План урока:

Проведение касательных к графику функции

Поиск минимального и максимального значения функции

Оптимизационные задачи

Проведение касательных к графику функции

Ранее мы уже узнали, что значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в этой же точке. Напомним, что любая прямая линия представляет собой график линейной функции. Это значит, что ее можно описать линейным ур-нием вида

где k и b – некоторые числа.

Как же составить такое ур-ние для касательной? Очевидно, что надо найти числа k и b. С k проблем нет – этот число называется угловым коэффициентом прямой и как раз равно тангенсу угла наклона прямой, то есть

Теперь попытаемся определить число b.

Пусть касат-ая к графику функции у(х) проведена через точку с координатой х = а. Тогда ее ордината (координата у) равна у(а), а угловой коэффициент касат-ой равен у′(а).

найденные нами значение k и b. В итоге получим следующее

Полученное ур-ние называют уравнением касательной к графику функции.

Продемонстрируем несколько задач, в которых это ур-ние может пригодиться.

Задание. К графику у = х² проведена касат-ая в точке х = 1. Запишите ур-ние этой касат-ой, а также найдите точку, в которой она пересекает ось Ох и ось Оу.

Решение. Найдем производную у′:

В уравнение касательной надо подставить значения ф-кции и ее производной в точке касания. Подставим х = 1 в них:

Итак, ур-ние касательной к графику составлено. Как определить точку ее пересечения с осью Оу? Для этого надо подставить в ур-ние значение х = 0:

Получили точку (0; – 1). Далее находим пересечение с горизонтальной осью Ох. Для этого уже надо подставить значение у = 0:

Получили точку (0,5; 0). Проверим себя с помощью рисунка. Построим на одной плоскости график у = х², а также прямую, проходящую через точки (0,5; 0) и (0; 1). Теоретически прямая должна коснуться графика в точке х = 1. Именно это мы и видим на рисунке:

Ответ: у = 2х – 1; (0; 0,5) и (0; – 1).

Задание. Найдите ур-ние прямой, касающейся графика у = х³ в точке х = 2.

Решение. Снова вычисляем производную:

Далее находим значения и ф-кции, и ее производной в точке касания х = 2, которую в формуле обозначают числом а:

Ур-ние касательной к функции составлено. Чтобы ее построить, достаточно найти любые две точки, принадлежащие ей. В качестве первой из них можно взять саму точку касания. Её абсцисса равна 2, а ордината равна 8:

То есть точка имеет координаты (2; 8)

Выберем вторую «удобную» точку. Пусть х = 1, тогда

Имеем точку (1; – 4). Теперь выполняем построение:

Ответ: у = 12х – 16.

Рассмотрим обратную задачу, при которой точка касания прямой и графика неизвестна.

Задание. Проведите такую касат-ую к графику у = х², которая проходит через точку (0,5; – 2).

Решение. Суть задачи сводится к построению касат-ой к графику, проходящей через точку, НЕ лежащую на графике функции:

Как и во всех задачах про касат-ые, нам обязательно потребуется производная. Найдем ее для функции у = х²:

Предположим, что касание прямой и параболы происходит в точке с абсциссой, равной а. Тогда точка касания имеет координаты (а; а²), ведь она принадлежит графику у = х². То есть

Получили ур-ние касат-ой. Она должна проходить через точку (0,5; – 2). Это значит, что если мы подставим в ур-ние значения

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

Получили два корня. Это означает, что есть сразу две касат-ых, которые удовлетворяю условию задачи. Точки касания имеют абсциссы – 1 и 2. Построения подтверждают правильность решения:

Рассмотрим ещё одну задачу более высокой сложности, в которой касат-ую надо провести сразу к двум графикам.

Задание. Составьте ур-ние прямой, которая касается графиков ф-кций

Решение. Нам надо построить общую касательную к графикам двух квадратичных функций:

Точки касания нам не известны. Поэтому предположим, что общая касат-ая касается графика у = х² + х + 1 в точке а, а графика g = 0,5х² + 1,5 – в точке b. Составим уравнение касательной к у(х). Для этого найдем у′:

Итак, имеем два ур-ния касат-ых:

Напомним, что в общем случае ур-ние прямой имеет вид

Так как касат-ая общая, то ее ур-ние, составленное и для ф-кции у(х), и для g(x), должно быть одинаковым. Это значит, что у ур-ний (1) и (2) должны совпадать угловые коэффициенты и свободные члены. То есть должна выполняться система равенств:

Итак, решив систему, нашли две пары чисел а и b: (0; 1) и (– 2; – 3). Они соответствуют двум касат-ым. Первая из них касается графика у(х) в точке х = 0, а графика g(x) в точке х = 1. Вторая прямая касается у(х) в точке х = – 2, а g(x) в точке х = – 3. Отметив эти точки, легко построим касат-ые:

По условию от нас требуется записать ур-ния касат-ых. Для этого воспользуемся формулой (2):

(Естественно, можно было выбрать и равенство (1).)

Значения числа b мы уже нашли, оно равно 1 для первой касат-ой и (– 3) для второй. С учетом этого ур-ние примет вид:

Поиск минимального и максимального значения функции

В ряде практических задач требуется отыскать минимальное (наименьшее) либо максимальное (наибольшее) значение функции на промежутке. Их ещё называют экстремальными значениями ф-кции. Рассмотрим произвольную ф-кцию, изображенную на рисунке:

Пусть нам надо найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке [– 6; 6]. Точки, соответствующие этим значениям, отмечены на рисунке. Довольно очевидно, что они соответствуют двум экстремум ф-кции. При этом на отрезке есть и другие экстремумы, однако в них ф-кция принимает не наибольшее или наименьшее значение. Отсюда можно сделать вывод: для нахождения минимального и максимального значения следует найти экстремумы ф-кции нас интересующем нас промежутке и просто вычислить значения ф-кции в этих точках. Однако не всё так просто.

Рассмотрим линейную ф-кцию у = 2х + 1. Ясно, что у неё вообще нет экстремумов. Однако указать ее минимальное и максимальное значение на отрезке [– 2; 2] возможно:

Видно, что эти значения она принимает на концах исследуемого нами промежутка. Анализируя подобные примеры, можно сформулировать следующую теорему:

Доказывать ее мы не будем. Заметим, что слово «непрерывная» в данном определении очень важно. Например, ф-кция у = 1/х на отрезке [– 5; 5] не является непрерывной, так как она имеет разрыв в точке х = 0:

Из-за этого разрыва говорить о ее наибольшем значении вообще нельзя, так как при х→0 ф-кция стремится к бесконечности.

Из теоремы следует следующий алгоритм поиска минимального (максимального) значения непрерывной ф-кции на отрезке:

1. Вычислить производную ф-кцию.
2. Найти точки, в которых она равна нулю либо не существует. Только в этих точках и могут находиться экстремумы ф-кции.
3. Вычислить значение ф-кции в каждой найденной точке, а также на концах отрезка.
4. Выбрать из полученных значений наименьшее (наибольшее) значение. Оно и будет являться ответом.

Обратите внимание, что на шаге 2 мы НЕ находим экстремумы ф-кции. Действительно, равенство производной нулю не гарантирует, что в данной точке располагается экстремум, в ней может находиться и точка перегиба. Однако, если экстремумы и есть на промежутке, то производная в них либо равна нулю, либо не существует. Получается, что на шаге 3 мы, возможно, проверим «лишние» точки, не являющиеся экстремумами. Но это не страшно, ведь мы при этом не ошибемся. Практика показывает, что проще вычислить ф-кции в лишних точках, чем определять для каждой из них, является ли она экстремумом или нет.

Задание. Найдите наибольшее и наименьшее значение ф-кции

Далее приравниваем ее к нулю и решаем полученное ур-ние:

Мы получили две точки, х = – 3 и х = 5. Обе эти точки принадлежат промежутку [– 4; 6], поэтому необходимо вычислить в них значение ф-кции:

Теперь вычисляем значение ф-кции и на концах отрезка, то есть в точках 6 и (– 4):

Итак, мы получили 4 числа: 82, (– 174), 69 и (– 161). Из них наибольшим является 69, а наименьшим (– 174). Эти числа и являются максимальным и наименьшим значением ф-кции на отрезке [– 4; 6].

Ответ: 69 и (– 174).

Задание. Найдите минимальное и максимальное значение ф-кции

Приравниваем у′ к нулю и получаем тригонометрическое уравнение:

Получили серии решений, которые включают в себя бесконечно большое количество точек. Однако нам интересны только те из них, которые лежат внутри отрезка [0; π]. В этот отрезок попадает только х = π/3:

Итак, нам надо вычислить значение ф-кции в точке х = π/3:

Обратите внимание, что получив значение, содержащее корень и число π, мы сразу же определили его приближенное значение.

Далее вычисляем значение ф-кции на концах отрезка:

Несколько сложнее определять экстремальные значение ф-кции на лучах – промежутках, у которых один из концов обозначается как – ∞ или + ∞.

Проблема в том, что вычислить значение ф-кции на концах такого промежутка не получается. По той же причине тяжело искать экстремальное значение на интервале (– ∞; + ∞).

В таких случаях можно построить график ф-кции и изучить его, однако иногда проще использовать следующую теорему:

Задание. Найдите наименьшее значение ф-кции

Получили только одну точку, где производная равна нулю. Является ли она минимумом или максимумом ф-кции, или она вообще не является экстремумом? Для ответа на этот вопрос отметим точку на координатной прямой и вычислим знаки производной на получившихся интервалах:

Для определения знаков на интервалах можно просто взять по одному значению х с каждого из промежутков:

Так как в точке х = – 0,5 производная меняет знак с «–» на «+», то эта точка является точкой минимума, причем это единственный экстремум ф-кции на интервале (– ∞; + ∞). Это значит, что именно в этой точке ф-кция принимает наименьшее значение:

Построив график исследуемой ф-кции, мы убедимся в правильности ответа:

Ответ: 0,75.

Оптимизационные задачи

Во многих практических ситуациях необходимо найти значение одной величины, при которой другая величина примет максимальное или минимальное значение. Такие задачи называют оптимизационными. Решаются они с помощью производной. Рассмотрим несколько примеров.

Задание. Необходимо изготовить бак объемом 500 литров, который будет иметь форму параллелепипеда, причем в его основании должен лежать квадрат. Верхней грани у бака нет (через нее заливается вода). Выберете такую сторона квадрата и высоту бака, при которых бак будет иметь наименьшую массу. Бак изготавливается из тонких металлических листов одинаковой толщины.

Решение. Очевидно, что масса бака будет тем меньше, чем меньше площадь его поверхности. То есть надо выбрать такую сторону основания и высоту, при которых площадь поверхности параллелепипеда будет минимальной. При этом мы не должны учитывать площадь верхней грани, так как ее изготавливают

Обозначим сторону квадрата, лежащего в основании, переменной х, а высоту как h. По условию объем бака равен 500 л (то есть 500 дм³). Но объем параллелепипеда равен произведению трех его сторон, то есть

Получается, что зная х, мы можем рассчитать высоту h:

Заметим, что величина х может принимать любые значения из промежутка (0; + ∞), так как длина основания бака должна быть положительным числом.

Бак имеет 5 граней. Одна из них – это квадрат со сторонойх (основание бака), его площадь равна х². 4 грани – это прямоугольники со сторонами х и h, их площади равны x•h. В итоге общая площадь поверхности бака может быть найдена по формуле:

Получили зависимость между площадью Sи величиной x, то есть ф-кцию S(x). Найдем ее минимальное значение. Для этого найдем производную ф-кции:

Итак, мы нашли одну критическую точку ф-кции S(x). Она является точкой минимума:

Определить знаки производной на промежутках можно так:

Так как х = 10 – это точка минимума, и этот экстремум единственный, то именно в этой точке ф-кция принимает наименьшее значение. Значит, нам надо выбрать сторону основания, равную 10 дм. Тогда высота бака составит

Ответ: сторона основания должна равняться 10 дм, а высота бака – 5 дм.

Задание. Известно, что прочность балки равна произведению ее ширины на квадрат ее высоты. Балку выпиливают из бревна с радиусом, равным R. Определите, чему должна равняться высота и ширина сечения балки, чтобы полученная балка обладала максимальной прочностью. Решите задачу в общем виде, а потом при R = 100 см.

Решение. По смыслу оптимизационной задачи необходимо выбрать стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиусом R. Обозначим ширину балки переменной х, а высоту – переменной h:

Так как прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ равна ее диаметру, то есть 2R. Из теоремы Пифагора следует, что величины х, hи Rсвязаны следующим соотношением:

Обозначим прочность буквой у. По условию она равна произведению ширины балки на квадрат высоты, то есть

Получили зависимость прочности от ширины балки, которая записана в виде ф-кции у(х). При этом величина х может меняться в пределах от 0 до 2R, то есть она принимает значения из промежутка (0; 2R). Найдем максимум ф-кции на этом промежутке. Для этого вычислим у′:

Итак, нашли единственную критическую точку ф-кции на промежутке. Она является точкой максимума. Значит, для обеспечения максимальной прочности балки ее ширину следует принять равной

Заметим, что отношение высоты балки к ее ширине не зависит от радиуса R:

Мы решили задачу в общем виде, при произвольном значении R. Теперь, используя полученные формулы, найдем необходимую ширину и высоту балки при радиусе бревна 100 см.

Задание. Группа отдыхающих, у которой есть автомобиль, разбила лагерь в степи, в 90 км от ближайшего шоссе. Если идти от лагеря до шоссе кратчайшей дорогой, то после выхода на дорогу надо будет пройти ещё 150 км по шоссе, чтобы попасть в город, где есть больница. Дорога представляет собой идеально ровную прямую. Неожиданно один из туристов был укушен ядовитой змеёй, и его надо как можно быстрее доставить в больницу. Скорость автомобиля при движении по шоссе составляет 100 км/ч, а при движении по степи – 80 км/ч. По какому маршруту должен ехать автомобилист, чтобы доставить пострадавшего к врачу за наименьшее время?

Решение. Ясно, что автомобилист должен в какой-то точке шоссе въехать на него и далее по прямой ехать до города. Также ясно, что до этой точки автомобилист также должен ехать по прямой. Если обозначить точку въезда на шоссе буквой V, лагерь – буквой Р, город – буквой B, а ближайшую к лагерю точку шоссе как А, то тогда маршрут водителя будет состоять из отрезков РМ и МВ. Обозначим длину АМ как х:

Задача сводится к тому, чтобы выбрать такое значение х, при котором время поездки будет минимизировано. Сначала найдем длину отрезка МВ:

Далее определяем время, которое требуется автомобилисту на поездку. Здесь используем известную формулу

Итак, получили зависимость времени от величины х, то есть функцию t(x). При этом величина х может принимать значения от 0 до 150 км, то есть х∈[0; 150]. Найдем минимальное значение t(x) на промежутке [0; 150]. Для этого сперва вычислим производную:

Приравняем к нулю полученное выражение, чтобы найти критические точки функции t(x):

Возводим обе части иррационального уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

Так как х может быть только положительным числом, то единственной критической точкой на отрезке [0; 150] оказывается х = 120. В данном случае мы рассматриваем ф-кцию на отрезке, концы которого – это числа, а не величины + ∞ и – ∞. Поэтому мы не обязаны определять, является ли х = 120 точкой минимума или нет. Можно просто вычислить значение ф-кции t(x) в найденной нами критической точке, а также на концах отрезка [0; 150]:

Примечание: случай х = 0 соответствует варианту, когда водитель из точки Р едет в точку А (стремясь как можно быстрее выехать на шоссе), а потом из А едет в В.

Примечание: случай х = 150 соответствует варианту, когда водитель сразу едет из точки лагеря Р в город В, даже не пытаясь выехать на шоссе.

Из полученных трех значений наименьшим является 2,175 часа. Значит, водитель должен выехать из лагеря в точку шоссе, которая располагается в 120 км от точки А, то есть в 30 км от города. Ещё раз обратите внимание, что две «радикальных» стратегии действия – либо сразу по прямой ехать в город, либо пытаться как можно быстрее выехать на шоссе, оказались неэффективными. С помощью производной удалось найти «золотую середину».

Итак, мы видим, что с помощью производной можно решать ряд практических задач – находить кратчайшие маршруты между точками (учитывая при этом не только расстояние, но и время передвижения), выбирать оптимальные габариты изделий и т.п. А ведь почти любая управленческая деятельность человека как раз и сводится к решению оптимизационных задач! Так, предприниматель решает, сколько товаров он должен произвести и по какой цене продать, чтобы получить максимальную прибыль, а государство определяет, какой размер должны иметь различные виды налогов, чтобы экономика страны демонстрировала максимальный рост. Банкир же думает о том, под какой процент ему следует выдавать кредиты клиентам и принимать у них вклады. Именно поэтому начала математического анализа, несмотря на всю их сложность, изучаются уже в школьной программе. Понятно, что каждый ученик не сможет освоить все тонкости этой дисциплины, однако важно хотя бы усвоить, что существуют математические методы, позволяющие принимать управленческие решения не на основе «опыта и интуиции», а с помощью точных расчетов.