Алгебра

Урок 6: Числовые последовательности

Числовые последовательности

В этом уроке мы познакомимся с числовыми последовательностями. Среди них выделяют возрастающие и убывающие, ограниченные и неограниченные последовательности. С числовыми последовательностями тесно связан один из методов получения математических доказательств – метод индукции. Этот урок необходим для усвоения в будущем более сложной темы – арифметической и геометрической прогрессии.
slide6

    А Вы уже инвестируете? 
Слышали про акцию в подарок?

Перейти
slide6

               Зарегистрируйся по этой ссылке  
               и получи акцию до 100.000 руб

Перейти

План урока:

Понятие числовой последовательности

Способы задания последовательностей

Возрастающие и убывающие последовательности

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательности в жизни

 

Понятие числовой последовательности

Попытаемся записать в ряд все четные числа, начиная с двойки:

2, 4, 6, 8, 10, 12

Ясно, что запись можно продолжать бесконечно. Мы получили некоторый ряд чисел, в данном случае бесконечный. Любой такой ряд называется бесконечной числовой последовательностью

1dgfg

Приведем примеры бесконечных числовых послед-тей:

2hgfhf

Заметим, что числа в послед-ти могут повторяться. Так, известно, что число π – это бесконечная десятичная дробь 3,1415926… Выписывая в ряд эти цифры, можно получить послед-ть, в которой будут повторяющиеся числа:

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6

Числа, входящие в состав послед-ти, называют членами послед-ти. Всегда можно указать, какое число является первым членом послед-ти, какое – вторым и т. д. Для их обозначения используются буквы с индексами. Например, есть послед-ть четных чисел 2, 4, 6, 8… Выпишем первые ее члены, обозначая их буквой а:

3gfghf

Получается, что каждому натуральному числу n соответствует какой-то единственный член послед-ти, который обозначается как аn. То есть послед-ть задает некое правило, с помощью которого для каждого числа n можно вычислить число an. Отсюда можно сформулировать более сложное определение бесконечной числовой послед-ти – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

4 beskonechnaja chislovaja posledovatelnost

 

Способы задания последовательностей

Чтобы задать послед-ть, необходимо указать способ, с помощью которого можно вычислить любой ее член. Проще всего это сделать, записав формулу, в которой в качестве переменной использует номер члена послед-ти n.Такая формула называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример. Послед-ть задается формулой аn = 3n. Выпишите первые пять членов этой послед-ти.

Решение. Чтобы найти первый член послед-ти, то есть а1, просто подставим в формулу единицу:

5hgfh

Аналогично можно вычислить и следующие четыре члена послед-ти:

6hgfhj

Итак, послед-ть имеет вид:

3, 6, 9, 12, 15...

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15

 

Пример:Запишите формулу n-ого члена для послед-ти

1, 3, 5, 7, 9...

состоящей из положительных нечетных чисел.

Решение. Каждое нечетное число можно представить в виде 2n– 1. Тогда получаем:

7jghjg

Получаются как раз члены послед-ти, указанной в условии. Поэтому формула n-ого члена будет выглядеть как аn = 2n– 1.

Ответ: аn = 2n– 1.

Стоит обратить внимание, что для вычисления n-ого члена послед-ти НЕ нужно вычислять все предшествующие члены.

 

Пример. Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой аn = 2n2 + 1.

Решение. Подставим n = 38 в формулу и получим:

8jhgjg

Ответ: 1445

Теперь рассмотрим послед-ть, в которой первые два числа равны единице, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Она называется последовательностью Фибоначчи и начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Действительно, по условию, первые два члена – это единица:

9jhgj

а каждый следующий равен сумме предыдущих:

10jghj

Формулу n-ого члена записать для послед-ти Фибоначчи очень сложно (хотя и возможно). Вместо этого здесь удобнее использовать рекуррентный способ задания последовательности. Записываются первые несколько членов послед-ти, а после дается формула (ее называют рекуррентной), которая позволяет вычислить следующие члены по предыдущим:

11jhgui

При использовании рекуррентного способа для вычисления n-ого члена обычно необходимо вычислить все предыдущие члены послед-ти.

 

Пример. Найдите пятый член послед-ти, заданной рекуррентной формулой аn= 3•аn–1– 1, если а1 = 2.

Решение. Будем последовательно вычислять все члены послед-ти, вплоть до пятого:

12gdhy

Ответ: 5

Надо понимать, что одну и ту же послед-ть можно задать по-разному. Так, послед-ть четных чисел можно задать формулой n-ого члена аn = 2n, так и рекуррентной формулой аn = an–1 + 2, если а1 = 1.

 

Пример. Дана послед-ть, заданная формулой аn = n2. Задайте ее рекуррентным способом.

Решение. Сначала вычислим первый член послед-ти:

13hfyut

Чтобы записать рекуррентную формулу, попытаемся найти разницу между членами, имеющими номера n и (n– 1):

14hgfhf

Итак, получили равенство

15hfghf

Перенесем в нем слагаемое (– an– 1) вправо и получим рекуррентную формулу:

16hguiy

Наконец, некоторые послед-тине получается задать ни формулой n-ого члена, ни рекуррентным способом. Их можно только описать. Таковой является, например, послед-ть простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11...

Мы не будем это доказывать, однако не существует такой формулы, которая позволяла бы вычислить n-ое простое число либо по самому числу n, либо по предыдущим простым числам. Действительно, для построения такой послед-ти используют особый алгоритм, известный как решето Эратосфена. Если бы существовала формула n-ого члена, то потребность в использовании решета Эратосфена отпала бы.

 

Возрастающие и убывающие последовательности

Рассмотрим послед-ть, заданную формулой аn = 5n:

5, 10, 15, 20, 25...

Очевидно, что каждый следующий член больше предыдущего. Это значит, что мы имеем дело с возрастающей последовательностью.

17 vozrastajuschaja posledovatelnost

Теперь изучим послед-ть, заданной рекурсивным способом:

18jgyut

Выглядеть он будет так:

50, 48, 46, 44, 42...

Ясно, что каждый следующий член послед-ти меньше предыдущего. Такой ряд чисел называется убывающей последовательностью.

19 ubyvajuschaja posledovatelnost

Убывающие и возрастающие послед-ти называют также монотонными последовательностями.

20 monotonnaja posledovatelnost

Для того, чтобы определить характер послед-ти, достаточно найти разность членов аnи аn+1. Если получается положительное выражение, то послед-ть возрастает, а если выражение отрицательно, то послед-ть убывает. Если получилось выражение, которое может иметь различный знак, то послед-ть вовсе не является монотонной.

 

Пример. Послед-ть задана формулой an = n/(n + 1). Является ли она убывающей либо возрастающей?

Решение. Запишем выражения для вычисления n-ого и (n+ 1)-ого члена послед-ти:

21gtrjf

Осталось найти их разницу:

22gfjytu

При натуральных значениях n полученная разница является положительным числом. Это значит, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть послед-ть является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

Пример. Исследуйте на монотонность послед-ть, заданную формулой

23gtrujg

Решение. Если выписать первые члены послед-ти, может показаться, что она – убывающая:

-7, -12, -15, -16...

Но это не так. Запишем выражения для n-ого и (n + 1)-ого члена послед-ти:

24grhfgh

Теперь найдем их разность:

25grtye

Получили выражение (2n– 7), которое может быть как отрицательным, так и положительным (при n≥ 4). Это значит, что послед-ть немонотонна. В этом можно убедиться, вычислив четвертый и пятый член послед-ти:

26ngkgh

Получаем, что у54, поэтому послед-ть не является убывающей

Ответ: послед-ть немонотонна.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Изучим послед-ть, заданную с помощью формулы bn = 1/n. Её первые члены будут выглядеть так:

27htyjgh

Очевидно, что она является убывающей, ведь каждая следующая дробь меньше предыдущей. Вместе с тем все члены послед-ти являются положительными числами. Это значит, что для каждого выполняется неравенство bn> 0. То есть последовательность ограничена числом 0. В математике такие послед-ти называют ограниченными снизу.

28 posledovatelnost nazyvaetsja ogranichennoj snizu

Существует и послед-ти, ограниченные сверху. Это такие послед-ти, каждый член которых меньше какого-то постоянного числа.

29 posledovatelnost nazyvaetsja ogranichennoj sverhu

В качестве примера можно привести послед-ть, заданную формулой сn = 1 – 1/n. Каждый следующий ее член все ближе к единице, но ни один из них не достигает ее. Покажем, как строго доказать это. Для этого используют метод рассуждений «от противного».

Предположим, что послед-ть сn = 1 – 1/n не ограничена числом 1 сверху. Тогда существует такой ее член сn, для которого выполняется условие

30gfjh

Попытаемся найти номер этого члена:

31gfgthr

Полученное нер-во выполняется только для отрицательных n. Но n – это натуральное, то есть положительное число. Это говорит о том, что не существует такого натурального n, для которого справедливо нер-во 0 ≥ 1/n. Значит, и не существует такого сn, для которого верно нер-во сn ≥ 1. Из этого следует, что послед-ть ограничена сверху числом 1.

 

Пример. Докажите, что послед-ть mn = n2 – 6n + 4 ограничена снизу числом (– 6).

Решение. Предположим, что на самом деле послед-ть не ограничена снизу числом (– 6). Тогда хотя бы для одного ее члена будет выполняться нер-во

32bfgh

Найдем номер этого члена:

33bgfj

Получили неравенство второй степени. Для его решения следует найти корни квадратного трехчлена. Начнем с вычисления дискриминанта:

34bgfgh

Дискриминант отрицательный, а ветви параболы смотрят вверх. Поэтому схематично парабола относительно оси Ох будет располагаться так:

35 grafik paraboly

Видно, что нер-во решений не имеет. Значит, не существует такого номера n, для которого верно условие mn ≤ – 6. Следовательно, послед-ть ограничена снизу числом (– 6).

Если послед-ть ограничена одновременно и снизу, и сверху, то ее называют просто ограниченной послед-тью.

36 ogranichennaja posledovatelnost

Примером ограниченной последовательности является bn = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является vn = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

Примером ограниченной последовательности является bn = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является vn = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

1, 3, 5, 7, 9...

Начнем вычислять сумму первых членов двумя способами: просто складывая и используя формулу Sn= n2. Посмотрим, будут ли получаться одинаковые результаты.

37hfgh

Видно, что формула работает. Однако, сколько бы раз мы не проверяли ее, это не будет служить строгим доказательством ее справедливости. Возможно, что она будет работать для первого миллиона члена послед-ти, а для 1000001-ого даст ошибку. Поэтому поступим иначе. Предположим, что фор-ла Sn= nверна хотя бы для одного значения n, равного k:

38ngfj

Докажем, что тогда она будет верна и для следующего числа k + 1. То есть нужно доказать равенство

39nfgh

Ясно, что сумму (k + 1) членов послед-ти можно получить, прибавив к сумме k членов (то есть к Sk )ещё одно слагаемое an+1, то есть справедлива запись:

40vdfhfj

При этом мы предположили, что верно равенство

41btru

а число an+1 можно посчитать по формуле n-ого члена:

42gfdh

Тогда можно записать

43gfdghd

Получили формулу сокращенного умножения – квадрат суммы. Его можно «свернуть»:

44gfdg

Итак, если для формула Sk= k2 верна для k = 1 (а в этом мы убедились в самом начале), то она верна и для k = 2. Но если она верна для k = 2, то она верна и для k = 3 и т.д. Получаем цепочку утверждений, каждое из которых подтверждает истинность формулы для конкретного натурального числа k, а все вместе они подтверждают ее истинность для всех натуральных чисел. Таким образом, нам удалось доказать справедливость формулы Sn= n2.

Сформулируем принцип математической индукции:

45 pust est utverzhdenie chto kakoj to fakt imeet mesto pri ljubom naturalnom

То есть сначала надо доказать, что утверждение выполняется при n = 1. Это действие называют шагом индукции. Далее предполагают, что утверждение верно при n = k, и из этого выводят, что оно верно и для n =k + 1.

Пример. Докажите с помощью математической индукции, что сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

46hfdhj

Решение. Докажем базис индукции, то есть то, что утверждение верно при n = 1. Действительно, подставив единицу в формулу, получим:

47hfghf

Получили один и тот же результат. Базис индукции доказан.

Теперь предположим, что формула верна для произвольного n = k:

48hnfgj

Тогда сумма (k + 1) квадратов может быть найдена по формуле

49bfgh

Подставим в нее выражение для Sk и получим:

50hgfh

С другой стороны, нам надо доказать, что величина Sk+1определяется по формуле

51gfgtur

Приравняем выражения (1) и (2) и покажем, что они тождественно равны:

52gfhds

Умножим обе части на 6 и получим:

53gfjf

Получили одинаковые выражения в обоих частях рав-ва, поэтому оно является верным при любом значении k. Значит, мы смогли доказать шаг индукции, и следовательно, всё исходное утверждение.

 

Пример. Докажите, что любую сумму, большую 7 копеек, можно оплатить, используя только два типа монет: по 3 и 5 копеек.

Это утверждение, очевидно, верно сумм в 8, 9 и 10 копеек:

54hgfhf

Добавив к этим суммам ещё одну трехкопеечную монету, мы сможем получить выражения для следующих трех чисел:

55hfhg

С помощью ещё одной монетки в три копейки можно уплатить следующие 3 суммы:

56hgfh

Ясно, что продолжая подобные рассуждения, можно для любого натурального числа записать эквивалентную ему сумму пятерок и троек, что доказывает утверждение из условия.

 

Последовательности в жизни

Порою, изучая математические объекты, люди задумываются – а какое отношение все эти формулы имеют к реальной жизни? Встречаются ли последовательности в природе и обществе, или они являются лишь плодом фантазии математиков?

На самом деле последовательности имеют большое практическое приложение. Так, Фибоначчи сформулировал свою последовательность тогда, когда изучал скорость размножения кроликов. Если каждая пара кроликов рожает в месяц ещё одну пару, а через месяц и старая, и новая пара рожает ещё кроликов, то их численность будет расти также, как и последовательность Фибоначчи! Аналогично протекают процессы роста популяций других животных.

Большое значение последовательности имеют в программировании. Дело в том, что порою программам нужно получить некоторое случайное число, чтобы имитировать случайные события. Однако по ряду причин компьютеру тяжело сгенерировать истинно случайное число, поэтому часто используют генераторы псевдослучайных чисел. Это особые алгоритмы, порождающие последовательности чисел, которые кажутся случайными, хотя таковыми на самом деле не являются.

Встречаются последовательности и в астрономии. В частности, расстояние от планет до Солнца примерно можно рассчитать с помощью особой последовательности Тициуса-Боде. Последние исследования показывают, что и расположение планет в других планетных системах хорошо описывается этой последовательностью.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Послед-ть задана формулой аn = 7аn–1 – 4. Ее первый член равен 1. Укажите третий член послед-ти:
13
211
381
417
Ответить
4
Вопрос: 2
Послед-ть задана формулой аn = n2 + n. Чему равен ее 10-ый член?
190
2110
310
4152
Ответить
2
Вопрос: 3
Укажите восьмой член послед-ти Фибоначчи:
121
213
38
434
Ответить
1
Вопрос: 4
Что можно сказать о послед-ти аn = 1/n?
1Она ограниченная и возрастающая
2Она неограниченная и убывающая
3Она ограниченная и убывающая
4Она неограниченная и возрастающая
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Послед-ть задана формулой аn = 7аn–1 – 4. Ее первый член равен 1. Укажите третий член послед-ти:
1) 3 2) 11 3) 81 4) 17
2 вопрос:

Послед-ть задана формулой аn = n2 + n. Чему равен ее 10-ый член?
1) 90 2) 110 3) 10 4) 152
3 вопрос:

Укажите восьмой член послед-ти Фибоначчи:
1) 21 2) 13 3) 8 4) 34
4 вопрос:

Что можно сказать о послед-ти аn = 1/n?
1) Она ограниченная и возрастающая 2) Она неограниченная и убывающая 3) Она ограниченная и убывающая 4) Она неограниченная и возрастающая
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 17
2 вопрос: 110
3 вопрос: 21
4 вопрос: Она ограниченная и убывающая
Slide6

Лучшие условия по продуктам        Тинькофф по этой ссылке

Перейти
slide9

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

Перейти