Алгебра

Урок 3: Квадратный корень

Квадратный корень

В математике для каждой арифметической операции есть обратное действие. Для сложения это вычитание, а для умножения – деление. А есть ли обратная операция для возведения числа в степень, в частности, в квадрат? Оказывается, есть, и называется она извлечением квадратного корня.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Арифметический квадратный корень

Вычисление квадратного корня

Функция квадратного корня

Свойства арифметического квадратного корня

Преобразование выражений с квадратными корнями

 

Арифметический квадратный корень

Рассмотрим задачу. Нам известно, что длина квадрата равна 14 см. Какова площадь этого квадрата? Из курса геометрии мы знаем, что для ответа на вопрос надо просто умножить сторону саму на себя, то есть возвести ее в квадрат:

S = 14•14 = 196 см2

Теперь рассмотрим обратную задачу. Известно, что площадь квадрата равна 196 см2. Чему равна длина его стороны? Очевидно, что она составляет 14 см. Для нахождения ответа мы произвели действие, обратное возведению во вторую степень. В математике оно называется извлечением квадратного корня, а само число 14 – квадратным корнем из 196.

1hgruy

Так, 5 – это квадратный корень из числа 25, так как

52 = 25

Очень часто квадратный корень является не целым, а дробным числом. Так, корень из 2 примерно равен 1,414213562 (способы вычисления значения корня будут рассмотрены в этом же уроке, но позже).

Отметим, что порою можно указать для числа не один, а сразу два квадратных корня. Они будут отличаться своим знаком, но совпадать по абсолютной величине (модулю). Так число (–5) также является квадратным корнем из 25:

(– 5)2 = – 5•(– 5) = 25

Вообще у любого положительного числа есть 2 квадратных корня, у любого отрицательного числа их вообще нет, и только у нуля есть единственное значение корня – сам нуль. Докажем это.

Пусть есть произвольное число а, для которого надо вычислить квадратный корень. Обозначим этот корень как х. Тогда по определению можно составить уравнение:

х2 = а

Попробуем решить его с помощью графиков. Для этого построим отдельные графики для левой и правой части равенства. Оба графика, и у = а, и у = х2, мы уже строили в 7 классе. В итоге получаем три случая:

2ghfgh

3ghgfgh

4fghf

Видно, что при а> 0 графики пересекаются в 2 точках, то есть существует два квадратных корня, которые отличаются лишь своими знаками.

Для определенности математики ввели понятие арифметического квадратного корня.

5hfgh

Ещё раз уточним, что у числа может быть два квадратных корня. Например, у числа 25 это –5 и 5:

(– 5)2 = 25

52 = 25

Арифметическим же называют тот квадратный корень, у которого НЕТ знака минус.

Существует специальный символ для арифметического квадратного корня, который именуют знаком радикала, или просто знаком корня. Выглядит он так:

6ghj

Если надо показать, что, например, арифметический квадратный корень (часто говорят просто корень) из 25 равен 5, то получается такая запись:

7hgfh

Под знаком радикала может стоять и выражение, содержащее переменные величины. Для его обозначения используют термин подкоренное выражение. Так, в записи

8khjk

выражением х2 + 2х + 2 является подкоренным.

9jhghj

Мы уже поняли, что из отрицательного числа невозможно извлечь квадратный корень, ведь каждое действительное число при умножении на само себя становится неотрицательным. Поэтому если под знаком радикала находится отрицательное число, то говорят, что выражение не имеет смысла (так же как и дробное выражение, у которого в знаменателе стоит ноль). Так, бессмысленны выражения:

10hfgh

Если под корнем находиться переменная, то при одних ее значениях выражение с корнем имеет смысл, а при других нет. Так, выражение

11fdf

при х = 9 имеет значение, равное двум:

12fdfg

Но если х = 4, то получаем бессмысленное выражение:

13gdfg

Изучая понятие иррационального числа, мы уже сталкивались с корнями. Исторически именно корень из 2 стал первым числом, для которого была доказана его иррациональность. Числа, чей квадратный корень является целым числом, называются полными квадратами. Примерами полных квадратов являются:

  • 4 (потому что 22 = 4);
  • 9 (32 = 9);
  • 16 (42 = 16).

14fghf

Для всех натуральных чисел, не являющихся полными квадратами, можно доказать, что их квадратные корни – это иррациональные числа.

15hghj

Стоит отметить, что открытие иррациональностей корней изменило представления древних греков о числах и сыграло огромную роль в развитии математики.

Теперь рассмотрим порядок действий в выражениях с корнями. Сначала всегда производятся операции в скобках, потом под знаком радикала, далее происходит возведение в степень, и лишь потом другие арифметические операции. Например, есть выражение

16hjghj

Покажем последовательность действий, выделяя их красным цветом:

17jghj

Если в ходе вычислений получили корень не из полного квадрата, то его следует оставить как есть, и продолжать вычисления, например:

18juilj

Одинаковые корни можно складывать и вычитать друг с другом:

19jghj

Из определения квадратного корня следует очевидное тождество:

20vfdfg

Приведем пример с конкретными числами:

21gfgh

Однако здесь важно учитывать, что под знаком радикала не может находиться отрицательное число. Так, некорректной будет запись

22fgh

так как под радикалом слева стоит отрицательное число. Но допускается такая запись:

23ghfgh

потому что под знаком радикала слева стоит положительная величина (– 3)•( – 3) = 9.

Напомним, что модулем числа называется его величина, взятая без учета знака. Для обозначения модуля используются квадратные скобки:

24ghfgh

Можно записать следующее тождество, связывающее модуль числа с его корнем:

25hgh

Например:

26gfgh

 

Вычисление квадратного корня

Ранее для выполнения арифметических операций мы использовали метод «столбика». А как производить вычисление квадратного корня? Существует несколько приемов, мы рассмотрим простейший из них.

Очевидно, что чем больше число, тем больше и его квадрат. Например, 5 > 4, поэтому и 52> 42. Значит, справедливо и обратное утверждение: чем больше число, тем больше и его квадратный корень.

27hfgh

Убедиться в этом можно и с помощью графика функции у = х2. Будем отмечать на нем числа и их квадратные корни:

28fghf

Видно, что чем выше на оси Оу располагается число, тем правее на оси Ох находится его квадратный корень.

Зная это свойство, легко оценить значение корня из любого числа. Продемонстрируем это на примере вычисления значение корня из 2. Нам известно, что

1 < 2 < 4

Значит, можно записать следующие неравенства:

29vfgh

Нам удалось определить, что корень из двух находится между единицей и двойкой, то есть

30jghj

Теперь определим первую цифру после запятой для корня из двух. Будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3 и т. д, до тех пор пока не получим выражение, большее 2:

1,12 = 1,21

1,22 = 1,44

1,32 = 1,69

1,42 = 1,96

1,52 = 2,25

Теперь мы можем записать неравенства:

31gdfgd

Получается, что корень имеет значение, находящееся между 1,4 и 1,5, то есть

32gfdg

Попытаемся определить ещё одну цифру после запятой:

1,412 = 1,999396

1,422 = 2,002225

Отсюда следует, что:

33bgfh

Продолжая подобные вычисления, можно вычислить любое количество знаков после запятой:

34ghfgh

Конечно, на практике все вычисления выполняются компьютером, а не вручную. Однако программисты стремятся написать программы так, чтобы они работали как можно быстрее, то есть получали результат, выполняя меньшее количество вычислений. Поэтому на практике чаще используется метод бисекции (деления надвое), который отличается большей эффективностью. Для начала нужно найти очевидную оценку корня, например:

35hfghf

Получили, что корень из 2 находится между 1 и 2. Теперь найдем среднее арифметическое этих двух значений:

(1 + 2)/2 = 1,5

Возведем среднее арифметическое в квадрат:

1,52 = 2,25

Теперь мы можем записать неравенство

36hfgh

То есть искомое нами значение находится между 1 и 1,5. Снова найдем среднее этих двух оценок и возведем его в квадрат:

(1 + 1,5)/2 = 1,25

1,252 = 1,5625

Зная это, можем записать:

37nyui

На каждом следующем шаге вычислений мы будем всё точнее определять оценки корня, при этом вычислений мы делаем не очень много.

Периодически могут встречаться задания, в которых надо грубо оценить значение квадратного корня.

Пример. Сколько целых чисел на координатной прямой располагается между

38hfgh

Решение: Ближайшие к числу 60 полные квадраты – это 64 и 49, поэтому можно записать:

39jhjk

Также можно оценить и корень из 140:

40sdfs

Получаем, что между корнями располагается четыре числа: 8, 9, 10 и 11:

41ghfgh

Ответ: 4

 

Функция квадратного корня

Каждому числу соответствует не более чем 1 арифметический квадратный корень. Поэтому формула

42hfghf

задает функцию. Исследуем ее.

Так как под знаком радикала может находиться лишь неотрицательное число, то областью определения корня является множество всех неотрицательных чисел. Такова же и область допустимых значений.

Построим график квадратного корня по точкам. Для этого вычислим ее значения в нескольких точках (указана точность до 0,1):

43ghfgh

График функции квадратного корня будет выглядеть так:

44gdfg

Отметим, что полученная линия чем-то напоминает обычную параболу функции у = х2, которую «положили набок», то есть повернули против часовой стрелки на 90°, а после убрали одну из ветвей:

45gdfg

И это не случайность. Дело в том, что две эти функции являются обратными друг другу. Действительно, пусть с помощью графика параболы мы хотим найти значение величины а2. Стрелки показывают последовательность действий:

46hfgh

Мы должны найти а на оси Ох, построить от найденной точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а потом провести горизонтальную линию. Но если нам надо вычислить корень из положительного числа b, то мы должны действовать в обратном порядке: найти на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с параболой, и потом опустить перпендикуляр на горизонтальную ось:

47hgfhf

Получается, для вычисления обеих функций можно использовать один график! Но, так как традиционно аргумент функции обозначают буквой х, а саму функцию как у, а также ось Ох располагают горизонтально, то для получения графика обратной функции надо буквально повернуть график основной функции так, чтобы оси Ох и Оу поменялись местами:

48gdfg

Действительно, в результате поворота получили уже знакомый график функции корня из х. Осталось лишь правильно переименовать оси и повернуть цифры в привычное положение.

Взаимное расположение этих графиков можно описать и иначе. Они симметричны относительно прямой линии, которую задает график у = х. Ведь если точка имеет координаты (а; b) принадлежит параболе у = х2, то, по определению корня, точка с обратными координатами (b; а) должна лежать на графике корня. Однако две такие точки будут симметричны относительно линии у = х:

49hfghf

Соответственно, симметричны относительно этой прямой и графики обратных функций:

50gdfgd

Исключительно для большей наглядности (чтобы была очевидна симметрия, о которой идет речь), повернем эту картинку на 45°:

51hfghf

 

Свойства арифметического квадратного корня

Для упрощения некоторых выражений необходимо использовать особые правила работы с корнями. Сформулируем первое из них:

52dfgd

Математически это правило записывается так:

53ghfdgh

Например:

54gfgh

Тождество работает для любого количества множителей, а также в обратную сторону:

55hfgh

Однако следующее преобразование недопустимо:

56hfgh

Дело в том, что под знаком радикала не может быть отрицательное число! Слева под двумя радикалами стоят отрицательные числа, а справа под корнем находится уже положительная величина (– 2)•(– 32) = 64. В результате выражение слева не имеет смысл, а справа – имеет, поэтому знака равенства между ними быть не может.

Докажем это правило. Для этого возведем во вторую степень выражение

57hgfhf

Получили, что по определению корня можно записать:

58hfgh

Следующее свойство касается дробей:

59hfgh

Символически это выглядит так:

60ertt

Приведем примеры использования этого свойства:

61gdfgd

Теперь докажем это правило. Можно записать, что

62fghfh

Значит, по определению верно равенство

63hfggh

Третье правило помогает извлекать корень из числа, возведенного в степень:

64hgfgh

где а –действительное число (в том числе и отрицательное), а k – натуральное число.

Это тождество помогает выполнить следующие действия:

65ghfgh

Стоит обратить внимание, что в последнем случае под корнем НЕ стоит отрицательное число, так как на самом деле (– 2)10 – это положительное число. Вообще при возведении любого числа в четную степень получается неотрицательное число.

Для доказательства этого факта используем то, что

66gdfg

Зная это, можно выполнить преобразования:

67hfghh

 

Преобразование выражений с квадратными корнями

Изученные правила помогают преобразовывать некоторые выражения. Так, можно вынести множитель из-под знака корня:

68nhjgj

Это действие может использоваться для сложения корней, у которых, казалось бы, стоят разные числа под знаком радикала:

69nhjkk

Обратное действие называют внесением множителя под знак корня:

70assdffg

 

Пример. Какое число больше

71sdgt

Решение. Внесем множитель под знак корня:

72bgh

Из двух корней больше тот, у которого больше подкоренное выражение, поэтому

73hgfyu

Из этого следует, что

74hgu

Заметим, что под знак радикала может быть внесен исключительно неотрицательный множитель! Знак минуса должен остаться перед радикалом:

75hfgh

Принято считать, что с дробью, содержащей радикал, проще работать, когда этот радикал находится в числителе, а не знаменателе. В связи с этим стремятся избавиться от иррациональности в знаменателе. В простейшем случае дробь просто домножают на квадратный корень:

76fdfdyt

Как видим, корень «переехал» из знаменателя в числитель. Несколько сложнее производится освобождение от иррациональности, если в знаменателе стоит сумма или разность корней. В этом случае помогает формула разности квадратов:

77erwer

Рассмотрим несколько задач.

 

Пример. Найдите наибольшее значение выражения

78hgfhf

Решение. По формуле разности квадратов можно записать:

79nghj

Зная это, заменим знаменатель дроби:

80cdfgh

Эта дробь принимает наибольшее значение тогда, когда ее числитель, наоборот, принимает минимальное значение. Это произойдет при а = 0, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Тогда наибольшее значение дроби будет составлять

81gfgy

 

Пример. Упростите выражение

82gfg

Довольно тяжелым является случай, когда под знаком корня находится другой корень. Выражения вида

83fgh

называют двойным радикалом.

Существует формула двойного радикала, с помощью которой его можно иногда упростить:

84bgff

Для доказательства справедливости этого тождества возведем его правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы (х ± у)2 = х2 ± 2ху + у2:

85hghj

Принципиально важно, что величина а2 – b должна быть неотрицательной. Рассмотрим преобразование двойных радикалов на примере. Пусть надо освободиться от внешнего радикала в выражении

86nhgjk

Для этого сначала внесем двойку под знак внутреннего радикала, а потом воспользуемся формулой:

87gdfgd

Заметим, что формула двойного радикала полезна в том случае, если выражение а2 – b является полным квадратом.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чему равен арифметический квадратный корень из 49?
15
26
37
4-7
Ответить
3
Вопрос: 2
Относительно какой прямой линии симметричны графики арифметического квадратного корня и квадрата числа?
1у = 0
2у = х
3х = 0
4у = 1
Ответить
2
Вопрос: 3
Чему равен арифметический квадратный корень из квадрата числа?
1модулю числа
2самому числу
3кубу числа
4наименьшему делителю числа
Ответить
1
Вопрос: 4
Обычно от иррациональности в дроби освобождают
1числитель
2произведение
3знаменатель
4сумму
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чему равен арифметический квадратный корень из 49?
1) 5 2) 6 3) 7 4) -7
2 вопрос:

Относительно какой прямой линии симметричны графики арифметического квадратного корня и квадрата числа?
1) у = 0 2) у = х 3) х = 0 4) у = 1
3 вопрос:

Чему равен арифметический квадратный корень из квадрата числа?
1) модулю числа 2) самому числу 3) кубу числа 4) наименьшему делителю числа
4 вопрос:

Обычно от иррациональности в дроби освобождают
1) числитель 2) произведение 3) знаменатель 4) сумму
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 7
2 вопрос: у = х
3 вопрос: модулю числа
4 вопрос: знаменатель