Алгебра

Урок 5: Решение уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

На прошлом уроке мы освоили решение простейших тригонометрических уравнений. Однако часто встречаются уравнения более сложного вида. Для их решения надо уметь использовать некоторые особые приемы.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Замена переменной

Применение формул для преобразования уравнений

Однородные тригонометрические уравнения

Введение вспомогательного угла

Уравнения с ограничениями на значение переменной

 

Замена переменной

Пусть необходимо решить тригонометрическое уравнение

1hghj

Это уравнение уже не является простейшим. Однако если заменить выражение 2х новой переменной (обозначим ее как t), то мы получим уже знакомое нам ур-ние:

2gfhgh

Формула его корней выглядит так:

3hgfgh

откуда получаем

4fghj

У нас есть формула, по которой можно вычислить значения t. Теперь произведем обратную замену:

5hgfgh

Поделим это равенство на 2 и получим решение ур-ния:

6hgfgk

Аналогичным путем можно решить любое уравнение вида

7ghhj

Где Т – какая-то тригонометрическая функция, k, b и a – некоторые числа.

 

Задание. Найдите решение тригонометрического уравнения

8gfdfyt

и выпишите его первые три положительных корня.

Решение. Введем переменную t = 3x + π/6, тогда ур-ние примет вид:

9fdsg

Далее следует обратная замена:

10rtr

Получили формулу корней. Теперь надо найти три наименьших положительных корня. Напомним, что тригон-кое ур-ние имеет бесконечное количество корней, но каждый из них соответствует какому-либо целому числу n. Это соответствие как раз и задается формулой корней. Достаточно лишь выбрать какое-нибудь целое число n и подставить его в формулу корней. При этом большим значениям n соответствуют большие корни.

 Выберем n = 0 и получим

11fdsdr

Это положительный корень, но является ли он наименьшим? Проверим n = – 1:

12nhgj

Это отрицательное число. Значит, при n ≤– 1 получаются отрицательные корни, а при n ≥ 0 корни будут положительны. Нам нужны три наименьших положительных корня, им соответствуют значения n, равные 0, 1 и 2. Ноль мы уже подставляли в формулу корней, теперь подставим единицу и двойку:

Подставлять надо целые числа, потому что именно целым числам соответствуют корни уравнения. После формулы корней в ответах делается приписка «n∈ Z», или «где n – целое число».

13ggfhj

Примечание. Записывая общее решение тригонометрических ур-ний (то есть серию корней), мы везде делаем приписку «n∊Z», которая означает, что n– это произвольное целое число. В будущем в промежуточных выводах мы ее делать не будем, так как она всегда подразумевается. Однако при решении учебных заданий, в том числе и на экзаменах, в ответе надо обязательно дописывать эту фразу, иначе оценка может быть снижена.

Заметим, что часто в простых случаях новую переменную не записывают явно, чтобы сделать решение более простым.

 

Задание. Решите ур-ние

14fdfg

Решение. Ур-ние cosx = – 1 является частным случаем, у которого решение записывается так:

15nhj

Тогда для ур-ния cos (2x– π/4) = – 1 можно написать

16nhjk

 

Задание. Решите ур-ние

17hui

Решение. Слева стоит произведение двух скобок, а справа – ноль. Произведение будет равняться нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из его множителей будет нулевым, то есть:

18kio

Вычислить arcsin 1/3 и arccos (– 2/5) мы не можем, так как чисел 1/3 и 2/5 нет в тригонометрических таблицах, поэтому оставляем решения в таком виде.

19fgh

Теперь рассмотрим чуть более сложный случай, когда в качестве новой переменной принимают саму тригонометрическую функцию.

 

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

20kjhl

Решение. Здесь за переменную можно принять величину sinx:

21hbgfjh

Получили обычное квадратное уравнение! Решим его, найдя дискриминант

22nhgj

У нас есть два значения t. Можно произвести обратную замену неизвестного:

23hgj

Получили два тригонометрических уравнения. Второе из них решений не имеет, ведь область значений синуса – это промежуток [– 1; 1], то есть ни при каких х он не может быть равен двум. Решим первое уравнение:

24gfdg

 

Применение формул для преобразования уравнений

Когда в уравнении стоят различные тригонометрические функции, то замена одной из них переменной не помогает найти корни ур-ния. В таких случаях требуется использовать тригонометрические формулы, чтобы получилось ур-ние, содержащее только одну тригонометрическую функцию.

 

Задание. Решите ур-ние

25ghfh

Решение. В уравнении стоят две различные тригонометрические функции – синус и косинус. Следует упростить левую часть, чтобы в ней осталась только одна функция. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

26jhgj

С его помощью можно выразить величину sin2 x:

27hgfgh

Теперь подставим эту формулу в исходное ур-ние:

28hyu

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

29jhgj

Получили обычное уравнение с заменой переменной. Из него с помощью замены t = cosx получаем квадратное ур-ние:

30jhghj

Производим обратную замену:

31fdf

Каждое из этих ур-ний имеет решение. Начнем с первого из них:

32gfdfg

Арккосинус от отрицательного числа найдем отдельно, используя формулу

33nhghj

Подставляем вместо а число 0,5:

34gdfg

Тогда решение ур-ния cosx = – 0,5 примет вид:

35gfdfg

Теперь решим второе ур-ние:

36gfdfg

 

Задание. Решите ур-ние

37ghfgh

Решение. Перенесем все выражения в левую часть:

38nhghj

Можно заметить, что теперь в левой части стоит выражение, которое похоже на формулу синуса разности двух углов:

39gfdfg

Действительно, если в формулу подставить значения α = 5х и β = 3х, то мы получим левую часть ур-ния. Это значит, что ур-ние можно переписать в виде:

40gdfg

 

Задание. Решите ур-ние

41gfdfg

Решение. Сначала заменим синус двойного угла:

42fgdfg

Далее вынесем за скобки множитель 2sinx:

43fgfg

В скобках осталось выражение, которое, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно единице:

44gdfgd

 

Задание. Решите ур-ние

45ggfhhj

Решение. Заменим cos2x, используя формулу косинуса двойного угла:

46ghfgh

теперь избавимся от соs2x:

47gfdfg

Вводим переменную t = sinx:

48ghfgh

Выполняем обратную замену:

49gfdfg

Запишем их решения:

50gfdfg

 

Задание. Решите ур-ние

51gfgh

и укажите те корни, которые принадлежат промежутку [– 2π; – π].

Решение. Преобразуем обе части, используя формулу косинуса двойного угла, а также формулу приведения sin (x + π/2) = cosx:

52gfgh

И снова вводим новую переменную cosx = t:

53gfdfg

Выполняем обратную замену

54gfdfg

Так как arccos (– 0,5) = π – arccos 0,5 = π– π/3 = 2π/3, то решениями этих ур-ний будут серии:

55ghgjh

Первая часть задания выполнена. Теперь следует отобрать корни, попадающие в промежуток [– 2π; – π]. Сначала для удобства разобьем первую серию решений на две:

56gdfg

Подставим в серии решений число n = 0:

57gfdfg

Получили три корня, которые больше, чем (– π), а потому располагаются на координатной прямой правее промежутка [– 2π; – π].Значит, нет смысла проверять ещё большие значение n, ведь им будут соответствовать ещё большие значения х. Будем подставлять отрицательные значения до тех пор, пока не получим корни, меньшие (– 2π). При n = – 1 имеем:

58gfdfg

Корни х1 и х2 попадают в промежуток [– 2π; – π]. Теперь подставим n = – 2:

59fgdfg

Все три полученных значения меньше, чем (– 2π), то есть они не входят в нужный нам промежуток. Нет смысла подставлять другие значение n (– 2, – 3, – 4 …), так как будут получаться ещё меньшие корни. В итоге только два корня, (– 4π/3) и (– 2π), принадлежат промежутку [– 2π; – π].

60fgdfg

Иногда в ур-нии стоят тригонометрические функции от разных углов. В этом случае приходится использовать формулы суммы или разности аргументов.

 

Задание. Решите ур-ние

61ghffgh

Решение. Разложим выражения sin (π/3 – х) и sin (π/6 – х), используя формулу синуса и косинуса разности:

62gfgh

Тогда левая часть ур-ния примет вид:

63gfdg

Здесь мы просто левую часть, в которой большое выражение стоит, заменяем 64ggjfj

А то, что такую замену можно сделать, мы доказали в решении до этого, используя формулы разности.

Соответственно, всё уравнение можно переписать так:

65gghgj

Однородные тригонометрические уравнения

Особый интерес представляют уравнения вида

66gdfg

где а и – некоторые постоянные числа, не равные нулю. Такие ур-ния называют однородными уравнениями 1-ой степени. Приведем несколько примеров таких ур-ний:

67gfgjhj

Для решения таких ур-ний обе части делят на cosx:

68gfdgd

Обратите внимание, что при выводе этой формулы мы делили ур-ние на cosx. Однако это выражение может быть равным нулю, а деление на ноль запрещено. Это значит, что мы должны быть уверены, что у ур-ния нет такого корня х, что соs х = 0. Уверены ли мы в этом?

Заметим сразу, что функции у = sinx и у = cosx обращаются в ноль в различных точках. Поэтому, если сosx = 0, то sinx ≠ 0, а значит, и всё выражение

69gfdfg

не равно нулю. Поэтому мы можем спокойно делить такое ур-ние на соsx.

 

Задание. Решите ур-ние

70fdsdf

Решение. Делим обе части на соsх и получаем:

71gfdft

 

Задание. Решите ур-ние

72gdfg

Решение. Можно составить две формулы приведения:

73ghfdg

С их учетом исходное ур-ние примет вид:

74gfdfg

Делим ур-ние на cos 2x:

75gfdfg

Существуют и более сложные однородные уравнения второй степени. В общем случае они имеют вид:

76gfdfg

Для того, чтобы решить их, необходимо поделить обе части на cos2x, и тогда мы получим равносильное ур-ние:

77gfdfg

Произведя замену tgx = t, получим квадратное уравнение

78fgdgd

 

Задание. Решите ур-ние

79gdfg

Решение. Поделим обе части на выражение cos2x:

80fgdfg

Введем переменную tgx = t:

81fgdfg

Возвращаемся к переменной х:

82fgdg

 

Введение вспомогательного угла

В правой части однородного ур-ния стоит ноль. Усложним задачу и рассмотрим схожие ур-ния, у которых справа стоит произвольное число, которое может быть и отлично от нуля. То есть ур-ние имеет вид

83gfdfg

Существует ли универсальный метод решения тригонометрических уравнений такого вида? Да, существует, и называется он методом вспомогательного угла. Очевидно, что величина a2 + b2 является положительной, ведь это сумма квадратов чисел, отличных от нуля. Это значит, что существует действительное число

84hgfgj

которое больше нуля.

Поделим ур-ние на N и получим новое ур-ние

85hgfgh

Для краткости введем новые обозначения:

коэффициенты уравнения запишем большими буквами, чтобы не писать корни.

86hgfgh

и тогда ур-ние примет более простой вид:

87gfdfg

Попытаемся найти величину А2 + В2:

88gfdfg

Так как величина А2 + В2 равна единице, то можно подобрать такой угол α, что будут одновременно выполняться равенства

89gfdfg

Угол α называют вспомогательным углом. Как его подобрать? Из равенства А = sinα очевидно, что

90gdfgh

Заменим в (1) числа А и В по формулам (2) и (3) и получим:

91gdfg

Теперь слева стоит косинус разности, который можно «свернуть»:

92fdsg

Это уже почти что простейшее тригонометрическое уравнение, которое мы сможем решить.

 

Задание. Решите ур-ние

93gfdfg

Решение. Коэффициенты перед синусом и косинусом равны 5 и 12. Найдем корень из суммы 52 + 122:

94fgdfg

Значит, число N = 13. Поделим ур-ние на 13:

95gfdfg

Теперь введем вспомогательный угол α = arcsin 5/13. Тогда

96dfsdf

Подставим в (1) вместо дробей 5/13 и 12/13 sinα и cosα:

97gfdfg

Теперь смотрим в тригонометрические формулы сложения и вычитания аргументов. Есть ли там что-то похожее на левую часть ур-ния? Действительно, там есть следующая формула:

98gfdhg

Наше ур-ние похоже на эту формулу, но надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое. Для этого можно умножить ур-ние на (– 1):

99hgfh

Уравнения с ограничениями на значение переменной

До этого мы рассматривали случаи, при которых переменная х могла принимать любые значения в уравнении. Однако, если в ур-нии переменная стоит под знаком корня или находится в знаменателе, то возникают некоторые ограничения на те значения, которые она может принимать. Рассмотрим пример.

 

Задание. Решите ур-ние

100gdfg

Решение. В левой части произведение двух множителей, а справа – ноль, следовательно, можно записать:

101gfdg

Решение для первого уравнения запишем в виде двух серий, а не одной (так проще будет проводить дальнейшее исследование). Сначала вычислим арксинус:

102gfdtyr

Тогда получаем три серии решений:

103hgfyu

Теперь учтем, что в исходном уравнении выражение cosx стоит под корнем, поэтому должно соблюдаться условие:

104gfdt

Косинус принимает положительные значения в I и IV четверти. Отметим все серии решении на единичной окружности и посмотрим, какие из них попадают в I и IV четверть:

105gftyu

Теперь мы видим, что корни из серии 4π/3 + 2πn находятся в III четверти, то есть для них соsx< 0. Значит, их следует исключить из ответа.

106fghfgh

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Решите ур-ние ctg2x = ctgx
1π/3 + πn
2π/6 + πn
3π/4 + πn, π/3 + πn
4π/2 + πn, π/4 + πn
Ответить
4
Вопрос: 2
Решите ур-ние sin2x + 3sinx + 2 = 0
1π/2 + πn
2π/2 + 2πn
3π/3 + πn
4π/3 + 2πn
Ответить
2
Вопрос: 3
Решите ур-ние sin 2x = 0,5
1π/12 + πn, 5π/12 + πn
2π/18 + πn, 5π/18 + πn
3π/6 + πn, 5π/6 + πn
4π/24 + πn, 5π/24 + πn
Ответить
1
Вопрос: 4
Решите ур-ние 2 cos2x + 2cosx + sin2x = 0
1π/2 + 2πn
2π/3 + 2πn
3π + 2πn
42πn
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Решите ур-ние ctg2x = ctgx
1) π/3 + πn 2) π/6 + πn 3) π/4 + πn, π/3 + πn 4) π/2 + πn, π/4 + πn
2 вопрос:

Решите ур-ние sin2x + 3sinx + 2 = 0
1) π/2 + πn 2) π/2 + 2πn 3) π/3 + πn 4) π/3 + 2πn
3 вопрос:

Решите ур-ние sin 2x = 0,5
1) π/12 + πn, 5π/12 + πn 2) π/18 + πn, 5π/18 + πn 3) π/6 + πn, 5π/6 + πn 4) π/24 + πn, 5π/24 + πn
4 вопрос:

Решите ур-ние 2 cos2x + 2cosx + sin2x = 0
1) π/2 + 2πn 2) π/3 + 2πn 3) π + 2πn 4) 2πn
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: π/2 + πn, π/4 + πn
2 вопрос: π/2 + 2πn
3 вопрос: π/12 + πn, 5π/12 + πn
4 вопрос: π + 2πn
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти