^х примет вид:

5^1,41 ≈ 9,672699729

Обратите внимание, что величины 5^1,4 и 5^1,41 отличаются уже не так значительно. Продолжим последовательно увеличивать точность нашего расчета, округляя корень до 3, 4, 5, 6 и т. д. знаков после запятой:

5^1,414 ≈ 9,735171039

5^1,4142 ≈ 9,738305174

5^1,41421 ≈ 9,738461907

5^1,414213 ≈ 9,738508928

5^1,4142135 ≈ 9,738516765

5^1,41421356 ≈ 9,738517705

Видно, что с ростом точности расчета результат изменяется всё меньше и меньше. Более того, с помощью методов высшей математики, не входящих в школьный курс, можно доказать, что в данном процессе значение величины 5^х стремится к некоторому предельному значению. Именно этот предел и принимают за значение функции у = 5^х при иррациональном значении числа х. Таким образом, вычислить значение показательной функции можно для любого действительного аргумента.

Заметим, что свойства степеней с действительным показателем совпадают со свойствами рациональных степеней. В частности, вполне корректны такие действия:

Свойства показательной функции

Сразу можно заметить, что свойства показательной функции зависят от ее основания. Действительно, попробуем по точкам построить график функции у = 2^х. При этом будем брать как положительные, так и отрицательные значения аргумента:

у (– 3) = 2^–3 = 1/2³ = 1/8

у (– 2) = 2^–2 = 1/2² = 1/4

у (– 1) = 2^{– 1} = 1/2¹ = 1/2

у (0) = 2⁰ = 1

у (1) = 2¹ = 2

у (2) = 2² = 4

у (3) = 2³ = 8

Отметим полученные значения точками на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Видно, что функция возрастает. Аналогичную картину мы увидим и в том случае, если основанием будет любое другое число, большее единицы:

Теперь попробуем построить график, заданный уравнением показательной функции

у = (1/2)^х

у которой основание меньше единицы. Вместо того чтобы отмечать точки на плоскости, выполним преобразования:

у= (1/2)^х = (2^–1)^x = 2^–х

Получили функцию, похожую на уже построенную нами у = 2^х. Единственное отличие – знак «минусом» перед переменной. Вычислим значение ф-ции у = 2^х при некотором х = s:

у(s) = 2^s

Далее вычислим значение ф-ции у = 2^–х при противоположном значении переменной х = – s:

у(– s) = 2^–(–s) = 2^s

Получили одно и то же значение 2^s. Это означает, что соответствующие точки графиков эти ф-ций располагаются симметрично относительно вертикальной оси Оу:

Из этого следует, что графики показательных функций у = 2^х и у = (1/2)^х симметричны относительно оси Оу:

Такую же симметрию можно наблюдать у графиков у = 3^х и у = (1/3)^х, у = 10^х и у = 0,1^х и т.д. В общем случае, если у одной показательной функции основание равно некоторому числу а, а у другой оно равно 1/а, то их графики окажутся симметричными.

Так как функция у = 2^х возрастает, то симметричная ей ф-ция у = (1/2)^х убывает. При этом основание 2 больше единицы, а основание 1/2 – меньше. В общем случае функция будет возрастать, если ее основание больше единицы, и убывать, если основание меньше единицы.

Очевидно, что значение выражения а^х можно вычислить при любом х. Это значит, что область определения показательной функции – вся числовая ось(– ∞; + ∞).

При возведении любого положительного числа в степень получается также положительное число. Получается, что область значения показательной ф-ции – это промежуток (0; + ∞).

Заметим, что любое число в нулевой степени равно единице:

а⁰ = 1

Это значит, что графики всех показательных ф-ций проходят через точку (0; 1):

Число е и экспонента

Среди всех показательных функций принято выделять одну особую, основанием которой является число e. Число e, или число Эйлера– это математическая константа, являющаяся иррациональным числом. Запишем первые несколько знаков этого числа:

e = 2,718281828459045…

Мы уже знаем о другой константе, числе π. У него есть строгое определение, оно представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. А какова природа числа е? Существует несколько различных способов определения числа. Мы рассмотрим наиболее простой на примере задачи.

Купец пришел к банкиру и взял у него взаймы денег. Ростовщик потребовал, чтобы через год купец вернул сумму в двукратном размере. То есть, если изначальная сумма долга равняется S, то вернуть надо величину

S + S = 2S

Купец вернул деньги, а потом снова пришел взять долг. Банкир решил схитрить. Теперь сумма долга увеличивается дважды – в середине года и в конце года, но растет она лишь наполовину. Обывателю может показаться, что общая сумма долга останется неизменной, ведь если к долгу добавить две половины, то он всё равно увеличится вдвое:

S + 1/2S = 3/2S– долг в середине года

3/2S+ 1/2S = 2S– долг в конце года

Однако банкир записал в контракте, что действует правило «сложного процента». То есть вполовину увеличивается всё тело кредита. Тогда в середине года задолженность составит

S•3/2 = 3/2S

А в конце года она вырастет до

3/2S•3/2 = 9/4S = 2,25S

что, конечно, больше 2S.

Обратите внимание, что итоговую сумму долга можно посчитать и иначе:

Д = S•(1 + 1/2)•(1 + 1/2) = S•(1 + 1/2)²= S•(3/2)²= 2,25S (1)

Купец вернул и эту сумму, но спустя некоторое время снова был вынужден обраться за кредитом. Тогда хитрый банкир решил, что долг будет расти 3 раза в год, каждый раз увеличиваясь на треть. Тогда общая сумма выплаты составит, по аналогии с (1), примерно 2,37S

Д = S•(1 + 1/3)•(1 + 1/3)•(1 + 1/3) = S•(1 + 1/3)³ = S•(4/3)³ ≈2,37S

Купец вернул и эту сумму, и тогда ростовщик подумал о том, насколько же он может стать богатым, если будет разбивать кредиты на огромное количество частей, чтобы эффект «сложный процентов» работал максимально эффективно. Вопрос – как сильно банкир сможет увеличить общий размер долга, используя такую тактику?

Пусть долг увеличивается n раз в течение года, и каждый раз на величину 1/nот суммы уже имеющегося долга, тогда общий размер выплаты, с учетом эффекта «сложных процентов», можно посчитать так:

Д = S•(1 + 1/n)•(1 + 1/n)… = S•(1 + 1/n)ⁿ

Нам надо понять, каково же максимальное значение выражения (1 + 1/n)ⁿ. Оказывается, что чем больше число n, тем больше и величина (1 + 1/n)ⁿ. Но, с другой стороны, величина этого выражения стремится к некоторому числу, которое оно никогда не превзойдет. Именно это число и называют числом e. Формулу для его определения можно записать так:

Получается, что тактика банкира оправданна, однако она не позволит ему увеличить сумму дохода больше, чем в e раз.

Итак, мы выяснили, что представляет собой число e. Если это число записать в основании показательной ф-ции, то получится зависимость

у = е^х

Эту функцию, а также ее график, часто называют экспонентой. Она имеет ряд примечательных особенностей, которые изучаются в 11 классе и на первых курсах в институте. Более того, при математическом описании многих физических явлений возникает число е.

Отметим, что нередко термин «экспонента» используется как название графика показательной функции с любым показателем.А если рост какой-то величины описывается показательной функцией, то говорят, что имеет место экспоненциальный рост. Дело в том, что графики всех показательных ф-ций очень похожи друг на друга, в том числе и на экспоненту, поэтому исторически так сложилось, что термин «экспонента» был перенесен на все показательные ф-ции. Аналогично и термином «парабола» обозначают не только ф-цию у = х², но и любую квадратичную функцию, описываемую уравнением

у = ax² + bx + c

Простейшие примеры с использованием показательной функции

Рассмотрим несколько примеров, в решении которых помогают знания о показательной функции, ее свойствах и графике.

Задание. Вычислите значение ф-ции у = 3^х при значениях аргумента, равного 0; 1; 2; – 3; 5.

Решение. Будем просто подставлять в заданную формулу значения х:

у(0) = 3⁰ = 1;

у(1) = 3¹ = 3;

у(2) = 3² = 9;

у(– 3) = 3^–3 = 1/3³ = 1/27;

у(5) = 3⁵ = 243

Ответ: 1; 3; 9; 1/27; 243.

Задание. Какое из чисел больше, 5,25¹⁸⁶ или 5,25¹⁸⁹?

Решение. Рассмотрим ф-цию у = 5,25^х. Это показательная ф-ция с основанием, большим единицы (5,25 > 1). Значит, ф-ция является возрастающей. Но тогда большим значениям аргумента соответствуют большие значения показательной функции. Следовательно, в точке х₁ = 189 ф-ция будет больше, чем в точке х₂ = 186, ведь 189 > 186. Тогда можно записать, что 5,25¹⁸⁶> 5,25¹⁸⁹.

Ответ:5,25¹⁸⁶> 5,25¹⁸⁹.

Задание. Какое число больше, 0,005^0,005 или 0,005^0,006?

Решение. Рассмотрим ф-цию у = 0,005^х. Она является показательной, причем ее основание 0,005 меньше единицы. Следовательно, она убывает. Так как 0,005 < 0,006, то величине х₁ = 0,005 соответствует бо̀льшее значение показательной ф-ции, чем величине х₂ = 0,006. Получается, что

0,005^0,005> 0,005^0,006

Ответ: 0,005^0,005> 0,005^0,006.

Задание. Укажите наибольшее значение ф-ции у = 5^х на промежутке [– 4; 2].

Решение. Ф-ция у = 5^х возрастает, поэтому ее значение тем больше, чем больше величина аргумента. Максимальное значение х на промежутке [– 4; 2] – это х = 2. Тогда наибольшее значение ф-ции у = 5^х на этом промежутке равно 5² = 25. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что минимальное значение ф-ция будет достигать при х = – 4. Оно составит

5^–4 = 1/5⁴ = 1/625 = 0,0016

Ответ: 25.

Задание. Постройте график ф-ции у = 2^х + 1.

Решение. Ранее мы изучали параллельный перенос графиков функций. Используем этот прием и здесь. Сначала построим график у = 2^х, а потом перенесем его на 1 единицу вверх:

Задание. Докажите, что выражение 5^х + 2 больше единицы при любом значении х.

Решение. Выражение 5^х положительно при любом х, то есть неравенство

5^х> 0

выполняется всегда. Добавим к его левой и правой части число 2 и получим:

5^х +2 > 2

Так как 2 > 1, мы можем записать, что

5^х +2 > 2 > 1

осталось лишь убрать двойку и получить из двойного неравенства одинарное:

5^х +2 > 1

Задание. Постройте график фу-ции у = 0,5•2^х

Решение. График можно построить двумя способами. Сначала вспомним, что при умножении функции на число ее график либо растягивается, либо сжимается в вертикальном направлении. Так как 0,5 = 1/2 < 1, то график должен «прижаться» к оси Ох, сжавшись в два раза. То есть каждая точка исходного графика отобразится в новую точку, чья ордината (координата у) будет вдвое меньше:

Но можно поступить и иначе. Выполним преобразования:

0,5•2^х = (1/2)•2^х = 2^–1•2^х = 2^{–1 + х} = 2^х–1

Оказывается, мы можем строить график ф-ции у = 2^х–1. Его можно получить из графика у = 2^х параллельным переносом в горизонтальном направлении – на 1 единицу вправо:

Обратите внимание – мы использовали два разных способа преобразования графика показательной функции, но в обоих случаях получили одинаковый результат.

Примеры показательной функции в природе

Мы уже увидели, что показательная ф-ция помогает описывать изменение массы тела, изготовленного из радиоактивного вещества. Однако она встречается и в биологии. Так, по показательному закону возрастает численность популяций биологических видов, если условия среды благоприятны для размножения.

Задание. В банке находится бактерия, которая размножается делением, причем деление происходит 1 раз в минуту. Известно, что за час бактерия полностью заполняет банку. Сколько времени нужно бактерии, чтобы занять половину банки?

Решение. Каждую минуту бактерий становится вдвое больше. Значит, через 60 минут (то есть через час) их будет вдвое больше, чем через 59 минут. Но тогда можно сказать, что через 59 минут их будет вдвое меньше, чем через час. Значит, именно через 59 минут бактерии будут заполнять ровно половину банки.

Ответ: 59 минут.

Примечание. Конечно, на практике бактерии так быстро не размножаются. Это связано с тем, что для роста популяции нужны ресурсы – еда и вода. В обычной пустой банке нет такого количества питательных веществ, чтобы бактерии могли полностью ее заполнить. Однако при производстве дрожжей удается из одной бактерии получить несколько тонн дрожжей буквально за 2 часа.

Ещё один пример показательной функции в природе – это остывание и нагревание тел. Тепло передается от более горячих тел к более холодным, причем скорость передачи тепла пропорциональна разности температур. То есть, если внести в комнату, где температура составляет 0 °С, чайник, разогретый до 80 °С, то сначала он будет остывать быстро, но со временем его температура станет меняться медленней. Схематично график изменения температуры чайника будет выглядеть так:

Видно, что график похож на показательную функцию с основанием, меньшим единицы. Можно доказать (в курсе теоретической физики), что это действительно показательная ф-ция, формула которой выглядит так:

T = T₁ + (Т₀ – Т₁)e^–kt

где Т₁ – температура окружающей среды (в данном случае 0°);

Т₀ – начальная температура чайника (в данном случае 80°);

k – некоторый коэффициент, учитывающий скорость охлаждения чайника и учитывающий его форму, плотность воздуха и т.п.

Иногда графики, иллюстрирующие реальные физические процессы, представляют собой экспоненту. Предположим, что с самолета сбросили камень. Вначале скорость его падения будет возрастать. Однако на камень будет действовать сила сопротивления воздуха. Она тем выше, чем больше скорость самого камня (также и человеку идти против сильного встречного ветра тяжелее, чем во время спокойной погоды). Поэтому с ростом скорости камня сопротивление воздуха, замедляющее его, будет возрастать.

На сопротивление воздуха влияет и его плотность, и скорость движение в воздухе. Если плотность газа низкая, то он создает меньшее сопротивление, но всё же он его создает. И чем больше скорость движения тела, тем сильнее сопротивляется газ. Грубо говоря, сопротивление воздуха возникает из-за столкновения тела с молекулами газов. Чем больше скорость тела, тем с большим количеством молекул газа оно успеет столкнуться.

В конце концов сила сопротивления воздуха сравняется с силой тяжести, и тогда скорость падающего камня станет постоянной. Если предположить, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости падения камня (это достаточно точное предположение), а сила тяжести и плотность воздуха меняются незначительно, то график изменения скорости камня будет выглядеть так:

Аналитически этот график можно описать как у = v_макс.(1 – e^–kt), где v_макс. – та максимальная скорость, которую стремится набрать камень.

Нередко показательные функции описывают и экономические процессы. Именно по показательному закону увеличивается сумма вклада, лежащего в банке (если на него начисляются сложные проценты). Также с помощью показательной функции можно рассчитать значение какого-либо экономического показателя, если известны темпы его роста и начальное значение.

Задание. Вася положил на вклад 10 000 рублей. Каждый месяц банк увеличивает сумму на его счете на 1%. Вася забыл о вкладе и вспомнил о нем через 10 лет. Какую сумму он заберет из банка?

Решение. Обозначим первоначальную сумму вклада как S. Тогда через месяц она вырастет на 1%, и составит S + 1% = 1,01S. Ещё через месяц сумма вырастет до 1,01S•1,01 = 1,01²S. Через n месяцев сумма будет составлять 1,01ⁿS.

10 лет – это 120 месяцев. Вычислим с помощью калькулятора величину 1,01¹²⁰:

1,01¹²⁰ ≈ 3,300387

Получается, что за десять лет сумма на вкладе вырастет примерно в 3,3 раза. Если первоначальная сумма вклада составляет 10000 рублей, то через 10 лет она вырастет до суммы

10000•1,01¹²⁰ ≈ 10000•3,300387 ≈ 33 003 рубля 87 копеек

В примере с банкиром банкир изначально давал кредит на 1 год по 100% годовых, из-за чего сумма долга увеличивалась в 2 раза. Потом он разбивал этот 1 год на более мелкие промежутки, но одновременно и уменьшал процент, начислявшийся за каждый такой промежуток. Общий же период долга всё равно оставался равным 1 году. Здесь же деньги лежат на вкладе аж 30 лет, поэтому общая сумма выросла больше, чем в e раз.

Ответ:33 003 рубля 87 копеек.

Задание. Среднегодовые темпы экономического роста китайской экономики в 1980-1989 г. составляли 9,7%, в 1990-1999 г. они выросли до 10%, а в 2000-2008 г. составляли 10,4%. Темпы роста американской экономики составляли 2,5%, 3,3% и 2,3%. Посчитайте, во сколько раз выросли американская и китайская экономики в период с 1980 по 2008 год.

Решение. Если экономика за год выросла на n то она увеличилась в (1 + n/100) раз. Если же экономика растет такими темпами 10 лет (в периоды 1980-1989 и 1990-1999 г.), то она увеличивается в (1 + n/100)¹⁰ раз. Тогда китайская экономика в 80-ые годы выросла в

(1 + 9,7/100)¹⁰ = 1,097¹⁰ ≈ 2,524 раза

а американская увеличилась только в

(1 + 2,5/100)¹⁰ = 1,025¹⁰ ≈ 1,28 раза

В период 90-х годов экономика КНР выросла в

(1 + 10/100)¹⁰ = 1,1¹⁰ ≈ 2,594 раза

А экономика США увеличилась в

(1 + 3,3/100)¹⁰ = 1,033¹⁰ ≈ 1,384 раза

Период 2000-2008 г. включает в себя только 9, а не 10 годов, поэтому для расчета прироста за этот период используем формулу (1 + n/100)⁹. Экономика Китая за эти 9 лет выросла на

(1 + 10,4/10)⁹ = 1,104⁹ ≈ 2,436 раза

Американская экономика выросла на

(1 + 2,3/10)⁹ = 1,023⁹ ≈ 1,227 раза

Суммарно экономика КНР за весь период в 29 лет стала больше в

2,524•2,594•2,436 ≈ 15,948 раз

Американская же экономика за период 1980-2008 год выросла в

1,28•1,384•1,227 = 2,173 раза

Ответ: в 15,948 раз; в 2,173 раза.