План урока:

Всемирное тяготение. Гравитация и ее числовая характеристика

Почему тела падают на Землю и другие планеты?

Прямо или по кривой движется тело?

Особенность ускорения при движении по окружности

Почему Луна не падает на Землю? Три космических скорости

Всемирное тяготение. Гравитация и ее числовая характеристика

Движения небесных светил, спутников, планет, интересовало людей издавна. Уже древние исследования позволяли открывать такие законы, которые выполняются и для тел, существующих на Земле, и на других космических объектах. Если древние ученые делали довольно много ошибочных заключений, то гениальные открытия Исаака Ньютона до сих пор никем не отвергаются, а, наоборот, находят научные подтверждения в наши дни. Так произошло и с явлением всемирного тяготения. Ньютон открыл силы взаимного притяжения тел, которые относятся к гравитационным.

Исаак Ньютон.  

Гениальность ученого заключается еще и в том, что Ньютон сформулировал закон и составил его математическую формулу, по которой можно рассчитать гравитационную силу, действующую между телами.

m₁ и m₂ - массы рассматриваемых тел, r – расстояние между телами (или их центрами), F – сила притяжения тел друг к другу. Величина G называется гравитационной постоянной (это коэффициент, одинаковый для всех тел).

Вычисляется постоянная G из формулы, где взяты единичные значения всех величин, входящих в формулу.

Пусть m₁ = m₂ = 1 кг, r = 1м. Тогда G = F ∙ (1м)²/ 1кг ∙ 1кг, то есть G = F. Значит, гравитационная постоянная равна силе притяжения между телами массой по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга. Многочисленные измерения ученых показали, что

При расчетах сил гравитации с использованием формулы получаются точные результаты в трех случаях:

• если расстояние между телами многократно больше размеров самих тел;
• если тела шарообразной формы и имеют однородное строение;
• если одно тело очень мало и находится вблизи второго тела, являющегося шаром.

Третье условие разрешает пользоваться формулой для вычисления притяжения тел к Земле. Тогда расстояние между телами равно приближенно радиусу Земли. Размеры самих тел по отношению к радиусу планеты пренебрежительно малы и в расчетах не учитываются.

В случае с космическими объектами всемирное тяготение очевидно: и спутники не отрываются от планет, и планеты не выходят из своей системы. Почему же окружающие человека предметы в обычной жизни не сближаются, не слипаются? Объяснить это может попытка рассчитать силу притяжения, например, между двумя книгами, лежащими на столе.

Пусть книги имеют массу 200 г и 400 г, то есть 0,2 кг и 0,4 кг. (Условно пусть вся масса книг сконцентрируется в центрах масс, чтобы в расчетах заменить книги шарами). Книги находятся на одном столе, значит, расстояние между ними не более 1 м. Пусть 0,5 м – расстояние между центрами масс этих книг.

Тогда сила притяжения, возникающая между книгами, будет

F = 6,67 ∙ 10^-11 Н ∙ м²/кг² ∙ 0,2 кг ∙ 0,4 кг / (0,5 м)² = 2,1344 ∙ 10^-11 Н. Это очень маленькое взаимодействие, которому не преодолеть другие силы, действующие на книги (сила трения покоя и сила тяжести). Для сравнения, Луна и Земля притягиваются с силой 20,4 ∙ 10²⁰ Н.

Почему тела падают на Землю и другие планеты?

Сила тяжести является проявлением закона всемирного тяготения, что имеет огромное значение для жителей Земли. Если на миг представить, что притяжение исчезло, вокруг наступил бы настоящий непоправимый хаос.

Если следовать закону, сила притяжения к шарообразной Земле может быть вычислена по формуле

F = G (M_Зm/R_З²),

где M_З – масса Земли, R_З – радиус Земли.

Но ведь силу тяжести можно определить по другой действующей формуле

F = gm

(g – ускорение свободного падения). Различия, получаемые в вычислениях по этим двум формулам, очень малы, и поэтому силы, полученные по формулам приблизительно равны.

gm = G (M_Зm/R_З²)

Отсюда

g = G (M_Зm/R_З²)/m,

после сокращения дроби:

Формула показывает, что ускорение свободного падения связано с параметрами Земли (радиусом и массой), если тело находится близко к поверхности. Сила тяжести при этом выглядит так:

Когда тело находится на высоте h над Землей, сила притяжения, (а равно сила тяжести), определяется немного по другой формуле.

И тогда ускорение свободного падения

Чем больше знаменатель дроби, тем меньше дробь. Из этого математического заключения выходит, что, чем выше тело над Землей, тем ускорение свободного падения меньше. Однако для изучения падающих тел рассматриваются высоты, которыми пренебрегают по сравнению с радиусом планеты. Поэтому ускорение считают везде примерно одинаковым и равным 9,8 м/с², хотя значение его зависит и от географической широты места, где проводятся расчеты.

Так на экваторе g = 9,78 м/с², а на полюсах g = 9,83 м/с². Это различие обусловлено тем, что у экватора радиус Земли больше, чем у полюсов, значит, в формулу для расчета ускорения будут подставляться разные значения радиуса, что даст различные результаты.

Используя формулу g = G(M_З/R_З²), можно получить значения ускорения свободного падения на других планетах и их спутниках. Нужно только заменить в формуле массу и радиус. На ближайшем для нас спутнике, Луне, по расчетам ученых, отношение M_Л/R_Л² меньше земного в 6 раз. Соответственно и «лунная» сила тяжести меньше земной в 6 раз. Например, на человека массой 70 кг в земных условиях действует сила тяжести в 686 Н, а на Луне будет ≈114 Н. На Марсе меньше, примерно в 2,6 раза (≈ 264 Н). Человек одной и той же массы на разных космических объектах, планетах и спутниках, будет испытывать на себе различную силу тяжести.

Источник

На Юпитере наоборот притяжение больше земного в 2,5 раза. Получается, что десятикилограммовая гиря (98 Н на Земле) на Юпитере притягивается с силой 98 Н ∙ 2,5 раза = 245 Н. Это равносильно земной гире в 25 кг, на которую Юпитер действует силой 25 кг ∙ 9,8 Н/кг ∙ 2.5 раза = 612,5 Н.

Прямо или по кривой движется тело?

Сила может привести к изменению модуля вектора скорости или к изменению его направления.

Пусть изначально шарик, соединенный с резиновым шнуром, находился в точке В, шнур закреплен в точке А. При растяжении резины до положения D в ней возникает сила упругости, возвращающая шарик в исходное положение. Скорость и сила упругости здесь одинаково направлены, и у вектора скорости будет меняться только модуль (уменьшаться).

Как же меняется скорость, если движение криволинейно?

Пусть шарик соединен с точкой А резиновым шнуром. Сама точка А закреплена. Если толчком придать шарику направление на точку С, то и вектор скорости будет направлен от В к С. Резина в это время немного растянется, и в ней возникнет сила упругости, которая подтянет шарик к точке D вместо С. Направление скорости здесь изменится. Сила упругости направлена к точке А, скорость же направлена вдоль касательной к получившейся кривой. Линии скорости и силы упругости пересекаются в точке D.

В жизни прямая траектория встречается довольно редко. А вот криволинейные траектории для изучения разбивают на большое число отдельных участков, представляющих дуги различного радиуса.

Криволинейное движение сводится к рассмотрению движения по окружностям.

Особенность ускорения при движении по окружности

В опыте с закрепленным резиновым шнуром и шариком, движущемся по кривой, скорость направлена по касательной к траектории. Это мгновенная скорость в отдельной точке траектории, в каждый последующий момент она будет иметь новое направление. Такова особенность движения тела по окружности.

Наглядно представить касательную линию и скорость можно во время работы точильного станка или металлорежущего устройства.

Искры – это мельчайшие раскаленные частицы режущего диска. Отрываясь при резке металла, они летят с той же скоростью, с которой вращались до момента отрыва. Направление частиц и направление мгновенной скорости совпадают с касательной к вращающемуся диску.

Скорость имеет две составляющие (направление и абсолютную величину), так как она вектор.

Если меняется хотя бы направление, значит, и вектор скорости будет другим (пусть даже модуль один и тот же). Известно, что, если скорость меняется, значит, движется тело с ускорением.

В старших классах проводится строгий вывод ускорения тела, движущегося по окружности. В данном классе достаточно запомнить, что – это центростремительное ускорение (оно направлено вдоль радиуса окружности к ее центру). Модуль вектора ускорения (абсолютная величина) в этом случае вычисляется по формуле:

Тут буква е отделилась и одна в другой строке, поправьте

При движении по кривой тело в любой момент времени находится на какой-либо окружности, ведь кривую можно разбить на отдельные дуги окружности. В произвольном месте криволинейной траектории ускорение будет центростремительным. Зная второй закон Ньютона, можно утверждать, что ускорение и сила, создающая его, всегда одинаково направлены:

Значит, сила, заставляющая двигаться тело по кривой траектории (по окружности) совпадает по направлению с центростремительным ускорением в любой точке такой траектории.

Аналогично ускорению сила будет иметь название центростремительной. Рассчитать ее можно из двух формул:

Заставлять тела совершать движение по дугам окружностей или перемещаться по целой окружности могут разные виды сил:

• силы всемирного тяготения (планеты движутся вокруг Солнца, спутники вокруг планет);
• силы трения колес о покрытие дороги (поворот мотоцикла или автомашины);
• электрические силы (вращение электронов по отношению к ядрам атомов);
• силы упругости (движение шарика, прикрепленного к эластичному шнуру вокруг заданной точки).

Такие силы создают центростремительное ускорение, которое меняет направление скорости тела и заставляет двигаться его по окружности.

Почему Луна не падает на Землю? Три космические скорости

Бросая мяч или камень вперед, человек уверен, что брошенное тело обязательно упадет на землю вследствие действия на него силы тяжести. Если придать телу большую начальную скорость, оно улетит дальше, чем в первом случае. При броске с еще большей скоростью тело улетит еще дальше.

Если создать очень большую начальную скорость и по возможности устранить существующее сопротивление при полете, можно заставить лететь тело над Землей так, чтобы оно не упало. Так движется Луна вокруг Земли, спутники других планет, а те вокруг Солнца.

Еще Ньютон, изучая движение планет, пришел к важному заключению, что при достаточно высокой скорости и нулевом сопротивлении тело не будет иметь возможности упасть на Землю вообще, а станет искусственным спутником Земли. Спутник продолжает перемещаться за счет силы тяжести, но упасть ему не дает большая скорость.

Скорость такого движения направлена по касательной к окружности, которую называют орбитой. Чтобы уменьшить до предела сопротивление движению, спутник выводится за атмосферу Земли. Отсутствие воздуха наблюдается на высоте 300 км, поэтому спутники запускают на высоты от 300 до 400 км. Возможность изучения космоса на практике, а не в лабораторных условиях, подтвердили первые искусственные спутники.

Источник

Движутся спутники под действием только силы тяжести (отсутствует сопротивление). Она создает ускорение свободного падения, хотя тело не падает, так как его скорость довольно велика. Эту скорость называют первой космической. Точные научные расчеты показали, что величина ее равна 7,9 км/с. Расчеты следующие:

Ускорение свободного падения на земле обычно обозначают g_о. Высота над землей по сравнению с радиусом планеты пренебрежимо мала. Поэтому берется r = R_З. Формула примет вид:

R_З = 6400 км, g_о = 9,8 м/с². Тогда v = 7,9 км/с. Первая космическая скорость – это очень большая величина. Следует обратить внимание, что единицы измерения здесь не метры, а именно километры в секунду. Для сравнения, например скорость автомобиля 80 км/ч это будет всего 0,02 км/с (20 м/с), а 7,9 км/с = 7900 м/с.

Если спутник отправляется в космос с большой высоты пренебречь которой нельзя, используется формула, где делается подстановка вместо g и r:

Это позволяет найти первую космическую скорость спутника любой планеты, если заменить в равенстве массу и радиус.

Запуская спутник с определенной высоты со скоростью 11,2 км/с (вторая космическая), получают эллиптическую траекторию, и спутник, преодолевая земное притяжение, вырывается в космос Солнечной системы.

Третья космическая скорость - 16,7 км/с. С такой скоростью тело отрывается не только от Земли, а и преодолевает силы притяжения всей Солнечной системы.

В современных условиях развития науки ежегодно сотни спутников отправляются для изучения космоса. Уже в 60-е годы прошлого века были созданы спутники - корабли, и первый человек полетел в космическое пространство.

Искусственные спутники выполняют очень много научных задач. Среди них прогнозирование погоды, исследования разных слоев атмосферы, влияние ее на климат, осуществление теле- и радиосвязи, фотосъемки и т. д.