Алгебра
Неравенства
План урока:
Решение неравенств с одной переменной
Решение систем неравенств с одной переменной
Решение совокупностей неравенств
Сравнение чисел
Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «<»читается как «меньше». Например, запись
22 < 23
читается как «22 меньше 23» Другой знак, «>», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).
Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.
Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.
Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.
Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):
b располагается правее а, а потому
b>a
Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что
b– а = с
Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить
а – b = – с
Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.
Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40
Решение. Найдем разность этих двух дробей:
Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.
Ответ: 29/35 > 33/40.
Свойства неравенств
Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.
Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:
а – b = c
умножив части равенства на (– 1), получим:
– (а – b) = – с
(b– a) = – с
Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb<a.
Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:
Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.
Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше - меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.
Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:
25 < 48 < 94
Можно использовать и более двух знаков сравнения:
365 <366 < 367 < 368 < 369
Другими словами, к обеим частям верного неравенства можно добавить одинаковое число, и оно всё равно останется верным. Действительно, пусть нам надо сравнить величины (а + с) и (b + c). Для этого найдем их разность:
(а + с) – (b + c) = a + c – b – с = а – b
Так как a<b, то и разность а – b отрицательна. Значит, отрицательна разность величин (а + с) и (b + c), из чего следует, что
а + с <b + c
Проиллюстрируем это на примере неравенства
73 < 86
Добавим к обеим частям число 11 и получим другое верное равенство:
73 + 11 < 86 + 11
84 < 97
Снова рассмотрим разность величин ac и bc:
ac– bc = (a– b)c
Разность (а – b) отрицательна при условии а <b. Если с – положительное число, то всё произведение (a– b)c остается отрицательным, т тогда
ас <bc
Если же c– отрицательное число, то произведение (a– b)c становится положительным, а потому
ас <bc
Пусть есть неравенство
100< 200
Если умножить его на положительное число, например, на 3, то получим верное равенство
300 < 600
Если же умножить его на (– 3), то придется «перевернуть» знак сравнения, поставить вместо «<»знак «>»:
– 300 >– 600
Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:
Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):
(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)
Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a<bи c<d. Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, а потому можно утверждать, что
а + c<b + d
Покажем, как с помощью этого правила можно складывать неравенства. Пусть есть два верных неравенства:
59<62
69<75
Теперь сложим отдельно их правые и левые части:
59 + 69<62 + 75
128 < 137
Однако если у неравенств разные знаки, то для их сложения надо в одном из них поменять местами правую и левую часть. Например, даны неравенства
63 < 99
26> 25
В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство
25 < 26
теперь в обоих неравенствах стоит знак «<», поэтому их можно сложить:
63 + 25 < 99 + 26
88 < 125
Последнее правило позволяет перемножать неравенства:
Для доказательства утверждения найдем разность величин ac и bd. При этом добавим к ней слагаемое bc и тут же его вычтем (это необходимо для того, чтобы мы смогли сгруппировать слагаемые):
ac – bd = ac – bd– bc + bc= (ac – bc) + (bc – bd) =
=c(a– b) + b(c– d)
Так как разности (a– b) и (c– d) являются отрицательными числами, c и b – положительными, то и произведения c(a– b) и b(c– d) – это отрицательные величины. Сумма же двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому
ac<bd
Покажем на примере использование этого правила. Пусть есть неравенства
7<8
5<6
Перемножив их, получим:
7•5<8•6
35 < 48
Оценка значений выражений
Если известны пределы, в которых может изменяться переменная, то можно найти оценку значения выражения, в которое оно входит.
Пример. Известно, что 43 <v< 47. Оцените значение выражения 3v + 9.
Решение. Умножим каждую часть исходного неравенства на 3:
43 <v< 47
3•43 < 3•v< 3•47
129 < 3v<141
Далее добавим к неравенству девятку:
129 + 9 < 3v + 9 < 141 + 9
138 < 3v + 9 < 150
Получили оценку выражения 3v + 9, которую и требовалось найти
Ответ: 138 < 3v + 9 < 150.
Пример. Сторона квадрата может принимать значения от 16 до 21 см. Оцените величину площади этого квадрата.
Решение. Обозначим сторону квадрата буквой a. Тогда можно записать двойное неравенство
16⩽ а ⩽ 21
Знак «меньше или равно» используется из-за того, что по условию сторона квадрата может в точности равняться значению 16 или 21 см. Площадь квадрата (обозначим ее как S) равна а2. Запишем неравенство из условия дважды, после чего перемножим эти неравенства:
16⩽ а ⩽21
16⩽ а ⩽21
16•16⩽ а•а⩽21•21
256⩽ а2⩽441
Получили оценку для а2, а значит, и для площади S. Отметим, что при решении задач необязательно два раза писать одно и то же неравенство, чтобы потом их перемножать.
Ответ: 256 ⩽S⩽ 441
Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.
Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:
54 <h< 69
65 <k< 80
Оценим величину 2h
2•54 < 2h< 2•69
108 < 2h< 138
Сложим получившееся неравенство с 65 <k< 80:
108 + 65 < 2h + k< 138 + 80
173 < 2h + k< 218
Ответ: Петя потратит от 173 до 218 рублей.
Доказательство неравенств
Иногда в неравенствах помимо чисел встречаются переменные величины. При этом некоторые из них верны при любом значении этих переменных. Важно уметь доказывать это. Простейшие случаи связаны с использованием того факта, что квадрат любого числа неотрицателен.
Пример. Докажите, что при любом значении d выполняется неравенство
d2+ 11 >5
Решение. Запишем очевидно верное неравенство
d2⩾ 0
Добавим к нему число 11:
d2 + 11 ⩾ 11
Число 11 больше 5, поэтому можно записать:
d2 + 11 ⩾ 11 > 5
d2 + 11 > 5
Пример. Докажите, что неравенство
n2 – 8n + 19> 0
справедливо для любого n.
Решение.
В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:
n2 – 8n + 19 = n2 – 2•4n + 19 = n2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =
= (n2 – 2•4n + 42) – 16 + 19 = (n– 4)2 + 3
Величина (n – 4)2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4)2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.
Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.
Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие
2ut⩽u2 + t2
Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:
2ut – (u2 + t2) = 2ut – u2 – t2 = – (u2 – 2ut + t2) = – (u – t)2
Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:
2ut⩽u2 + t2
Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.
Пример. Докажите, что
d2 + s2 + m2⩾ds + dm + sm
Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:
d2 + s2⩾ 2ds
s2 + m2⩾ 2sm
d2 + m2⩾ 2dm
Сложим полученные неравенства:
(d2 + s2) + (s2 + m2) + (d2 + m2) ⩾2ds + 2sm + 2dm
2d2 + 2s2 + 2m2⩾2ds + 2sm + 2dm
Осталось поделить на два это неравенство:
d2 + s2 + 2m2⩾ds + sm + dm
Решение неравенств с одной переменной
Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во
х – 2 > 0
справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.
Так, 3 – это одно из решений для нер-ва
х – 2 > 0
ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во
3 – 2 > 0
Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва
х – 2 > 0
является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.
Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:
Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».
Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:
c∈(a; b)
Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство
а <c<b
Например, число 29 принадлежит промежутку (21; 37), так как 21 < 29<37:
Промежуток, чьи концы НЕ относятся к нему самому, называют интервалом. Если же концы промежутка тоже входят в сам промежуток, то его уже называют отрезком. При этом для его обозначения используются квадратные скобки, а точки на рисунке показывают закрашенными:
Если точка с принадлежит отрезку [a; b], то это означает, что а ⩽ с ⩽b. Другими словами, записи с∈[a; b] и а ⩽ с ⩽b эквиваленты друг другу и означают одно и то же.
Возможны случаи, когда один конец промежутка относится к нему, а другой – нет. В этом случае промежуток называют полуинтервалом. В его записи одна скобка квадратная, а вторая – круглая:
Во всех этих рисунках под графическим изображением промежутка указывается его обозначение, а также двойное неравенство, которое можно написать для любой точки с, принадлежащей этому промежутку.
Наконец, порою надо указать множество чисел, которое ограничено только с одной стороны. Например, все числа, большие a, будут отмечаться так:
Символ ∞ означает «бесконечность». + ∞ – это условно бесконечно большое положительное число, а (– ∞) – это противоположное ему отрицательное число. Грубо говоря, + ∞ – это условная точка, расположенная правее любой другой на числовой прямой, а (– ∞) – условная точка, расположенная левее любой другой. Так как на самом деле таких точек не существует, то при обозначении соответствующего промежутка скобка со стороны знака бесконечности всегда круглая, а не квадратная. Промежутки, ограниченные лишь с одной стороны, называют числовыми лучами.
Теперь посмотрим, как числовые промежутки используются для решения неравенств. Пусть есть нер-во
х > 20
Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:
Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)
Введем понятие равносильных неравенств:
Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:
Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.
Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной
х + 10 > 18
Решение.
Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:
х +10> 18
х > 18– 10
х > 8
Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):
Ответ: (8; + ∞).
Пример. Решите нер-во
5у ⩾ 20
Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:
5у ⩾ 20
у ⩾ 20/5
у ⩾4
Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)
Ответ: [4; + ∞).
Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись
–6z > 42
Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:
– 6z> 42
z< 42/ (– 6)
z<– 7
Решением нер-ва z< – 7 будет интервал (– ∞; – 7).
Ответ: (– ∞; – 7).
Пример. При каких значениях k справедливо нер-во
12k + 26 > 146
Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:
12k> 146 – 26
12k>120
Теперь поделим на 12 правую и левую часть:
k> 120/12
k> 10
Для нер-ваk> 10 решением является промежуток
Ответ: (10; + ∞).
Пример. Решите нер-во
9(h + 2) + 21 < 111 + 6h
Решение. Выполним тождественное преобразование – раскроем скобки в левой части:
9h + 18 + 21 < 111 + 6h
Далее перенесем слагаемое 6h влево, а 18 и 21 вправо:
9h – 6h< 111 – 21 – 18
3h< 72
h< 72/3
h< 24
Множеством решений этого нер-ва является промежуток (24; + ∞).
Ответ: (24; + ∞).
Решение систем неравенств с одной переменной
Из 7 класса мы помним, что помимо отдельных уравнений порою приходиться решать и системы уравнений. Аналогично существуют и системы неравенств.
Для обозначения систем используются фигурные скобки. Можно убедиться подстановкой, что для системы
числа 12 и 13 будут являться решением, а числа 9 и 16 – нет.
Как и в случае с одиночными нер-вами, нам требуется найти числовой промежуток, все числа которого будет решениями системами. Отметим на координатной прямой решений нер-ва х > 10 (штриховка сверху) и х < 15 (штриховка снизу):
Красным цветом выделен промежуток (10; 15), который является решением для обоих нер-в. Именно он и является решением системы
Заметим, что решением системы неравенств является пересечением множеств решений каждого отдельного нер-ва, входящего в его состав. Подробнее о понятии пересечения множеств можно узнать из этого урока.
Для того чтобы решить систему, надо решить каждое отдельное нер-во, а потом найти пересечение полученных решений. Рассмотрим несколько задач.
Пример. Найдите решение системы неравенств
Решение. В первом нер-ве перенесем слагаемое вправо, а второе поделим на 3:
Решением первого нер-ва будет промежуток (3; + ∞), а второго – промежуток (– ∞; 9). Их пересечением будет промежуток (3; 9):
Ответ: (3; 9).
Пример. При каких значениях переменных верна система
Решение. Преобразуем систему:
Решения этих двух нер-в, (8; + ∞) и (– ∞; – 2), не пересекаются:
Таким образом, система не имеет решения. Другими словами, ее решение – пустое множество, обозначаемое символом ∅.
Ответ: ∅
Пример. Укажите решение системы неравенств
Решение:
Решениями этих нер-в являются промежутки (– ∞; 4] и (– ∞; 6), их пересечением является (– ∞; 4] (он является подмножеством (– ∞; 6)):
Ответ: (– ∞; 4].
Решение совокупностей неравенств
Несколько неравенств могут быть объединены не только в системы, но и в совокупности. Отличие совокупности от системы заключается в том, что ее решением является любое число, которое обращает в верное числовое неравенство хотя бы одно из входящих в него нер-в.
Для обозначения совокупности используется квадратная скобка. Так решением совокупности
являются все числа, которые либо больше 10, либо меньше 6:
Можно сказать, что решение совокупности является объединением множеств решений всех входящих в него нер-в. Записывается это так:
(– ∞; 6)⋃(10; + ∞)
Пример. Найдите решение совокупности неравенств
Решение. Преобразуем совокупность
Отметим решения этих нер-в:
Так как мы решаем не систему нер-в, а их совокупность, то ответом будет являться та область числовой прямой, которая заштрихована хотя бы с одной стороны, не обязательно с двух (эта область выделена красным цветом). Получаем, что решением совокупности является луч (– ∞; 1).
Заметим, что если бы мы решали систему, а не совокупность, то ответом был бы луч (– ∞; 0,5).
Ответ: (– ∞; 1).
Метод интервалов
При решении сложных неравенств весьма эффективен метод интервалов. Он работает в том случае, если в одной части нер-ва стоит произведение нескольких множителей (обычно линейных полиномов), а в другой ноль. Тогда знак неравенства можно поменять на «=», и получить уравнение. Далее его следует решить и отметить на координатной прямой полученные корни. Эти корни разобьют числовую прямую на несколько интервалов. Далее надо просто определить, на каких интервалах выполняется неравенство. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.
Пример. Решите неравенство
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) > 0
Решение.
Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0
Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому
х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0
Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:
- х – 5 = 0
х = 5
- х – 7 = 0
х = 7
- 4 – 2х = 0
– 2х = – 4
х = 2
Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:
Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:
- (– ∞; 2);
- (2; 5);
- (5; 7);
- (7; + ∞).
В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:
- Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140
Получили число, большее нуля: 140 > 0
- Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16
Получили отрицательное число.
- Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8
Получили положительное число
- Для последнего промежутка возьмем х = 8:
(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36
Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:
Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.
Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)
В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:
- 5х + 9
- 8х – 13
- 7,56х + 12,35
Пример. Определите, при каких значениях переменной полином
х2 – 8х + 12
принимает отрицательные значения.
Решение. По сути, нам надо решить нер-во
х2 – 8х + 12< 0
Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:
х2 – 8х + 12 = 0
D = (– 8)2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16
Зная х1 и х2, можем записать, что
х2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)
Перепишем исходное нер-во:
(х – 2)(х – 6) > 0
К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):
(х – 2)(х – 6) = 0
х – 2 = 0 или х – 6 = 0
х = 2 или х = 6
Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:
На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5
Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3
На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5
В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).
Ответ (2; 6).
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Какая из этих 4 дробей больше остальных?
1) 22/39 2) 23/40 3) 24/41 4) 25/42
Если а, b, cи d – некоторые числа, и верно неравенство a 1) c 2) d 3) a 4) b
Укажите решение нер-ва 7у + 1 ⩾ 8
1) [1; + ∞) 2) (1; + ∞) 3) (– ∞; 1) 4) (– ∞; 1]
При каких значениях m трехчлен m2– 6m– 27 принимает отрицательные значения?
1) (– ∞; – 3)⋃(9; + ∞) 2) [– 3; 9] 3) (– 3; 9) 4) (– ∞; – 3]⋃[9; + ∞)