Математика

Урок 4: Дроби

Дроби

На праздник хозяйка испекла несколько тортов. Гости съели 1/3 первого торта, 2/7 второго и 3/4 третьего. Хозяйка, решила узнать, какая часть всего праздничного угощения осталась нетронутой. Но как это сделать она не понимала! Рассмотрев наш урок, вы с легкостью поможете хозяйке и узнаете «Что называют основным свойством дроби?», «Как привести дроби к общему знаменателю?», познакомитесь с правилами сокращения дробей.

Обложка урока взята с источника.

slide9

Занятия с репетитором    ОНЛАЙН от 200 руб / час

Перейти

Бесплатный подбор репетитора на нашем сайте

Перейти slide8

План урока:

Дроби и их свойства

А знаешь ли ты?

 

Дроби и их свойства

На уроке Таня и Ваня начали спор: «Какой отрезок линейки больше 1/4 или 2/8»? Они спорили так громко, что на помощь пришла учительница – Наталья Ивановна. Она пригласила детей к доске и попросила каждого схематически изобразить линейку и отметить на ней свой отрезок. 

Посмотрим, что получилось:

Таня нарисовала линейку:

1

Линейка разделена на 20 одинаковых долей. Чтобы понять, какая часть рисунка соответствует значению ¼, давайте вспомним определение обыкновенной дроби:

2

И обязательно нужно знать название компонентов дробного выражения:

3

Учитывая рассмотренные определения, приходим к выводу, что всю линейку нужно разделить на 4 части, а выделить только одну. Для этого 20 имеющихся делений делим на 4 отрезка:

20 : 4 = 5.

Значит, в одном отрезке содержится 5 делений. А для сравнения используется только один отрезок. Его Таня и отметила красными штрихами:

4

 

Следующим чертить начал Ваня. Рисунок должен иметь такие же размеры, как и предыдущий – 20 делений. Но по условию, линейку необходимо поделить на 8 частей. Для этого:

20 : 8 = 2.5

В одной части содержится 2,5 деления линейки. Выделить Ивану необходимо 2 такие части. Их мальчик и отметил синими штрихами:

56

Весь класс с удивлением заметил, что заштрихованные части рисунка у Тани и Вани абсолютно одинаковой длины. Спорщики были удивлены не меньше.

«Получается, что 1/4 = 2/8?» – удивленно спросила Таня.

И Наталья Ивановна начала свой рассказ:

Чтобы все стало понятно, давайте возьмем дробное число 1/4 и умножим числитель и знаменатель дроби на 2 .

       1*2    2
4× 2 = 4*2 = 8 .

Но по рисунку мы видим, что выражение 1/4 = 2/8 .

Таким образом, мы рассмотрели основное свойство дроби:

7

8
Источник

Рассмотрим пример.

В магазин привезли 50 пакетов молока. В этот же день продали 10/50 привезенного молока. Какая часть молока продана?

9
Источник

Чтобы ответить на вопрос задачи, давайте внимательно рассмотрим число, обозначающее количество проданного продукта – 10/50 .

И в числителе, и в знаменателе дроби стоят четные числа, которые по признаку делимости, делятся без остатка на 10:

10

Используя основное свойство дроби:

11

Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 10:

10    10*10    1
50 = 50*10 = 5

 

Мы выяснили, что продали 1/5 часть всего молока.

Мы решили задачу, разделив обе составляющие, дробного выражения на общий делитель. В арифметике использование такого приема называется сокращением дроби:

12

 

Сократите дробное выражение 9/12

Для выполнения данного задания нужно разделить обе части дробного выражения на одинаковый делитель. Давайте подберем возможные делители:

Числитель 9:3, 9­.

Знаменатель 12 : 2,3,4,12.

Из перечисленных делителей нам подходит только 3, так как оба числа можно разделить без остатка на это числовое значение.

Выполним деление обоих компонентов дробного выражения на выбранный делитель:

    9*3      3
12 = 12*3 = 4

    3
12 = 4

Разделив числитель и знаменатель дроби на одинаковый делитель, мы сократили дробь.

 

Важно!

13

Например.

Максимально сократите дробь 24/32
14142

 

Но далеко не всегда можно сократить обыкновенную дробь.

К примеру, выражение 4/5 сократить невозможно. Чтобы доказать правильность такого утверждения, давайте найдем НОД для компонентов дробного выражения.

Разложим на простые множители обе составляющие выражения:

4 | 2             5 | 5

2 | 2             1

1

Одинаковых множителей в разложениях двух чисел нет. По определению, числа наибольшим общим делителем, которых является 1, называются взаимно простыми/

15

По определению выражение 4/5 называется несократимой дробью.

Наименьший общий знаменатель

Разберем ситуацию

На даче Мария и Александр выращивают клубнику. В первый день садоводы собрали 1/3 всей клубники, во второй день 1/5 всего урожая. Какую часть урожая дачники собрали за два дня?

16
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи мы должны суммировать части, собранные в первый и второй дни. Однако, дроби, известные по условию, имеют разные знаменатели, то есть найти их сумму сразу не получится.

В математике для решения заданий такого вида существует понятие наименьшего общего знаменателя.

17

Получается, что вычислив наименьший общий знаменатель, мы получим дроби с одинаковыми знаменателями и сможем выполнить сложение. Сразу возникает вопрос «Как найти наименьший общий знаменатель?» «Как привести обыкновенные дроби к общему знаменателю?».

Существует специальный алгоритм действий:

18

 

Действуя по рассмотренному алгоритму, определим количество урожая собранного за два дня.

  1. Определим НОК для знаменателей данных выражений 1/3  и 1/5.

Для этого разложим на простые множители числовые значения, стоящие под чертой дроби – 3 и 5.

3 | 3         5 | 5

1              1

Одинаковых множителей в разложениях нет. Поэтому, просто перемножаем имеющиеся 3 и 5:

3 × 5 = 15.

Значит, НОК(3;5) =15.

 

Переходим к выполнению следующего пункта.

  1. Теперь, необходимо найти частное полученного НОК  и имеющихся знаменателей:

15 : 3 = 5;

15 : 5 = 3.

Дополнительный множитель к первому выражению 1/3 – 5, а ко второму 1/5 – 3.

Учитывая основное свойство дроби:

19

Умножим составляющие дробных выражений на дополнительные множители:

1    1*5     5
3 = 3*5 = 15

1    1*3     3
5 = 5*3 = 15

В результате, мы получили дроби имеющие одинаковые  знаменатели.В таких случаях говорят, что дроби приведены к наименьшему общему знаменателю.

 Используя правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, легко найдем сумму:

20

Вычислим:

          8
15 + 15 = 15

Теперь мы знаем, что за два дня дачники собрали 8/15 всего урожая.

 

Выполним следующее задание.

Приведите дроби к общему знаменателю11/12 и 7/8.

Мы знаем, что общий знаменатель – наименьшее числовое значение, кратное данным знаменателям.

Чтобы вычислить НОЗ, нужно следовать  специальному алгоритму и тогда все получится.21212213

 

И последняя задачка на внимательность.

Макару родители дали 100 рублей и разрешили сделать покупки по своему усмотрению. Когда мальчик вернулся, мама поинтересовалась, на что он потратил деньги. Как раз на этой неделе в школе он изучал тему дроби и решил показать маме свои знания: «3/10 денег я потратил на мороженое, 9/10 – на конфеты». Мама задумалась. Скажите, правильно ли посчитал Макар потраченные деньги?

Чтобы ответить на вопрос нужно суммировать потраченные суммы. В нашем случае дроби имеют общий знаменатель, поэтому:

3/10 + 9/10 = 12/10.

Получается, что мальчик потратил больше, чем у него было. Значит, Макар ошибся в своих расчетах!

Рассмотренные сегодня правила и определения являются основой для выполнения большинства действий с использованием обыкновенных дробей. Поэтому знания, полученные сегодня, просто необходимы для дальнейшего изучения математики!

А знаешь ли ты?

1/3 часть добытой во всем мире соли используется для посыпки дорог в зимний период.

Для лабораторных исследований изобретена пробирка имеющая диаметр 1/10000 часть от толщины человеческого волоса.

Ученые доказали, что возможности человеческого мозга практически не ограничены, ведь в среднем мозг обрабатывает всего 1/10 часть поступающей в него информации.

Ученые – палеонтологи сделали вывод, что за все время существования Земли, окаменению подверглась только 1/100 часть всего живого на планете.

1/4 часть всех костей человека находится в ногах.

Самый низкий автомобиль в мире – флэтмобиль.Его высота всего 1/2 метра. Благодаря нестандартному размеру, он занесен в книгу рекордов Гинесса.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Продолжите фразу: « Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же число, то….»
1получим дробь, которая будет больше данной
2полученная дробь будет равна данной
3данная дробь будет больше полученной
Ответить
2
Вопрос: 2
Что значит сократить дробь?
1разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель
2заменить числитель цифрой 1
3уменьшить дробь в 2 раза
Ответить
1
Вопрос: 3
Наименьшее натуральное число кратное знаменателям всех данных дробей – это ….
1наименьший общий делитель
2наименьшее общее частное
3наименьший общий знаменатель
Ответить
3
Вопрос: 4
Выберите дробь, которую получили в результате сокращения 3/6
11/3
21/4
31/2
Ответить
3
Вопрос: 5
На какое, наибольшее число можно сократить дробь 7/21?
17
23
321
Ответить
1
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Продолжите фразу: « Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же число, то….»
1) получим дробь, которая будет больше данной 2) полученная дробь будет равна данной 3) данная дробь будет больше полученной
2 вопрос:

Что значит сократить дробь?
1) разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель 2) заменить числитель цифрой 1 3) уменьшить дробь в 2 раза
3 вопрос:

Наименьшее натуральное число кратное знаменателям всех данных дробей – это ….
1) наименьший общий делитель 2) наименьшее общее частное 3) наименьший общий знаменатель
4 вопрос:

Выберите дробь, которую получили в результате сокращения 3/6
1) 1/3 2) 1/4 3) 1/2
5 вопрос:

На какое, наибольшее число можно сократить дробь 7/21?
1) 7 2) 3 3) 21
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: полученная дробь будет равна данной
2 вопрос: разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель
3 вопрос: наименьший общий знаменатель
4 вопрос: 1/2
5 вопрос: 7
slide9

Мы рекомендуем только    лучших РЕПЕТИТОРОВ

Перейти

Выбери своего репетитора    для онлайн-занятий сейчас

Перейти slide8