Математика

Дроби
План урока:
Дроби и их свойства
На уроке Таня и Ваня начали спор: «Какой отрезок линейки больше 1/4 или 2/8»? Они спорили так громко, что на помощь пришла учительница – Наталья Ивановна. Она пригласила детей к доске и попросила каждого схематически изобразить линейку и отметить на ней свой отрезок.
Посмотрим, что получилось:
Таня нарисовала линейку:
Линейка разделена на 20 одинаковых долей. Чтобы понять, какая часть рисунка соответствует значению ¼, давайте вспомним определение обыкновенной дроби:
И обязательно нужно знать название компонентов дробного выражения:
Учитывая рассмотренные определения, приходим к выводу, что всю линейку нужно разделить на 4 части, а выделить только одну. Для этого 20 имеющихся делений делим на 4 отрезка:
20 : 4 = 5.
Значит, в одном отрезке содержится 5 делений. А для сравнения используется только один отрезок. Его Таня и отметила красными штрихами:
Следующим чертить начал Ваня. Рисунок должен иметь такие же размеры, как и предыдущий – 20 делений. Но по условию, линейку необходимо поделить на 8 частей. Для этого:
20 : 8 = 2.5
В одной части содержится 2,5 деления линейки. Выделить Ивану необходимо 2 такие части. Их мальчик и отметил синими штрихами:
Весь класс с удивлением заметил, что заштрихованные части рисунка у Тани и Вани абсолютно одинаковой длины. Спорщики были удивлены не меньше.
«Получается, что 1/4 = 2/8?» – удивленно спросила Таня.
И Наталья Ивановна начала свой рассказ:
Чтобы все стало понятно, давайте возьмем дробное число 1/4 и умножим числитель и знаменатель дроби на 2 .
1 1*2 2
4× 2 = 4*2 = 8 .
Но по рисунку мы видим, что выражение 1/4 = 2/8 .
Таким образом, мы рассмотрели основное свойство дроби:
Рассмотрим пример.
В магазин привезли 50 пакетов молока. В этот же день продали 10/50 привезенного молока. Какая часть молока продана?
Чтобы ответить на вопрос задачи, давайте внимательно рассмотрим число, обозначающее количество проданного продукта – 10/50 .
И в числителе, и в знаменателе дроби стоят четные числа, которые по признаку делимости, делятся без остатка на 10:
Используя основное свойство дроби:
Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 10:
10 10*10 1
50 = 50*10 = 5
Мы выяснили, что продали 1/5 часть всего молока.
Мы решили задачу, разделив обе составляющие, дробного выражения на общий делитель. В арифметике использование такого приема называется сокращением дроби:
Сократите дробное выражение 9/12
Для выполнения данного задания нужно разделить обе части дробного выражения на одинаковый делитель. Давайте подберем возможные делители:
Числитель 9:3, 9.
Знаменатель 12 : 2,3,4,12.
Из перечисленных делителей нам подходит только 3, так как оба числа можно разделить без остатка на это числовое значение.
Выполним деление обоих компонентов дробного выражения на выбранный делитель:
9 9*3 3
12 = 12*3 = 4
9 3
12 = 4
Разделив числитель и знаменатель дроби на одинаковый делитель, мы сократили дробь.
Важно!
Например.
Максимально сократите дробь 24/32
Но далеко не всегда можно сократить обыкновенную дробь.
К примеру, выражение 4/5 сократить невозможно. Чтобы доказать правильность такого утверждения, давайте найдем НОД для компонентов дробного выражения.
Разложим на простые множители обе составляющие выражения:
4 | 2 5 | 5
2 | 2 1
1
Одинаковых множителей в разложениях двух чисел нет. По определению, числа наибольшим общим делителем, которых является 1, называются взаимно простыми/
По определению выражение 4/5 называется несократимой дробью.
Наименьший общий знаменатель
Разберем ситуацию
На даче Мария и Александр выращивают клубнику. В первый день садоводы собрали 1/3 всей клубники, во второй день 1/5 всего урожая. Какую часть урожая дачники собрали за два дня?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи мы должны суммировать части, собранные в первый и второй дни. Однако, дроби, известные по условию, имеют разные знаменатели, то есть найти их сумму сразу не получится.
В математике для решения заданий такого вида существует понятие наименьшего общего знаменателя.
Получается, что вычислив наименьший общий знаменатель, мы получим дроби с одинаковыми знаменателями и сможем выполнить сложение. Сразу возникает вопрос «Как найти наименьший общий знаменатель?» «Как привести обыкновенные дроби к общему знаменателю?».
Существует специальный алгоритм действий:
Действуя по рассмотренному алгоритму, определим количество урожая собранного за два дня.
- Определим НОК для знаменателей данных выражений 1/3 и 1/5.
Для этого разложим на простые множители числовые значения, стоящие под чертой дроби – 3 и 5.
3 | 3 5 | 5
1 1
Одинаковых множителей в разложениях нет. Поэтому, просто перемножаем имеющиеся 3 и 5:
3 × 5 = 15.
Значит, НОК(3;5) =15.
Переходим к выполнению следующего пункта.
- Теперь, необходимо найти частное полученного НОК и имеющихся знаменателей:
15 : 3 = 5;
15 : 5 = 3.
Дополнительный множитель к первому выражению 1/3 – 5, а ко второму 1/5 – 3.
Учитывая основное свойство дроби:
Умножим составляющие дробных выражений на дополнительные множители:
1 1*5 5
3 = 3*5 = 15
1 1*3 3
5 = 5*3 = 15
В результате, мы получили дроби имеющие одинаковые знаменатели.В таких случаях говорят, что дроби приведены к наименьшему общему знаменателю.
Используя правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, легко найдем сумму:
Вычислим:
5 3 8
15 + 15 = 15
Теперь мы знаем, что за два дня дачники собрали 8/15 всего урожая.
Выполним следующее задание.
Приведите дроби к общему знаменателю11/12 и 7/8.
Мы знаем, что общий знаменатель – наименьшее числовое значение, кратное данным знаменателям.
Чтобы вычислить НОЗ, нужно следовать специальному алгоритму и тогда все получится.
И последняя задачка на внимательность.
Макару родители дали 100 рублей и разрешили сделать покупки по своему усмотрению. Когда мальчик вернулся, мама поинтересовалась, на что он потратил деньги. Как раз на этой неделе в школе он изучал тему дроби и решил показать маме свои знания: «3/10 денег я потратил на мороженое, 9/10 – на конфеты». Мама задумалась. Скажите, правильно ли посчитал Макар потраченные деньги?
Чтобы ответить на вопрос нужно суммировать потраченные суммы. В нашем случае дроби имеют общий знаменатель, поэтому:
3/10 + 9/10 = 12/10.
Получается, что мальчик потратил больше, чем у него было. Значит, Макар ошибся в своих расчетах!
Рассмотренные сегодня правила и определения являются основой для выполнения большинства действий с использованием обыкновенных дробей. Поэтому знания, полученные сегодня, просто необходимы для дальнейшего изучения математики!
А знаешь ли ты?
1/3 часть добытой во всем мире соли используется для посыпки дорог в зимний период.
Для лабораторных исследований изобретена пробирка имеющая диаметр 1/10000 часть от толщины человеческого волоса.
Ученые доказали, что возможности человеческого мозга практически не ограничены, ведь в среднем мозг обрабатывает всего 1/10 часть поступающей в него информации.
Ученые – палеонтологи сделали вывод, что за все время существования Земли, окаменению подверглась только 1/100 часть всего живого на планете.
1/4 часть всех костей человека находится в ногах.
Самый низкий автомобиль в мире – флэтмобиль.Его высота всего 1/2 метра. Благодаря нестандартному размеру, он занесен в книгу рекордов Гинесса.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Продолжите фразу: « Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же число, то….»
1) получим дробь, которая будет больше данной 2) полученная дробь будет равна данной 3) данная дробь будет больше полученной
Что значит сократить дробь?
1) разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель 2) заменить числитель цифрой 1 3) уменьшить дробь в 2 раза
Наименьшее натуральное число кратное знаменателям всех данных дробей – это ….
1) наименьший общий делитель 2) наименьшее общее частное 3) наименьший общий знаменатель
Выберите дробь, которую получили в результате сокращения 3/6
1) 1/3 2) 1/4 3) 1/2
На какое, наибольшее число можно сократить дробь 7/21?
1) 7 2) 3 3) 21