План урока:

Понятие уравнения

Что такое корень уравнения?

Решение уравнений с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной

Примеры задач

Понятие уравнения

Уравнение являются одним из основных понятий алгебры и всей математики. Сам термин «алгебра» возник от названия книги «Китаб аль-джебрваль-мукабала», написанной великим ученым аль-Хорезми в 830 году, в которой он рассматривал способы решения уравнений.

Уравнение – это разновидность равенства. При этом в нем должна находиться хотя бы одна переменная, но их количество может быть любым. Дадим определение понятия уравнения:

В качестве примера уравнений можно привести следующие равенства:

• x=5;
• a+b+c=9;
• dg+98=(j+f)·k;
• L²+V²= 25²;
• 5z+3z=100.

Во всех приведенных примерах вместо переменной можно подставлять действительные числа, однако в старших классах мы познакомимся и с более сложными уравнениями, где в качестве переменных величин выступают такие математические объекты, как функции и вектора.

Уравнения – это не просто абстрактные математические конструкции. Часто они появляются при описании окружающего мира на формальном языке математики. Пусть доходы семьи за месяц обозначаются буквой Д, а расходы – Р. Разница в доходах и расходах семьи идет на сбережения (С). Формально такую ситуацию можно описать уравнением:

Д – Р=С.

Что такое корень уравнения?

Как и в любое буквенное выражение, в уравнение можно подставлять различные значения переменных. В зависимости от них оно будет превращаться либо в верное равенство, либо в неверное. Подставим r=6 в уравнение

(r+2)·r=48

и получим запись

(6+2)·6=48.

Очевидно, что это равенство верное. Но если подставить значение r=1, то получится ошибочное равенство

(1+2)·1=48.

Число 6 будет называться корнем уравнения (r+2)·r=48, а число 1 им не является.

Дадим строгое определение понятию корня уравнения:

Слово набор используется для того, чтобы охватить определением уравнения с несколькими переменными. Так, переменных две, то следует указывать пару чисел, которые могут обернуть выражение в равенство. Так, для уравнения

M+W=10;

корнем является набор M=4; W=6. Однако по отдельности ни число 6, ни число 4 не является корнем уравнения.

Именно поиск корней уравнения и является целью при его решении:

Встает вопрос – а сколько корней может быть у уравнения? Их число может быть абсолютно разным. Возможно записать уравнение, имеющее любое наперед заданное количество корней. Покажем, как это сделать. Уравнение

y–1=0

имеет ровно один корень, равный единице. Теперь умножим его левую часть на выражение (y–2):

(y–2)·(y–1)=0.

Произведение нескольких чисел может равняться нулю только тогда, когда хотя бы одно из них равняется нулю. Поэтому корнями данного уравнения будут числа 1 и 2. Чтобы построить уравнение с 3 корнями, допишем слева ещё одно выражение в скобках:

(y–3)·(y–2)·(y–1)=0.

Теперь имеем три корня: 1, 2 и 3. Добавляя слева подобные выражения, можно получить уравнение с любым количеством корней. Например, ровно 7 корней будет иметь уравнение

(y–7)·(y–6)·(y–5)·(y–4)·(y–3)·(y–2)·(y–1)=0.

Есть ещё два особых случая. Первый из них – это уравнения с бесконечным количеством корней. Примером подобного равенства является z=z.Очевидно, что при любом значении z оно будет верным, поэтому у него бесчисленное множество корней.

Второй особый случай – это уравнения, вообще не имеющие ни единого корня.Доказать их существование можно, просто приведя пример:

y²= –5.

Действительно, если мы возведем в квадрат любое действительное число, мы получим неотрицательное число, поэтому приведенное уравнение не имеет решения.

Однако в данном случае стоит отметить, что количество корней может зависеть от того, какие числа допускается подставлять в записанное выражение. Дело в том, что математики в XVI веке придумали новое понятие – «мнимые числа». Их особенность заключается в том, что при умножении на себя они дают отрицательное число!Например, число «мнимая единица», которая обозначается символом i, при возведении в квадрат дает –1:

i² = –1.

Мнимые числа были специально введены в алгебру для того, чтобы из отрицательных чисел можно было извлекать квадратный корень. Однако со временем область их применения в математике сильно расширилась. Более того, мнимые числа даже используются на практике. Оказалось, что с их помощью удобно описывать процессы в электрических цепях и квантовые явления. Более подробно мнимые числа будут изучены в старших классах и институте. Пока же мы будем учитывать только действительные корни уравнений.

Иногда уравнение записывается так, что в него нельзя подставлять некоторые числа. Часто это связано с недопустимостью деления на ноль. Так, в уравнение

(9-d)/(p-5)=9dx

нельзя подставлять значение p=5. В таком случая говорят, что число 5 не входит в область определения уравнения.

Решение уравнений с одной переменной

Рассмотрим простейшее уравнение вида

z=b,

где z– это переменная, а b – произвольное действительное число. Приведем примеры простейших уравнений:

• e=7;
• L=9;
• f= –10,68;
• y=0.

Очевидно, что единственным корнем уравнения z=b является число b.

Для решения всех остальных уравнений их постепенно упрощают, сводя к одному или нескольким простейшим. Для этого из исходного уравнения с помощью некоторого набора правил получают эквивалентное, или равносильное, уравнение.

Например, уравнения 2y+5=15 и 4z=20 равносильны друг другу, так как имеют единственный корень, равный 5.Убедиться в этом можно подстановкой:

2·5+5 = 15;

4·5 = 20.

Какими же способами можно получить из одного уравнение другое, равносильное ему? Во-первых, и в левой, и в правой части можно делать стандартные алгебраические процедуры:

• складывать подобные слагаемые;
• раскрывать скобки;
• выносить общий множитель за скобки.

Например, запись 5d+4d=5z+5k будет эквивалента равенству 9d=5(z+k). Здесь в левой части сложили подобные слагаемые, а в правой вынесли множитель 5 за скобки:

5d+4d = 5z+5k

9d = 5z+5k

9d = 5(z+k).

Во-вторых, к левой и правой части можно добавлять любое одинаковое выражение. Равносильными будут уравнения y+9=10 и y+10=11, так как обе части были увеличены ровно на единицу:

y+9 = 10

y+9+1 = 10+1

y+10 = 11.

Но добавлять можно и выражения, содержащие переменные, поэтому эквивалентны друг другу будут уравнения r+6=8 и r+6+r²=8+r².

Однако здесь можно совершить логическую ошибку, если забыть про области определения уравнений. Приведем пример. Уравнение

N+7=9

имеет единственный корень, равный 2:

2+7 = 9

Теперь добавим к его частям выражение 1/(N-2):

N+7+1/(N–2)=9+1/(N–2).

Подумайте, сколько решений имеет получившееся уравнение? Оказывается, ни одного! При подстановке N=2 получаем деление на ноль, а потому число 2 теперь не может являться корнем уравнения:

N+7+1/(N–2) = 9+1/(N–2);

2+7+1/(2–2) = 9+1/(2–2) (подставили N = 2);

9+1/0 = 9+1/0 (получили деление на ноль).

Но если бы мы добавили к обеим частям дробь 1/(N-3), то получили бы равносильное уравнение:

N+7+1/(N–3) = 9+1/(N–3);

2+7+1/(3–2) = 9+1/(3–2) (подставили N = 3);

9+1/1 = 9 + 1/1;

9+1 = 9+1;

10 = 10.

Добавлять можно не только положительные, но и отрицательные числа. В таком случае мы вычитаем из частей уравнения одинаковое выражение. Из уравнения h+10=20 вычтем число 4 и получим h+6=16:

h+10 = 20;

h+10 – 4= 20 – 4;

h+6 = 16.

На этом свойстве уравнений построен специальный прием, который называют переносом слагаемого из одной части в другую. Пусть дано уравнение L+2=5. Вычитая из обеих частей число 2, получаем запись L= 5–2:

L+2 = 5;

L+2–2 = 5–2;

L = 5–2.

Мы перенесли двойку из левой части в правую, при этом она поменяла знак с плюса на минус. Подобным образом можно перенести любое слагаемое.

Покажем перенос слагаемых на нескольких примерах:

3d²+7 = 2d²+10;

3d² = 2d²+10–7(перенесли 7 вправо);

3d² –2d² = 10–7(перенесли 2d² влево);

d² = 3 (сложили подобные слагаемые).

Ещё один пример:

4F–9+2G = 5+2G–2F;

4F–9+2G+2F = 5+2G (перенесли влево слагаемое –2F);

4F+2F = 5+2G+9–2G (перенесли вправо –9 и 2G);

2F = 14 (сложили подобные слагаемые).

В-третьих, обе части уравнения можно умножить или поделить на одинаковое число или выражение. Так, эквивалентны равенства 3p=7 и 6p=14:

3p = 7;

2·3p = 2·7;

6p = 14.

Но здесь стоит соблюдать осторожность и учитывать области определения уравнений. Приведем пример ошибки. Уравнение

x/(x+2)+2/(x+2)=0

умножим на (х+2). В результате получим:

x/(x+2)+2/(x+2) = 0;

(x/(x+2)+2/(x+2))·(х+2) = 0·(x+2);

(х+2)·x/(x+2)+ (х+2)· 2/(x+2) = 0·(x+2);

х+2=0

и корень, равный (–2). Однако если подставить его в исходное уравнение, то получим выражение, не имеющее смысла из-за деления на ноль:

x/(x+2)+2/(x+2) = 0;

–2/(–2+2)+2/(–2+2) = 0; (подставили x = –2)

-2/0+2/0 = 0.

Этих методов достаточно для решения простых уравнений. Существуют и иные способы их преобразования (логарифмирование, возведение в степень и т.п.), которые будут рассмотрены в старших классах.

С помощью эквивалентных преобразований можно решить самые сложные задачи, постепенно упрощая выражение. Пусть есть уравнение

(2x+1)(3x–2)–6x(x+4)= 67–2x.

Решим его. Попробуем сначала раскрыть скобки в левой части:

(6x²–4x+3 –2) – (6x²+24x) = 67–2х

6x²–4x+3x–2–6x²–24x = 67–2х.

Далее перенесем слагаемое (-2x) в левую часть, а (-2) в правую. В результате в одной части у нас будут только слагаемые с переменной, а в другой – числа:

6x²–4x+3x–6x²–24x–67+2x=67+2.

Приведем подобные слагаемые. 6x² и –6x² сократятся:

–23x=69.

Теперь поделим обе части на –23:

x = –3

Получили простейшее уравнение, единственный корень которого равен -3. Так как каждое наше преобразование было равносильным, то и исходное уравнение имеет единственный корень –3. Подставив его туда, можно проверить себя:

(2x+1)·(3x–2)–6x·(x+4) = 67–2x;

(2·(–3)+1)·(3·(–3)–2)–6·(–3)·(–3+4) = 67–2·(–3) (подставили х = –3);

(–6+1)·(–9–2)–(–18)·1 = 67–(–6);

(–5)·(–11)+18 = 67+6;

55+18=73;

73 = 73.

Линейное уравнение с одной переменной

Существует много разновидностей уравнений: квадратные, кубические, логарифмические, тригонометрические и т.п. Наиболее простыми являются линейные уравнения.

Примеры линейных уравнений:

• 2x=9;
• 5F=¼;
• 6d=-1,5;
• ¾L=0,96.

Возможны 3 случая:

1. a=0 и b=0;
2. a=0, но b≠0;
3. a≠0.

В первом случае имеем уравнение 0·x=0. При любом значении переменной мы будем получать верное равенство 0=0, поэтому уравнение будет иметь бесконечное множество корней.

Во втором случае имеем уравнение 0·x=b. Левая часть при любом значении x будет равняться нулю, а правая нет, поэтому уравнение не будет иметь ни одного решения.

В третьем случае обе части уравнения поделим на a. Тогда получим равносильное равенство x=b/a. Получаем ровно один корень.

Примеры задач

Уравнения активно используются для решения разнообразных задач. При этом используется следующий алгоритм:

1. неизвестная величина в задаче обозначается буквой, то есть принимается за переменную величину;
2. на основании условий задачи записывается уравнение;
3. решая его, находят значение неизвестной величины.

Рассмотрим несколько примеров.

№1. Фирме принадлежит два офиса. Их общая площадь составляет 508 м². Известно, что одно из помещений занимает площадь в три раза больше, чем второе. Какова площадь каждого здания?

Обозначим как x площадь меньшего офиса. Тогда второе помещение занимает площадь 3x. Их сумма равна 508 м². Это условие можно представить следующим уравнением:

x+3x=508.

Найдем корень уравнения:

x+3x=508;

4x=508;

x=508/4;

x=127.

Получаем, что площадь меньшего офиса составляет 127 м². Тогда второе помещение занимает 3·127=381 м². Результат можно проверить: 127+381=508. Оба условия задачи соблюдены.

Попробуем решить задачу, составив иное уравнение. Обозначим x площадь первого помещения, но площадь второго выразим как (508-x). Тогда уравнение и его выглядеть так:

3x = 508–x; (так как площадь двух помещений отличаются в три раза)

3x+x=508;

4x=508;

x=127.

Из приведенного примера ясно, что условия задачи можно использовать по-разному, а потому и исходные уравнения могут получаться различными. Однако на ответ задачи это не влияет. Более того, можно было принять за неизвестное площадь второго офиса, а не первого.

№ 2. У металлурга есть два слитка. В первом содержится 20% золота, а во втором – 60%. Масса первого самородка на 4 кг меньше, чем масса второго. Металлург сплавил их и получил новый слиток, в котором содержалось 45% золота. Сколько весил каждый из слитков до их сплавления?

Примем за x кг массу первого самородка. Тогда второй должен весить (x+4) кг. Новый слиток весит столько же, сколько первый и второй самородки вместе взятые: x+(x+4).

Теперь оценим массу золота в каждом слитке. В первом его содержится 0,2x (20% от x). Во втором самородке 0,6(x+4) драгоценного металла, а в новом слитке содержится 0,45(x+(x+4)) килограмм золота. Так как количество золота при переплавке не изменяется, то должно выполняться уравнение:

0,2х+0,6(х+4)=0,45(х+(х+4)).

Раскроем скобки:

0,1х+0,6х+2,4=0,45(х+х+4);

0,1х+0,4х+1,2=0,45х+0,45х+1,8.

Теперь перенесем все слагаемые с неизвестной величиной влево, а числа – вправо:

0,1x+0,4х–0,45х–0,45х=1,8–2,4.

Приведем подобные слагаемые:

–0,1х=–0,6.

Получили линейное уравнение, его корень равен

х=(–0,6)/(–0,1)=6.

Первый самородок весит 6 кг. Значит, второй слиток имеет массу 6+4=10 кг, а новый слиток, получившийся после сплавления первых двух, весит 16 кг.