План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

 

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х² – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х² – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х² – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x¹⁰ + 97x⁴– 12,56х³ + 52х² + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

 

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

 

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x²– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x²– 2х – 4 = 4 или x²– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x²– 2х – 4 = 4

x²– 2х – 8 = 0

D = b²– 4ас = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

х₁ = (2 – 6)/2 = – 2

х₂ = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x²– 2х – 4 = – 4

x²– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x² + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x² + 2x– 1 = х + 1 или x² + 2x– 1 = – (х + 1)

х² + х – 2 = 0 или х² + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х² + х – 2 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х₁ = (1 – 3)/2 = – 1

х₂ = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х² + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х² + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х² + 3,5х – 20 = 4,5х илих² + 3,5х – 20 = – 4,5х

х² – х – 20 = 0 или х² + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х² – х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х₁ = (1 – 9)/2 = – 4

х₂ = (1 + 9)/2 = 5

х² + 8х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 8² – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х₃ = (– 8 – 12)/2 = – 10

х₄ = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
2. |у(х)| = |g(x)|
3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой v подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах² + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

х² – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х² – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

 

Пример. Решите ур-ние

р²х – 3рх = р² – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

|х² – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х² – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х² – 6х + 5 = 0

D = b²– 4ас = (– 6)² – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х₁ = (6 – 4)/2 = 1

х₂ = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

х₀ = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3² – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

Пример. При каком а ур-ние

х⁴ – (а + 2)х² + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х²:

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х² = у₁ и х² = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

х² = у₁

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b²– 4ас = (– (а + 2))² – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)² – 12 а + 12 =

= а² + 4а + 4 – 12а + 12 = а² – 8а + 16 = а² – 2•4•а + 4² = (а – 4)²

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)² положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х² – 2(а + 1)х + а² + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b²– 4ас = (– 2(а + 1))² – 4•1•( а² + 2а – 3) = 4(а² + 2а + 1) – 4(а² + 2а – 3) =

= 4(а² + 2а + 1 – а²– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)