Математика

Урок 2: Простые числа

Простые числа

В мире, любая вещь, предмет, вещество состоит из множества составляющих компонентов. Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит. На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель,древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго.Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название. А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

Обложка урока взята с источника.

slide9

Занятия с репетитором -    лучшее дополнение к школе

Перейти

Подберем репетитора для систематических занятий

Перейти slide8

План урока:

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Минутка истории

 

Все вещи можно представить в виде чисел.

                                                                                                         Пифагор

 

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

karandashi1

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель,древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго.Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

 

Простые и составные числа

Рассмотрим пример.

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

apelsini2
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

Начнем с яблок

3

В математике такие числа называют простыми

4

4tyt
Источник

Разделим апельсины

5

Получается,  четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

6

Важно!

7

Выполним задание

8

 

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

6 = 2 × 3.

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение  на простые множители?

Давайте разбираться.

Что значит «Разложить на простые множители?».

Запомни определение:

910

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

11

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие,  простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

32 | 2

16 | 2

 8  | 2

 4  | 2

 2  | 2

 1

Например:

Разложим на множителичисло 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

  1. Вначале, определяем, не является ли делимое простым. Для этого смотрим, сколько делителей можно подобрать:

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали  шесть делителей, значит,  делимое, является составным числом.

  1. Далее, займемся подбором делителей.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

12

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

20 : 2 = 10.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2.Так как запись 10, оканчивается 0,  по признаку делимости,  число делится на 2 без остатка:

10 : 2 = 5.

В результате мы получили простое число, которое  можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

5 : 5 = 1.

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте  запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

20

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

20 | 2

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

20 | 2

10

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

20 | 2

10 | 2

 5  |  5

 1

 Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

13

можно записать 2×2 =22 .

Тогда, 20 = 22 × 5.

Ничего сложного. Главное  – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание  используем правило разложения числа на простые множители.

  • 1) Сначала, выясним, не является ли это число простым. Давайте посмотрим на последнюю цифру в записи – 6. Последняя цифра   четная(то есть, делится на два), согласно признаку деления на два,  если последняя цифра делится на два, то и все число делится на два. Сразу вспоминаем, что любое число всегда можно разделить на 1 и на само себя. Поэтому рассматриваемое число уже имеет больше двух делителей: 1,2,156 и называется составным.
  • 2) Теперь начинаем подбирать делители. Мы уже выяснили, что первым делителем будет два.

156 | 2

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

156 | 2

 78

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

156 | 2

 78 | 2

 39

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее  – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

14

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

             3 + 9 = 12.

             12 : 3 = 4.

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

         Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

156 | 2

 78 | 2

 39 | 3

 13 

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

156 | 2

 78 | 2

 39 | 3

 13 | 13

  1

156 = 2×2×3×13.

Произведение 2×2 заменим выражением 22.

156 = 22 × 3 × 13.

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

 

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018,  американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 282 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Продолжите фразу: « Простое число – это…»
1число, которое имеет более двух делителей;
2число, которое делится только на 1 и на само себя;
3число, которое имеет три делителя.
Ответить
2
Вопрос: 2
Число, имеющее более 2 делителей, называют:
1Простым
2Сложным
3Составным
Ответить
3
Вопрос: 3
Что значит выражение «Разложить число на простые множители»?
1представить число, в виде произведения нескольких простых множителей;
2разложить число на слагаемые;
3представить число в виде разности.
Ответить
1
Вопрос: 4
Каким образом записывается разложение числа на простые множители?
1В строчку
2В стоблик
3Как удобно
Ответить
2
Вопрос: 5
На какие простые множители можно разложить число 5?
11, 2
25, 3
31, 5
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Продолжите фразу: « Простое число – это…»
1) число, которое имеет более двух делителей; 2) число, которое делится только на 1 и на само себя; 3) число, которое имеет три делителя.
2 вопрос:

Число, имеющее более 2 делителей, называют:
1) Простым 2) Сложным 3) Составным
3 вопрос:

Что значит выражение «Разложить число на простые множители»?
1) представить число, в виде произведения нескольких простых множителей; 2) разложить число на слагаемые; 3) представить число в виде разности.
4 вопрос:

Каким образом записывается разложение числа на простые множители?
1) В строчку 2) В стоблик 3) Как удобно
5 вопрос:

На какие простые множители можно разложить число 5?
1) 1, 2 2) 5, 3 3) 1, 5
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: число, которое делится только на 1 и на само себя;
2 вопрос: Составным
3 вопрос: представить число, в виде произведения нескольких простых множителей;
4 вопрос: В стоблик
5 вопрос: 1, 5
slide9

Наши репетиторы помогут подготовиться к экзаменам

Тут

Выбери для онлайн-занятий лучшего репетитора

Перейти slide8