Алгебра

Урок 5: Неравенства

Неравенства

Ранее мы изучали уравнения, которые по своей сути являются равенствами. Однако нередко для описания окружающего мира приходится использовать неравенства. Работа с ними очень похожа на действия с уравнениями, но имеет несколько особенностей.

План урока:

Сравнение чисел

Свойства неравенств

Оценка значений выражений

Доказательство неравенств

Решение неравенств с одной переменной

Решение систем неравенств с одной переменной

Решение совокупностей неравенств

Метод интервалов

 

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «<»читается как «меньше». Например, запись

22 < 23

читается как «22 меньше 23» Другой знак, «>», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

1gfhgfgh

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

2hgfh

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

3gfdfg

b располагается правее а, а потому

b>a

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

b– а = с

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

а – b = – с

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

4bfgh

 

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Решение. Найдем разность этих двух дробей:

5gfdg

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Ответ: 29/35 > 33/40.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

6hfgh

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

а – b = c

умножив части равенства на (– 1), получим:

– (а – b) = – с

(b– a) = – с

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb<a.

7ghhf

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

8hgfgh

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше - меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

25 < 48 < 94

Можно использовать и более двух знаков сравнения:

365 <366 < 367 < 368 < 369

9gdfgdfg

Другими словами, к обеим частям верного неравенства можно добавить одинаковое число, и оно всё равно останется верным. Действительно, пусть нам надо сравнить величины (а + с) и (b + c). Для этого найдем их разность:

(а + с) – (b + c) = a + c – b – с = а – b

Так как a<b, то и разность а – b отрицательна. Значит, отрицательна разность величин (а + с) и (b + c), из чего следует, что

а + с <b + c

Проиллюстрируем это на примере неравенства

73 < 86

Добавим к обеим частям число 11 и получим другое верное равенство:

73 + 11 < 86 + 11

84 < 97

10gdfgdgf

Снова рассмотрим разность величин ac и bc:

ac– bc = (a– b)c

Разность (а – b) отрицательна при условии а <b. Если с – положительное число, то всё произведение (a– b)c остается отрицательным, т тогда

ас <bc

Если же c– отрицательное число, то произведение (a– b)c становится положительным, а потому

ас <bc

Пусть есть неравенство

100< 200

Если умножить его на положительное число, например, на 3, то получим верное равенство

300 < 600

Если же умножить его на (– 3), то придется «перевернуть» знак сравнения, поставить вместо «<»знак «>»:

– 300 >– 600

8 5 1

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

8 5 2

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a<bи c<d. Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, а потому можно утверждать, что

а + c<b + d

Покажем, как с помощью этого правила можно складывать неравенства. Пусть есть два верных неравенства:

59<62

69<75

Теперь сложим отдельно их правые и левые части:

59 + 69<62 + 75

128 < 137

13gdfgd

Однако если у неравенств разные знаки, то для их сложения надо в одном из них поменять местами правую и левую часть. Например, даны неравенства

63 < 99

26> 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

25 < 26

теперь в обоих неравенствах стоит знак «<», поэтому их можно сложить:

63 + 25 < 99 + 26

88 < 125

Последнее правило позволяет перемножать неравенства:

8 5 3

Для доказательства утверждения найдем разность величин ac и bd. При этом добавим к ней слагаемое bc и тут же его вычтем (это необходимо для того, чтобы мы смогли сгруппировать слагаемые):

ac – bd = ac – bd– bc + bc= (ac – bc) + (bc – bd) =

=c(a– b) + b(c– d)

Так как разности (a– b) и (c– d) являются отрицательными числами, c и b – положительными, то и произведения c(a– b) и b(c– d) – это отрицательные величины. Сумма же двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому

ac<bd

Покажем на примере использование этого правила. Пусть есть неравенства

7<8

5<6

Перемножив их, получим:

7•5<8•6

35 < 48

Оценка значений выражений

Если известны пределы, в которых может изменяться переменная, то можно найти оценку значения выражения, в которое оно входит.

 

Пример. Известно, что 43 <v< 47. Оцените значение выражения 3v + 9.

Решение. Умножим каждую часть исходного неравенства на 3:

43 <v< 47

3•43 < 3•v< 3•47

129 < 3v<141

Далее добавим к неравенству девятку:

129 + 9 < 3v + 9 < 141 + 9

138 < 3v + 9 < 150

Получили оценку выражения 3v + 9, которую и требовалось найти

Ответ: 138 < 3v + 9 < 150.

 

Пример. Сторона квадрата может принимать значения от 16 до 21 см. Оцените величину площади этого квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата буквой a. Тогда можно записать двойное неравенство

16⩽ а ⩽ 21

Знак «меньше или равно» используется из-за того, что по условию сторона квадрата может в точности равняться значению 16 или 21 см. Площадь квадрата (обозначим ее как S) равна а2. Запишем неравенство из условия дважды, после чего перемножим эти неравенства:

16⩽ а ⩽21

16⩽ а ⩽21

16•16⩽ а•а⩽21•21

256⩽ а2⩽441

Получили оценку для а2, а значит, и для площади S. Отметим, что при решении задач необязательно два раза писать одно и то же неравенство, чтобы потом их перемножать.

Ответ: 256 ⩽S⩽ 441

 

Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.

Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:

54 <h< 69

65 <k< 80

Оценим величину 2h

2•54 < 2h< 2•69

108 < 2h< 138

Сложим получившееся неравенство с 65 <k< 80:

108 + 65 < 2h + k< 138 + 80

173 < 2h + k< 218

Ответ: Петя потратит от 173 до 218 рублей.

 

Доказательство неравенств

Иногда в неравенствах помимо чисел встречаются переменные величины. При этом некоторые из них верны при любом значении этих переменных. Важно уметь доказывать это. Простейшие случаи связаны с использованием того факта, что квадрат любого числа неотрицателен.

15gfgh

 

Пример. Докажите, что при любом значении d выполняется неравенство

d2+ 11 >5

Решение. Запишем очевидно верное неравенство

d2⩾ 0

Добавим к нему число 11:

d2 + 11 ⩾ 11

Число 11 больше 5, поэтому можно записать:

d2 + 11 ⩾ 11 > 5

d2 + 11 > 5

 

Пример. Докажите, что неравенство

n2 – 8n + 19> 0

справедливо для любого n.

Решение.

В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:

n2 – 8n + 19 = n2 – 2•4n + 19 = n2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =

= (n2 – 2•4n + 42) – 16 + 19 = (n– 4)2 + 3

Величина (n – 4)2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4)2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.

Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.

 

Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие

2ut⩽u2 + t2

Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:

2ut – (u2 + t2) = 2ut – u2 – t2 = – (u2 – 2ut + t2) = – (u – t)2

Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:

2ut⩽u2 + t2

Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.

 

Пример. Докажите, что

d2 + s2 + m2ds + dm + sm

Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:

d2 + s2⩾ 2ds

s2 + m2⩾ 2sm

d2 + m2⩾ 2dm

Сложим полученные неравенства:

(d2 + s2) + (s2 + m2) + (d2 + m2) ⩾2ds + 2sm + 2dm

2d2 + 2s2 + 2m2⩾2ds + 2sm + 2dm

Осталось поделить на два это неравенство:

d2 + s2 + 2m2⩾ds + sm + dm

 

Решение неравенств с одной переменной

Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во

х – 2 > 0

справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.

16hfgh

Так, 3 – это одно из решений для нер-ва

х – 2 > 0

ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во

3 – 2 > 0

Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва

х – 2 > 0

является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.

Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:

17hfgh

Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».

Если некоторое число располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:

c∈(a; b)

Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство

а <c<b

Например, число 29 принадлежит промежутку (21; 37), так как 21 < 29<37:

18ghjg

Промежуток, чьи концы НЕ относятся к нему самому, называют интервалом. Если же концы промежутка тоже входят в сам промежуток, то его уже называют отрезком. При этом для его обозначения используются квадратные скобки, а точки на рисунке показывают закрашенными:

19gdfg

Если точка с принадлежит отрезку [a; b], то это означает, что а ⩽ с ⩽b. Другими словами, записи с∈[a; b] и а ⩽ с ⩽b эквиваленты друг другу и означают одно и то же.

Возможны случаи, когда один конец промежутка относится к нему, а другой – нет. В этом случае промежуток называют полуинтервалом. В его записи одна скобка квадратная, а вторая – круглая:

20gdfg

Во всех этих рисунках под графическим изображением промежутка указывается его обозначение, а также двойное неравенство, которое можно написать для любой точки с, принадлежащей этому промежутку.

Наконец, порою надо указать множество чисел, которое ограничено только с одной стороны. Например, все числа, большие a, будут отмечаться так:

21gdfg

Символ ∞ означает «бесконечность». + ∞ – это условно бесконечно большое положительное число, а (– ∞) – это противоположное ему отрицательное число. Грубо говоря, + ∞ – это условная точка, расположенная правее любой другой на числовой прямой, а (– ∞) – условная точка, расположенная левее любой другой. Так как на самом деле таких точек не существует, то при обозначении соответствующего промежутка скобка со стороны знака бесконечности всегда круглая, а не квадратная. Промежутки, ограниченные лишь с одной стороны, называют числовыми лучами.

Теперь посмотрим, как числовые промежутки используются для решения неравенств. Пусть есть нер-во

х > 20

Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:

22gdfg

Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)

Введем понятие равносильных неравенств:

23gdfg

Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:

24gdfg

Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.

Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной

х + 10 > 18

Решение.

Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:

х +10> 18

х > 18– 10

х > 8

Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):

25ghfdh

Ответ: (8; + ∞).

 

Пример. Решите нер-во

⩾ 20

Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:

5у ⩾ 20

у ⩾ 20/5

у ⩾4

Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)

Ответ: [4; + ∞).

 

Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись

–6z > 42

Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:

– 6z> 42

z< 42/ (– 6)

z<– 7

Решением нер-ва z< – 7 будет интервал (– ∞; – 7).

Ответ: (– ∞; – 7).

 

Пример. При каких значениях k справедливо нер-во

12k + 26 > 146

Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:

12k> 146 – 26

12k>120

Теперь поделим на 12 правую и левую часть:

k> 120/12

k> 10

Для нер-ваk> 10 решением является промежуток

Ответ: (10; + ∞).

 

Пример. Решите нер-во

9(h + 2) + 21 < 111 + 6h

Решение. Выполним тождественное преобразование – раскроем скобки в левой части:

9h + 18 + 21 < 111 + 6h

Далее перенесем слагаемое 6h влево, а 18 и 21 вправо:

9h – 6h< 111 – 21 – 18

3h< 72

h< 72/3

h< 24

Множеством решений этого нер-ва является промежуток (24; + ∞).

Ответ: (24; + ∞).

 

Решение систем неравенств с одной переменной

Из 7 класса мы помним, что помимо отдельных уравнений порою приходиться решать и системы уравнений. Аналогично существуют и системы неравенств.

26gfdfg

Для обозначения систем используются фигурные скобки. Можно убедиться подстановкой, что для системы

27gdfg

числа 12 и 13 будут являться решением, а числа 9 и 16 – нет.

Как и в случае с одиночными нер-вами, нам требуется найти числовой промежуток, все числа которого будет решениями системами. Отметим на координатной прямой решений нер-ва х > 10 (штриховка сверху) и х < 15 (штриховка снизу):

28gdffg

Красным цветом выделен промежуток (10; 15), который является решением для обоих нер-в. Именно он и является решением системы

29gdffg

Заметим, что решением системы неравенств является пересечением множеств решений каждого отдельного нер-ва, входящего в его состав. Подробнее о понятии пересечения множеств можно узнать из этого урока.

Для того чтобы решить систему, надо решить каждое отдельное нер-во, а потом найти пересечение полученных решений. Рассмотрим несколько задач.

 

Пример. Найдите решение системы неравенств

30gfdfg

Решение. В первом нер-ве перенесем слагаемое вправо, а второе поделим на 3:

31gdfg

Решением первого нер-ва будет промежуток (3; + ∞), а второго – промежуток (– ∞; 9). Их пересечением будет промежуток (3; 9):

32dfgdg

Ответ: (3; 9).

 

Пример. При каких значениях переменных верна система

33gfdfg

Решение. Преобразуем систему:

34gfdgd

Решения этих двух нер-в, (8; + ∞) и (– ∞; – 2), не пересекаются:

35gdfgd

Таким образом, система не имеет решения. Другими словами, ее решение – пустое множество, обозначаемое символом ∅.

Ответ: ∅

 

Пример. Укажите решение системы неравенств

36gdfg

Решение:

37gdfg

Решениями этих нер-в являются промежутки (– ∞; 4] и (– ∞; 6), их пересечением является (– ∞; 4] (он является подмножеством (– ∞; 6)):

38hfgh

Ответ: (– ∞; 4].

 

Решение совокупностей неравенств

Несколько неравенств могут быть объединены не только в системы, но и в совокупности. Отличие совокупности от системы заключается в том, что ее решением является любое число, которое обращает в верное числовое неравенство хотя бы одно из входящих в него нер-в.

39hgfgfh

Для обозначения совокупности используется квадратная скобка. Так решением совокупности

40hgfgh

являются все числа, которые либо больше 10, либо меньше 6:

41gdfg

Можно сказать, что решение совокупности является объединением множеств решений всех входящих в него нер-в. Записывается это так:

(– ∞; 6)⋃(10; + ∞)

 

Пример. Найдите решение совокупности неравенств

42gfdfg

Решение. Преобразуем совокупность

43fdfg

Отметим решения этих нер-в:

44hgfgh

Так как мы решаем не систему нер-в, а их совокупность, то ответом будет являться та область числовой прямой, которая заштрихована хотя бы с одной стороны, не обязательно с двух (эта область выделена красным цветом). Получаем, что решением совокупности является луч (– ∞; 1).

Заметим, что если бы мы решали систему, а не совокупность, то ответом был бы луч (– ∞; 0,5).

Ответ: (– ∞; 1).

Метод интервалов

При решении сложных неравенств весьма эффективен метод интервалов. Он работает в том случае, если в одной части нер-ва стоит произведение нескольких множителей (обычно линейных полиномов), а в другой ноль. Тогда знак неравенства можно поменять на «=», и получить уравнение. Далее его следует решить и отметить на координатной прямой полученные корни. Эти корни разобьют числовую прямую на несколько интервалов. Далее надо просто определить, на каких интервалах выполняется неравенство. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

 

Пример. Решите неравенство

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) > 0

Решение.

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

  1. х – 5 = 0

х = 5

  1. х – 7 = 0

х = 7

  1. 4 – 2х = 0

– 2х = – 4

х = 2

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

45gfdfg

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

  • (– ∞; 2);
  • (2; 5);
  • (5; 7);
  • (7; + ∞).

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

  1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

  1. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

  1. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

  1. Для последнего промежутка возьмем х = 8:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

46kjhjk

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

  • 5х + 9
  • 8х – 13
  • 7,56х + 12,35

 

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х2 – 8х + 12< 0

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:

х2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8)2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

47hfghf

Зная х1 и х2, можем записать, что

х2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

(х – 2)(х – 6) > 0

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

(х – 2)(х – 6) = 0

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

х = 2 или х = 6

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

48hgfgh

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Ответ (2; 6).

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Какая из этих 4 дробей больше остальных?
122/39
223/40
324/41
425/42
Ответить
4
Вопрос: 2
Если а, b, cи d – некоторые числа, и верно неравенство a
1c
2d
3a
4b
Ответить
2
Вопрос: 3
Укажите решение нер-ва 7у + 1 ⩾ 8
1[1; + ∞)
2(1; + ∞)
3(– ∞; 1)
4(– ∞; 1]
Ответить
1
Вопрос: 4
При каких значениях m трехчлен m2– 6m– 27 принимает отрицательные значения?
1(– ∞; – 3)⋃(9; + ∞)
2[– 3; 9]
3(– 3; 9)
4(– ∞; – 3]⋃[9; + ∞)
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Какая из этих 4 дробей больше остальных?
1) 22/39 2) 23/40 3) 24/41 4) 25/42
2 вопрос:

Если а, b, cи d – некоторые числа, и верно неравенство a 1) c 2) d 3) a 4) b
3 вопрос:

Укажите решение нер-ва 7у + 1 ⩾ 8
1) [1; + ∞) 2) (1; + ∞) 3) (– ∞; 1) 4) (– ∞; 1]
4 вопрос:

При каких значениях m трехчлен m2– 6m– 27 принимает отрицательные значения?
1) (– ∞; – 3)⋃(9; + ∞) 2) [– 3; 9] 3) (– 3; 9) 4) (– ∞; – 3]⋃[9; + ∞)
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 25/42
2 вопрос: d
3 вопрос: [1; + ∞)
4 вопрос: (– 3; 9)